高考数学总复习《一元二次不等式的解法》专项测试卷及答案

第第页高考数学总复习《一元二次不等式的解法》专项测试卷及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________复习要点1.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.2.会解一元二次不等式和分式不等式.3.了解较简单的不等式恒成立问题的解法．一一元二次不等式的解法1．将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)．2．计算相应的判别式．3．当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．4．利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．二三个二次之间的关系三个二次间的关系，最终转化为二次函数来理解二次方程的根，二次不等式的解集．判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x>x2或x<x1}{x|x≠x1}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅三分式不等式与整式不等式eq\f(fx,gx)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；eq\f(fx,gx)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.四简单的绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为{x＜－a或x＞a}；|x|<a(a>0)的解集为{x|－a＜x＜a}．常/用/结/论1．ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件a>0且b2－4ac<0(x∈R)．2．ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件a<0且b2－4ac<0(x∈R)．判别式的符号，可判断二次函数的图象与x轴的交点个数，从数形结合的角度理解恒成立问题．1．判断下列结论是否正确．(1)不等式－x2－x＋6＞0的解集是{x|x＜－3或x＞2}．()(2)不等式eq\f(x－1,x＋3)≥2等价于x－1≥2x＋6.()(3)不等式x2－a≤0的解集是[－eq\r(a)，eq\r(a)]．()(4)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，关于x的不等式f(x)＜0的解集为(－1,3)，则f(4)＞f(0)＞f(1)．(√)2．若不等式ax2＋bx－2＜0的解集为{x|－2＜x＜1}，则a＋b＝()A．－2 B．0C．1 D．2解析：由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)＝－2＋1，,－\f(2,a)＝－2×1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1，))所以a＋b＝2.答案：D3．若关于x的一元二次不等式2x2－kx＋eq\f(3,8)＞0对于一切实数x都成立，则实数k的取值范围为()A．{k|k＜－eq\r(3)}B．{k|k＞eq\r(3)}C．{k|－eq\r(3)＜k＜eq\r(3)}D．{k|k＜－eq\r(3)或k＞eq\r(3)}解析：由题意，知Δ＝(－k)2－4×2×eq\f(3,8)＜0，解得－eq\r(3)＜k＜eq\r(3).故选C．答案：C4．不等式eq\f(x－1,2x＋1)≤0的解集为()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪[1，＋∞) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪[1，＋∞)解析：原不等式等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－12x＋1≤0，,2x＋1≠0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)≤x≤1，,x≠－\f(1,2)，))即－eq\f(1,2)<x≤1.故原不等式的解集为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)).故选A．答案：A题型一元二次不等式解法的多维研讨维度1一元二次不等式的解法典例1解下列不等式：(1)－3x2－2x＋8≥0；(2)0＜x2－x－2≤4.两题角度不同呢！(1)题先转变二次项系数为正．(2)题转化为不等式组．解：(1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0，即(3x－4)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤eq\f(4,3)，所以原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤x≤\f(4,3))))).(2)原不等式等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－2＞0，,x2－x－2≤4))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－2＞0，,x2－x－6≤0))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2x＋1＞0，,x－3x＋2≤0))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞2或x＜－1，,－2≤x≤3.))借助于数轴，如图所示，数形结合此时固然很好，但是更应加强心算能力．原不等式的解集为{x|－2≤x＜－1或2＜x≤3}．解一元二次不等式的一般方法和步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式的解集为R或∅)．