（寒假）新高考数学一轮复习考点精讲+巩固训练+随堂检测02 函数及其性质（教师版）

第第页第02讲函数及其性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）知识讲解函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．(3)函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值单调性的常见运算单调性的运算①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘③为↗，则为↘，为↘④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数）复合函数的单调性奇偶性①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提）②奇偶性的定义：奇函数：，图象关于原点对称偶函数：，图象关于轴对称③奇偶性的运算周期性（差为常数有周期）①若，则的周期为：②若，则的周期为：③若，则的周期为：（周期扩倍问题）④若，则的周期为：（周期扩倍问题）对称性（和为常数有对称轴）轴对称①若，则的对称轴为②若，则的对称轴为点对称①若，则的对称中心为②若，则的对称中心为周期性对称性综合问题①若，，其中，则的周期为：②若，，其中，则的周期为：③若，，其中，则的周期为：奇偶性对称性综合问题①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为：②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为：考点一、根据函数的单调性求参数值【例1】设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以的取值范围是.故选：D.【变式1】若函数在上单调递增，则实数的取值范围为________．【答案】【分析】化简，根据题意得到，即可求解.【详解】由函数，因为在上单调递增，则满足，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：.【变式2】函数在上单调递增，则实数的取值范围是________．【答案】【分析】先利用反比例函数的单调性得到在与上单调递减，再利用参数分离法得到，从而得到关于的不等式组，解之即可.【详解】因为在与上单调递减，而在上单调递增，所以，解得或，所以的取值范围是.故答案为：考点二、根据函数解析式判断函数单调性【例2】下列函数中，在区间上单调递增的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，故A错误；对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，故B错误；对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递增，故C正确；对于D，因为，，显然在上不单调，D错误.故选：C.【变式3】下列函数在区间上单调递增的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】对于BCD，根据各个选项观察均是向右平移两个单位长度的形式，根据原函数的单调区间可以判断平移后的单调区间，进而判断上的单调性得到结论，而根据二次函数的单调性可判断A的正误.【详解】对于选项：开口向上，对称轴，所以在上单调递减，故不符合题意.对于选项：是向右平移了两个单位长度，所以在在上单调递减，故不符合题意.对于选项：是向右平移了两个单位长度，所以在上单调递减，在上单调递增，因为，所以不符合题意.对于选项：是向右平移了两个单位长度，所以在上单调递增，则在上单调递增，符合题意.故选.【变式4】下列四个函数中，在其定义域内单调递增的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据幂函数单调性即可判断出A正确，C错误，再根据正切函数和指数函数图象即可得出BD错误.【详解】由幂函数性质可知，定义域为，且在定义域内单调递增；即A正确；在其定义域，上分别单调递减，即C错误；由正切函数图像可知，为周期函数，在定义域内不是单调递增，B错误；由指数函数性质可知，在上为单调递减，所以D错误.故选：A考点三、根据函数单调性解不等式【例3】已知函数，若f(a－2)>3，则a的取值范围是________．【答案】(0，1)【分析】利用函数的单调性解不等式.【详解】解：因为在R上递减，在(－2，＋∞)上递增，所以在定义域(－2，＋∞)上是减函数，且f(－1)＝3，由f(a－2)>3，得f(a－2)>f(－1)，∴，解得0<a<1.故答案为：(0，1)【变式5】已知函数，若，则实数a的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】讨论与0、1的大小关系，写出的解析式，解出不等式后，再求并集即为答案.【详解】因为.①当时，.②当时，.③当时，.综上所述：.故选：D.【变式6】已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据分段函数的表达式，判断函数的单调性，利用函数的单调性进行求解即可．【详解】函数在上为减函数，函数的图像开口向下，对称轴为，所以函数在区间上为减函数，且.所以函数在上为减函数.由得.解得.故选:A.考点四、根据函数单调性比较函数值大小关系【例4】已知函数，若，则（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由函数解析式可知是上的减函数，可得出，，，然后即可得出，，的大小关系，进而得出，，的大小关系．【详解】解：是上的减函数，是上的减函数，是上的减函数，，，，，．故选：．【变式7】已知函数，，，，则（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】由对数运算性质，借助中间量得，进而在结合函数的单调性比较大小即可.【详解】解：由得，解得，所以，函数的定义域为，因为，由于函数在上单调递减，函数在定义域上单调递增，所以，根据复合函数的单调性得在上单调递减，因为，，，所以，因为，所以，因为，所以，所以，，所以，由函数单调递减的性质得.故选：A考点五、根据函数的奇偶性求参数值【例5】若为偶函数，则（

