（寒假）新高考数学一轮复习考点精讲+巩固训练+随堂检测06 正余弦定理与解三角形（教师版）

第页第06讲正余弦定理与解三角形知识讲解1.正弦定理（1）基本公式：（其中为外接圆的半径）（2）变形2.三角形中三个内角的关系，eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2)，，3.余弦定理（1）边的余弦定理，，（2）角的余弦定理，，4.三角形的面积公式考点一、正弦定理边角互化与解三角形【例1】在中，内角的对边分别是，若，且，则（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形内角和定理可得的值.【详解】由题意结合正弦定理可得，即，整理可得，由于，故，据此可得，则.故选：C.【变式1】在中，内角的对边分别为.若，且，则A．B．C．D．【答案】A【详解】边换角后约去sinB，得sin(A＋C)＝，所以sinB＝，但∠B非最大角，所以∠B＝.【变式2】在中，角的对边分别是，且，求角【答案】【分析】由正弦定理结合三角恒等变换计算即可；【详解】在中，由正弦定理得：，而，所以，化简得，因为，所以，，即，所以，又因为，所以，即.考点二、利用正弦定理判断三角形解的个数【例2】根据下列条件，判断三角形解的情况，下列结论中正确的是（

）（1），，，有一个解.（2），，，有两个解（3），，，无解（4），，，有一解A．（1）（2）B．（2）（4）C．（1）（2）（3）D．（1）（2）（4）【答案】D【分析】由条件利用正弦定理求得角的正弦值，再根据大边对大角可得三角形解得个数，从而得出结论.【详解】对于（1）：，，，由正弦定理得，解得，有唯一解，故（1）正确；对于（2）：，，，由正弦定理得，解得，再由大边对大角可得C>B,故C可以是锐角也可以是钝角，故三角形有2解，故（2）正确。对于（3）：，，，则由正弦定理得，解得，再由大边对大角，可得C为锐角，故三角形有唯一解，故（3）不正确，对于（4）：，，，由正弦定理得，解得，再由B为锐角，可得三角形有唯一解，故（4）正确，故选：D.【变式3】设在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若满足的不唯一，则m的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据正弦定理计算可得；【详解】解：由正弦定理，即，所以，因为不唯一，即有两解，所以且，即，所以，所以，即；故选：A【变式4】中，角的对边分别是，，.若这个三角形有两解，则的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】由正弦定理结合已知，可推得.进而根据三角形解得个数推得，即可得出答案.【详解】由正弦定理可得，.要使有两解，即有两解，则应有，且，所以，所以.故选：B．考点三、余弦定理求值【例3】在中，，则（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.【详解】因为，所以由正弦定理得，即，则，故，又，所以.故选：B.【变式5】在中，已知，，，则（

）A．1B．C．D．3【答案】D【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.【详解】设，结合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故选：D.【变式6】记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知．求【答案】【分析】利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；【详解】因为，由正弦定理可得，所以，又，所以.考点四、利用正余弦定理判断三角形的形状【例4】在已知分别为的三个内角的对边，若，则是（

）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【答案】C【分析】由余弦定理求解即可.【详解】由余弦定理可得，则为钝角，即是钝角三角形.故选：C【变式7】设中角，，所对的边分别为，，；若，，；则为（

）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能【答案】A【分析】根据余弦定理即可求解.【详解】由余弦定理可得,故为锐角，由于，因此均为锐角，故为锐角三角形，故选：A【变式8】在中，若，则的形状为（