(3)求：求出对应的一元二次方程的根．(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．对点练1解关于x的不等式．(1)－3x2＋6x≤2；(2)(x2－x－1)(x2－x＋1)＞0.解：(1)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.∵Δ＝12＞0，∴方程3x2－6x＋2＝0有两个实数根，解得x1＝eq\f(3－\r(3),3)，x2＝eq\f(3＋\r(3),3)，画出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图所示，由图可得原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤\f(3－\r(3),3)或x≥\f(3＋\r(3),3))))).(2)∵x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)＞0，∴x2－x－1＞0.由求根公式知方程x2－x－1＝0的两根为x1＝eq\f(1－\r(5),2)，x2＝eq\f(1＋\r(5),2).∴x2－x－1＞0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜\f(1－\r(5),2)或x＞\f(1＋\r(5),2))))).∴原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜\f(1－\r(5),2)或x＞\f(1＋\r(5),2))))).维度2分式不等式的解题技法典例2解不等式eq\f(1－2x,x＋1)≥0.解：原不等式可化为(1－2x)(x＋1)≥0且x＋1≠0，解得－1＜x≤eq\f(1,2)，故所求不等式转化为乘积式后，注明分母不为零．的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＜x≤\f(1,2))))).1．分式不等式的转化途径解分式不等式的实质是将分式不等式转化为整式不等式．(1)eq\f(fx,gx)>0⇔f(x)g(x)>0.(2)eq\f(fx,gx)<0⇔f(x)g(x)<0.(3)eq\f(fx,gx)≥0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fxgx≥0，,gx≠0.))(4)eq\f(fx,gx)≤0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fxgx≤0，,gx≠0.))2．“穿针引线法”解一元高次不等式如果分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2，一般使用穿针引线法(亦称数轴标根法)求解．画出符号波浪线，特点是：(1)最右端的区间符号为正．(2)从右至左符号正负交替，并关注因子的指数奇偶的变化，从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，注意应遵循“奇穿偶切”原则．如(x－1)2(x－2)(x－3)≥0在数轴上标根穿线时，点1处的线过而不穿．对点练2解不等式eq\f(3x2－14x＋14,x2－6x＋8)≥1.解：原不等式可化为eq\f(3x2－14x＋14,x2－6x＋8)－1≥0，整理得eq\f(x－1x－3,x－4x－2)≥0.即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1x－2x－3x－4≥0，,x－4≠0，,x－2≠0.))在数轴上标出根的位置，可得不等式的解集为{x|x≤1或2＜x≤3或x＞4}．维度3含参一元二次不等式的解法典例3解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a∈R)．含参一元二次不等式的解法，关键在于如何讨论参数．(ⅰ)参数出现于二次项系数，则讨论a和0的大小；(ⅱ)参数出现在根里面，则比较两根eq\f(1,a)和1的大小，讨论a和1的大小.从而要讨论a和0,1的大小，一方面要看开口方向，另一方面兼顾两根大小比较．解：原不等式可化为(ax－1)(x－1)＜0，当a＞0时，有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)＜0，所以当a＞1时，解得eq\f(1,a)＜x＜1；当a＝1时，解集为∅；当0＜a＜1时，解得1＜x＜eq\f(1,a)；当a＝0时，原不等式等价于－x＋1＜0，即x＞1;当a＜0时，eq\f(1,a)＜1，原不等式可化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)＞0，解得x＞1或x＜eq\f(1,a).综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1＜x＜\f(1,a)))))；当a＝1时，不等式的解集为∅；当a＞1时，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＜x＜1))))；当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞1}；当a＜0时，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜\f(1,a)或x＞1)))).解含参数的一元二次不等式时分类讨论的方法(1)当二次项系数中含有参数时，应讨论二次项系数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.对点练3解关于x的不等式x2－ax＋1≤0.解：由题意知，Δ＝a2－4.①当a2－4＞0，即a＞2或a＜－2时，方程x2－ax＋1＝0的两根为x＝eq\f(a±\r(a2－4),2)，∴原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\f(a－\r(a2－4),2)≤x≤\f(a＋\r(a2－4),2)))).②若Δ＝a2－4＝0，则a＝±2.