）．A．B．0C．D．1【答案】B【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可.【详解】因为为偶函数，则，解得，当时，，，解得或，则其定义域为或，关于原点对称.，故此时为偶函数.故选：B.【变式8】已知是偶函数，则（

）A．B．C．1D．2【答案】D【分析】根据偶函数的定义运算求解.【详解】因为为偶函数，则，又因为不恒为0，可得，即，则，即，解得.故选：D.【变式9】已知函数为偶函数，则的值为___________.【答案】/0.4【分析】根据偶函数的定义即可求解解析式，代入即可求解.【详解】函数（）是偶函数，，，,故答案为：考点六、抽象函数奇偶性的综合应用【例6】（多选）已知函数的定义域为，，则（

）．A．B．C．是偶函数D．为的极小值点【答案】ABC【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇遇性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D.方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可.【详解】方法一：因为，对于A，令，，故正确.对于B，令，，则，故B正确.对于C，令，，则，令，又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.方法二：因为，对于A，令，，故正确.对于B，令，，则，故B正确.对于C，令，，则，令，又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，对于D，当时，对两边同时除以，得到，故可以设，则，当肘，，则，令，得；令，得；故在上单调递减，在上单调递增，因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，显然，此时是的极大值，故D错误.故选：.【变式10】写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．①；②当时，；③是奇函数．【答案】（答案不唯一，均满足）【分析】根据幂函数的性质可得所求的.【详解】取，则，满足①，，时有，满足②，的定义域为，又，故是奇函数，满足③.故答案为：（答案不唯一，均满足）【变式11】（多选）定义在上的函数满足，当时，，则函数满足（

）A．B．是奇函数C．在上有最大值D．的解集为【答案】AB【分析】由抽象函数满足，令可得，利用奇偶性，单调性的定义可推导函数的奇偶性和单调性，可求函数在区间上的最大值，利用单调性解不等式可得解集.【详解】因为定义在R上的函数满足，令，得，即，A正确，令，得，即，函数为奇函数，B正确，设，则，，由题，，即，所以，函数在R上单调递减，所以C错误，不等式可化为，由在R上单调递减，所以，即，不等式解集为，D错误.故选：AB.考点七、函数周期性的综合应用【例7】已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.【详解】因为函数为偶函数，则，可得，因为函数为奇函数，则，所以，，所以，，即，故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B.【变式12】函数，满足，当，，则______.【答案】1【分析】根据可得周期为2，由可得答案.【详解】因为满足，所以的周期为，.故答案为：1.【变式13】设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【详解】[方法一]：因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由①得：，所以．思路一：从定义入手．所以．[方法二]：因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由①得：，所以．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数的周期．所以．故选：D．考点八、函数对称性的综合应用【例8】已知函数f(x)=sinx+，则（）A．f(x)的最小值为2B．f(x)的图象关于y轴对称C．f(x)的图象关于直线对称D．f(x)的图象关于直线对称【答案】D【分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.【详解】可以为负，所以A错；关于原点对称；故B错；关于直线对称，故C错，D对，故选：D【变式14】已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（

）A．B．C．D．【答案】BC【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC.[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.故选：BC.[方法三]：因为，均为偶函数，所以即，，所以，，则，故C正确；函数，的图象分别关于直线对称，又，且函数可导，所以，所以，所以，所以，，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC.【变式15】（多选）已知函数、定义域均为，且，为偶函数，若，则下面一定成立的是（

）A．B．C．D．【答案】AD【分析】根据条件判断关于中心对称和轴对称，可求出是函数的周期，利用函数的对称性和周期性进行转化求解即可.【详解】由可得函数关于中心对称，且，又因为为偶函数，所以，令等价于，所以可知函数关于轴对称，再令替换，所以，所以知，，，所以，即是函数的周期，由，令，则，故A正确；因为，由已知条件无法求出，故C不正确；由可得，所以B不正确；由可得与关于中心对称，所以是函数的周期，，故D正确.故选：AD.考点九、函数性质的全部综合应用【例9】已知定义在R上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】由已知，函数关于对称，作出函数的图象，数形结合可求解.【详解】由函数为偶函数，知函数关于对称，又函数在上单调递增，知函数在上单调递减，由，知，作出函数的图象，如下：由图可知，当时，，则；当时，，则；当时，，则；当时，，则；所以不等式的解集为：或，故选：C【变式16】已知函数是定义在上的连续函数，且满足，.则的值为（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】令，，代入原式可得，列出等式，，，，再利用累加法计算即可.【详解】令，，因为，，得，即，因为，，，，，，，，将上述个式子累加得，，.故选：D【基础过关】一、单选题1．已知定义在上的函数满足，为奇函数，则（