）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】根据正弦定理或三角恒等变换，记得判断的形状.【详解】由正弦定理，以及二倍角公式可知，,即，整理为，即，得，或,所以的形状为等腰三角形或直角三角形.故选：D考点五、三角形面积的应用【例5】在中，已知，，.(1)求；(2)若D为BC上一点，且，求的面积.【答案】(1)；(2).【分析】(1)首先由余弦定理求得边长的值为，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函数基本关系可得；(2)由题意可得，则，据此即可求得的面积.【详解】（1）由余弦定理可得：，则，，.（2）由三角形面积公式可得，则.【变式9】记的内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)若，求面积．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．【详解】（1）因为，所以，解得：．（2）由正弦定理可得，变形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面积为．【变式10】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．(1)求的面积；(2)若，求b．【答案】(1)；(2)【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.【详解】（1）由题意得，则，即，由余弦定理得，整理得，则，又，则，，则；（2）由正弦定理得：，则，则，.考点六、外接圆、内切圆半径问题【例6】已知在中，其角、、所对边分别为、、，且满足．(1)若，求的外接圆半径；(2)若，且，求的内切圆半径【答案】(1)1；(2)1【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式和辅助角公式化简已知式，可得，即可求出，再由正弦定理的定义可求得的外接圆半径；（2）由余弦定理和三角形的面积公式求解即可.【详解】（1）因为，所以，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以外接圆半径．所以.（2）因为，由题可知，所以，又因为，可得，因为．由的面积，得．【变式11】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且．(1)求的外接圆半径R；(2)求内切圆半径r的取值范围．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由正弦边角关系可得，应用余弦定理即可求，进而确定其大小；（2）由正弦定理有，，根据余弦定理有，结合（1）及，应用三角恒等变换有，由三角形内角性质、正弦函数性质求范围即可.【详解】（1）因为，由正弦边角关系得，即，由余弦定理，得，又，所以，由，则.（2）由正弦定理得，所以，，由余弦定理，得，所以，利用等面积法可得，则，∵，∴，故，则，所以，故.考点七、双正弦及双余弦模型【例7】在中，为中点，．(1)若，求的面积；(2)若，求的长．【答案】(1)；(2)【分析】（1）在中，先利用余弦定理求出角，再根据三角形的面积公式即可得解；（2）在中，先利用正弦定理及二倍角的正弦公式求出及，再利用正弦定理求解即可.【详解】（1）在中，，由余弦定理可知，因为，所以，所以;（2）在中，设,则由正弦定理，即，得，所以，，所以，所以，由正弦定理得：，即．【变式13】在中，点D在BC上，满足AD＝BC，．(1)求证：AB，AD，AC成等比数列；(2)若，求．【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）由正弦定理得，再由，得到，即得证；（2）记A，B，C的对边分别为a，b，c，由（1）得，设，在△ABD与△ACD中，分别使用余弦定理，解方程组可求出或，依题意排除，利用余弦定理即可求出.【详解】（1）在中，由正弦定理得：①，由已知得：②，由①②联立得：，因为，所以．故AB，AD，AC成等比数列；（2）在△ABC中，记A，B，C的对边分别为a，b，c，故，由（1）知：③，在△ABD中，设，由已知得，由余弦定理得：，即④，在△ACD中，设，由已知得，由余弦定理得：，⑤，由⑤＋④×2整理得：⑥，由③⑥联立整理得：，解得：或，当时，由可求得，所以故舍去，当时，由可求得，满足，在△ABC中，由余弦定理得综上：【变式14】如图，在中，角的对边分别为.已知.(1)求角；(2)若为线段延长线上一点，且，求.【答案】(1)；(2)【分析】(1)运用正弦定理以及诱导公式求解；(2)根据条件运用正弦定理求解.【详解】（1）由条件及正弦定理可得：，即故，则有，又，故有，或（舍去），或（舍去），则，又，所以；（2）设，在和中，由正弦定理可得于是，又，则，，；综上，，.【基础过关】一、单选题1．记的内角的对边分别为，，，若，则为（

）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【答案】D【分析】由已知条件和正弦定理得，再由角的范围得满足的关系.【详解】由，得，由正弦定理得，所以，因为，所以或，所以或.即是等腰或直角三角形.故选：D.2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则c＝（

）A．4B．6C．D．【答案】D【分析】根据正弦定理化边为角有，再利用两角和与差的正弦公式有，再利用正弦定理进行化角为边有.【详解】因为，根据正弦定理得，移项得，即，即，则根据正弦定理有．故选：D.3．在锐角中，内角的对边分别为，，，且，，则（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据已知条件利用正弦定理把边化角，然后可得，再根据角都是锐角即可求解.【详解】因为，，所以，所以由正弦定理得，即，因为，，所以，所以，即，因为，即，解得.故选：A.4．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角所对的边分别为，，，面积为S，则“三斜求积”公式为，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（

）A．B．C．D．1【答案】A【分析】对于，利用正弦定理角化边可得，继而化简可得，代入“三斜求积”公式即得答案.【详解】由得，由得，故，A.5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且，，则（

）A．B．C．8D．4【答案】D【分析】由可得，求出，利用正弦定理可得答案.【详解】在中，由可得，即所以，因为，所以，且，所以，又，可得，由正弦定理可得．故选：D.6.在中，角的对边分别为，若，则外接圆的面积为.【答案】【分析】首先利用正弦定理，边化角，再结合三角恒等变换，以及余弦定理，求得和角，即可求得三角形外接圆的半径和面积.【详解】由正弦定理得，因为，所以，即，可得.因为，所以，得，解得.，化简得，由正弦定理､余弦定理，得，化简得，由正弦定理可得，得，因此外接圆的面积为.故答案为：7.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求A的大小；(2)若，，求BC边上高的长.【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合三角变换可得答案；（2）利用余弦定理求出边，根据面积相等可得答案.【详解】（1）∵，∴，∴，即.又∵，，∴，.（2）设BC边上的高为h，∵，即，解得，∴，解得，即BC边上的高为.【能力提升】一、单选题1．中，三边之比，则（