当a＝2时，原不等式可化为x2－2x＋1≤0，即(x－1)2≤0，∴x＝1；当a＝－2时，原不等式可化为x2＋2x＋1≤0，即(x＋1)2≤0，∴x＝－1.③当Δ＝a2－4＜0，即－2＜a＜2时，原不等式的解集为∅.综上，当a＞2或a＜－2时，原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\f(a－\r(a2－4),2)≤x≤\f(a＋\r(a2－4),2))))；当a＝2时，原不等式的解集为{1}；当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}；当－2＜a＜2时，原不等式的解集为∅.题型三个二次的关系典例4若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，则不等式a(x2＋1)＋逆向思维，－1,2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根．b(x－1)＋c＞2ax的解集是()A．{x|0＜x＜3} B．{x|x＜0或x＞3}C．{x|1＜x＜3} D．{x|－1＜x＜3}解析：由a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax，得ax2＋(b－2a)x＋(a＋c－b)＞0.①又不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，所以a＜0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＋2＝－\f(b,a)，,－1×2＝\f(c,a)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝－1，,\f(c,a)＝－2.))②eq\a\vs4\al(这里可知b＝－a，c＝－2a，代入原,不等式，不必过分强调技巧.)将①两边同除以a，得x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)－2))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(c,a)－\f(b,a)))＜0③.将②代入③，得x2－3x＜0，解得0＜x＜3.故选A．1．三个二次的关系体现了数形结合以及函数与方程的思想方法，应用极广，是高考的热点之一．2．不等式解集的端点值是相应等价方程的根．对点练4(多选)若不等式ax2－bx＋c＞0的解集是(－1,2)，则()A．相应的一元二次函数的图象开口向下B．b＜0且c＞0C．a＋b＋c＞0D．不等式ax2－cx＋b＜0的解集为R解析：由题意知a＜0，所以A正确；由题意可得－1,2是方程ax2－bx＋c＝0的两个根，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＋2＝\f(b,a)，,－1×2＝\f(c,a)，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝a，,c＝－2a，))得b＜0，c＞0，所以B正确；因为－1是方程ax2－bx＋c＝0的根，所以把x＝－1代入方程，得a＋b＋c＝0，所以C不正确；把b＝a，c＝－2a代入不等式ax2－cx＋b＜0，可得ax2＋2ax＋a＜0，因为a＜0，所以x2＋2x＋1＞0，即(x＋1)2＞0，此时不等式的解集为{x|x≠－1}，所以D不正确．答案：AB题型不等式恒成立求参数问题典例5(2024·东北三校联考)已知函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)若当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；在R内恒成立求参，须转化为对判别式Δ的讨论．(2)若当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；在区间内恒成立求参，转化为含参二次函数最值的讨论．(3)若当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．题目中，给出哪个字母的范围，我们就应把该字母看作自变量.本小问中，应把a作为自变量，从而函数转化为关于a的一次函数，x则作为参数处理．解：(1)(在实数集R上恒成立)因为当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，所以Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2，所以实数a的取值范围是[－6,2]．(2)(在给定区间上恒成立)由题意，原不等式可转化为x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2,2]上恒成立，则(x2＋ax＋3－a)min≥0(x∈[－2,2])．下面是对二次函数最小值的讨论，分三种情况，即对称轴和区间的三种不同位置关系，进行讨论．令g(x)＝x2＋ax＋3－a，x∈[－2,2]，函数图象的对称轴方程为x＝－eq\f(a,2).当－eq\f(a,2)＜－2，即a＞4时，g(x)min＝g(－2)＝7－3a≥0，解得a≤eq\f(7,3)，舍去；当－2≤－eq\f(a,2)≤2，即－4≤a≤4时，g(x)min＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＝－eq\f(a2,4)－a＋3≥0，解得－6≤a≤2，所以－4≤a≤2；当－eq\f(a,2)＞2，即a＜－4时，g(x)min＝g(2)＝7＋a≥0，解得a≥－7，所以－7≤a＜－4.综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[－7,2]．(3)(给定参数范围的恒成立)令h(a)＝xa＋x2＋3，此方法常称为“转换主元法”，只需两端点的值都大于或等于0.当a∈[4,6]时，h(a)≥0恒成立．只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(h4≥0，,h6≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4x＋3≥0，,x2