）A．0B．1C．2D．3【答案】C【分析】由题意推出函数的周期以及满足等式，赋值求得，利用函数的周期性即可求得答案.【详解】因为，所以，所以的周期为6，又为奇函数，所以，所以，令，得，所以,所以，故选：C.2．已知函数，则（

）A．为奇函数B．为偶函数C．为奇函数D．为偶函数【答案】B【分析】方法一：可得，即可得到函数关于对称，从而得到为偶函数；方法二：求出的解析式，即可判断.【详解】方法一：因为，所以，所以函数关于对称，将的函数图象向左平移个单位，关于轴对称，即为偶函数.方法二：因为，，则，所以为偶函数；又，故，，所以，，故为非奇非偶函数；又，故，，所以，，故为非奇非偶函数；又，故，，所以，，故为非奇非偶函数.故选：B3．已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】依题意作函数图像，根据单调性和奇偶性求解.【详解】依题意，函数的大致图像如下图：因为是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，所以在上单调递增，且，则当或时，；当时，，不等式化为或，所以或或，解得或或，即或，即原不等式的解集为；故选：C.4.已知函数是奇函数，函数是偶函数．若，则（

）A．B．C．0D．【答案】C【分析】根据函数的奇偶性结合已知等式可得，联立可得，即得答案.【详解】由函数是奇函数，函数是偶函数，，故，即，将该式和相减可得，则，故选：C5．已知函数是定义在上的偶函数，对任意，且，有，若，则不等式的解集是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】将不等式转化为或，根据奇偶性和单调性可解.【详解】已知是定义在上的偶函数，则，又对任意，且，都有，所以函数在上单调递增，则函数在上单调递减，又，所以，根据函数的单调性可知：等价为或，即或，解得或，即不等式的解集为.故选：.6．已知函数的定义域为，且的图象关于点成中心对称.当时，，则（

）A．1B．3C．D．【答案】C【详解】因为将的图象向右平移1个单位长度后得到函数的图象且的图象关于点成中心对称，所以的图象关于原点成中心对称，则在上是奇函数，所以.故选：C.三、填空题7．已知定义在上的函数满足：为偶函数；当时，．写出的一个单调递增区间为______．【答案】（答案不唯一，符合题意即可）【分析】根据题意可得函数关于直线对称，结合图象分析判断.【详解】因为为偶函数，则，所以函数关于直线对称，结合题意可得函数的图象，如图所示：可得函数的单调递增区间为：.故答案为：.【能力提升】一、单选题8．已知定义在上的函数满足，且是偶函数，当时，，则（

）A．B．C．D．3【答案】C【分析】根据是偶函数和得到是的一个周期，然后利用周期性求函数值即可.【详解】因为是偶函数，所以，则，因为，所以，则是的一个周期，因为，所以，，.故选：C.9．已知函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数，，则下列结论一定正确的是（

）A．函数的周期为3B．C．D．【答案】D【分析】由条件结合奇函数和偶函数的性质可得，，由此可得，再证明为周期为的函数，通过赋值可得，，由此判断B，结合周期函数定义判断A，根据周期函数性质判断CD.【详解】因为为奇函数，所以，将代换为可得，，取可得，，取可得，，又，所以，因为为偶函数，所以，将代换为可得，，又所以，将代换为可得，，所以，所以函数为周期函数，周期为4，由取可得，又，所以，B错误；，C错误；，D正确；因为，，所以函数不是周期为3的函数，A错误；故选：D.10．定义在上的函数满足，且函数的图象关于点对称，则______，______.【答案】1－2021【分析】分析函数的对称性，由构造，由周期性和对称性即可求解.【详解】因为关于对称，所以有.令，则，的图象关于对称，所以.由题设条件得，令，有，则的图象于对称，因为，有，即，则的图象关于对称.所以，又，所以，，所以，所以为的一个周期，，所以.故答案为：1；－2021.课后巩固1.下列函数中，在区间上是减函数的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据基本初等函数的单调性及对数型复合函数的单调性判断即可.【详解】对于A：在定义域上单调递增，故A错误；对于B：在定义域上单调递增，故B错误；对于C：定义域为，因为在上单调递减且值域为，又在定义域上单调递减，所以在上单调递增，故C错误；对于D：，函数在上单调递减，故D正确；故选：D2.已知是偶函数，则（