）A．B．4C．D．【答案】C【分析】首先由结合余弦定理得出，然后根据二倍角公式和正弦定理即可得出结果.【详解】因为，不妨设，则，由正弦定理可得.故选：C.2．在中，角的对边分别为，若，则的值可为（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据三角恒等变换结合条件可得，然后利用正弦定理可得，再通过换元法，构造函数利用导数研究函数的性质进而即得.【详解】由题知，则，即，因为，所以，则，所以，则，为钝角，为锐角，，因为，则，则，则，令，则，令，则，所以在上单调递减，又，则，故选：D.3.已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知的面积S满足，则角A的值为．【答案】【分析】根据余弦定理和三角形面积公式化简已知条件，得求解可得角A的值.【详解】由已知得，根据余弦定理和三角形面积公式，得，化简为，由于，所以，化简得，

即，解得，或（舍），由于，所以.故答案为：4.在中，角所对的边分别是，已知．(1)求角；(2)若，且的面积为，求．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据正弦定理，利用边化角的思想，结合三角函数的恒等变换，可得答案；（2）根据三角形的面积公式，结合余弦定理，可得答案.【详解】（1）由已知可得，即，由正弦定理可得，即，即，因为，所以即．因为，所以．（2）由已知得，又，所以，故，解得．5.记的内角的对边分别为.已知.(1)求；(2)证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）根据，由诱导公式逆推可得，再由，可得，再代入计算即可；（2）根据（1）可得，再通过二倍角公式化简计算可得，换元后构造新函数，求解导函数从而判断函数单调性，从而可得，再结合正弦函数的平方关系与商式关系，判断三角函数的范围，由正弦定理边角互化即可证明.【详解】（1）由，得，由题意可知，存在，所以，即，所以，所以.（2）由，得，故，令，则，，当时，；当时，；所以函数在上单调递增，在上单调递减，又，所以，进而，，可得，所以.而，故.所以.课后训练1.在中，内角所对的边分别为，则下列条件能确定三角形有两解的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】结合已知条件和正弦定理即可求解.【详解】对于A：由正弦定理可知，，∵，∴，故三角形有一解；对于B：由正弦定理可知，，∵，∴，故三角形有两解；对于C：由正弦定理可知，∵为钝角，∴B一定为锐角，故三角形有一解；对于D：由正弦定理可知，，故故三角形无解.故选：B.2.在中，角的对边分别是，若，则（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】由余弦定理即可求解.【详解】由得，所以，由于,故选：A3.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的形状为（

）A．等腰或直角三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【分析】根据同角关系以及正弦定理边角互化可得，由余弦二倍角公式以及和差角公式可得，即可判断三角形形状.【详解】由得,由正弦定理得,由于,所以，所以,由于为三角形的内角，所以,又得,进而可得,而为三角形内角，故，进而，故三角形为等边三角形，故选：B4.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足.(1)求的值；(2)若，求的面积.【答案】(1)2；(2)12【分析】（1）将通分，结合两角和的正切公式即可求解；（2）由（1）切化弦可求出，由两角和与差的余弦公式得，进而求得，再根据正弦定理结合三角形面积公式即可求解.【详解】（1）由可得，，因为，所以可得，解得.（2）由（1）知，所以，又因为，所以，所以，即，又，所以，由正弦定理可得，，所以，所以，所以的面积.5.已知的角对边分别为，满足，.(1)求；(2)求外接圆的半径.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据正弦定理边角互化以及和差角公式化简可得，结合三角函数同角关系即可求解，（2）由余弦定理代入已知关系即可得，由正弦定理即可求解.【详解】（1）由以及正弦定理可得：，，，，，而.（2），整理得，.由正弦定理可得.随堂检测1.在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据已知条件结合余弦定理求得，再根据，即可求得答案.【详解】在中，，，根据余弦定理：，可得，即由故.故选：A.2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，c＝3．且该三角形有两解，则a的值可以为（

）A．2B．4C．6D．8【答案】B【分析】根据正弦定理可求出，再依据该三角形有两解可知，，即得角A的取值范围，依据正弦函数的图象即可求出的取值范围，从而得解．【详解】由正弦定理得，且，所以，即．因为该三角形有两个解，当时只有一解，所以．故选：B.3.在中，角的对边分别为，若，则的形状为（

）A．