）A．B．1C．D．2【答案】D【分析】方法一：由偶函数的性质，即可求得的值；方法二：由偶函数图像关于轴对称，求出二次函数对称轴，列出方程求解即可．【详解】方法一：因为，所以，由，得，解得；方法二：，因为是偶函数，所以图像关于直线对称，所以，解得，故选：D．3.设是定义域为R的奇函数，且.若，则（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.【详解】由题意可得：，而，故.故选：C.4.设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【详解】[方法一]：因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由①得：，所以．思路一：从定义入手．所以．[方法二]：因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由①得：，所以．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数的周期．所以．故选：D．5.（多选）已知不恒为0的函数，满足，都有．则（

）A．B．C．为奇函数D．为偶函数【答案】BD【分析】令和，即可判断选项AB；令，即可判断选项CD.【详解】令，则，∴或1．令，则，若，则，与不恒为0矛盾，∴，∴选项B正确选项A错误；令，则，∴，∴为偶函数，∴选项D正确选项C错误.故选：BD．6.定义在R上的连续函数满足，且为奇函数.当时，，则（

）A．B．C．2D．0【答案】B【分析】首先根据题意，得到，，从而得到函数的周期为，再根据求解即可.【详解】因为函数满足，所以关于对称，即①.又因为为奇函数，所以，即②.由①②知，所以，即，所以函数的周期为，所以，,因为时，，所以，又为奇函数，所以当时，，所以，故选：B.8.（多选）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（

）A．B．在上是减函数C．为奇函数D．方程仅有6个实数解【答案】ACD【分析】根据为奇函数，为偶函数，推出函数的一个周期为、的图象关于点对称、关于直线对称，再根据这些性质可判断A正确，B正确，C错误；作出与的大致图象，结合图像可判断D正确.【详解】因为为偶函数，所以，所以，即，因为为奇函数，所以，所以，即，所以，所以，所以，所以，即函数的一个周期为.在中，令，得，在中，令，得，又，所以，故A正确；因为在区间上是增函数，且的一个周期为，所以在上单调递增，在上不为减函数.故B错误；因为，所以，所以，从而为奇函数，故C正确；因为为奇函数，所以的图象关于点对称，因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，又当时，，作出与的大致图象，如图所示.其中单调递减且，所以两函数图象有6个交点，故方程仅有6个实数解，故D正确.故选：ACD.9.函数在上单调递增，则实数的取值范围是________．【答案】.【分析】先求得的单调递增区间为，根据题意得到，即可求解.【详解】由函数，可得函数的单调递增区间为，因为在上单调递增，可得，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：.10.若是奇函数，则_____，______．【答案】；．【分析】根据奇函数的定义即可求出．【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性若，则的定义域为，不关于原点对称若奇函数的有意义，则且且，函数为奇函数，定义域关于原点对称，，解得，由得，，，故答案为：；．[方法二]：函数的奇偶性求参函数为奇函数，[方法三]：因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．故答案为：；．随堂检测1.下列函数中是增函数的为（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.对于B，为上的减函数，不合题意，舍.对于C，在为减函数，不合题意，舍.对于D，为上的增函数，符合题意，故选：D.2.已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由已知有，即可求取值范围.【详解】因为函数是定义在区间上的增函数，满足，所以，解得.故选：D3.已知函数在上单调递增，记，，，则的大小关系为（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据指数函数、对数函数的单调性可得的大小，再利用的单调性可得答案【详解】因为是单调递减函数，所以，因为是单调递增函数，所以，所以，又函数在上单调递增，所以，故选：C.4.设函数,则（

）A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为，利用定义可得出函数为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．【详解】因为函数定义域为，其关于原点对称，而，所以函数为奇函数．又因为函数在上单调递增，在上单调递增，而在上单调递减，在