高考数学总复习《随机事件的概率》专项测试卷及答案

第第页高考数学总复习《随机事件的概率》专项测试卷及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________复习要点1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式．一样本空间和随机事件1．样本点和有限样本空间(1)样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示．全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示．(2)有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．2．随机事件(1)定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件．(2)表示：大写字母A，B，C，….(3)随机事件的极端事件：必然事件、不可能事件．二事件的关系与运算名称定义符号表示包含关系若事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系若B⊇A，且A⊇B，则称事件A与事件B相等A＝B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B为不可能事件，则事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅且A∪B＝Ω三频率与概率1．频率的稳定性一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．2．频率稳定性的作用：可以用频率fn(A)估计概率P(A)．常/用/结/论1．为方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形．2．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥．即两事件互斥是对立的必要不充分条件．3．随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中，事件A发生的频率逐渐稳定于事件A发生的概率．1．判断下列结论是否正确．(1)必然事件一定发生．(√)(2)在大量的重复试验中，概率是频率的稳定值．(√)(3)若A∪B是必然事件，则A与B是对立事件．()(4)两个事件的和事件是指两个事件同时发生．()2．一个射手进行射击，记事件A1＝“脱靶”，A2＝“中靶”，A3＝“中靶环数大于4”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件是()A．A1与A2B．A1与A3C．A2与A3D．以上都不对解析：射手进行射击时，事件A1＝“脱靶”，A2＝“中靶”，A3＝“中靶环数大于4”，事件A1与A2不可能同时发生，并且必有一个发生，即事件A1与A2互斥且对立，A不正确；事件A1与A3不可能同时发生，但可以同时不发生，即事件A1与A3互斥而不对立，B正确；事件A2与A3可以同时发生，即事件A2与A3不互斥不对立，C不正确，显然D不正确．答案：B3．(2024·河北邢台第二中学期末)如图所示，A，B，C表示3个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9,0.8，0.8，则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为()A．0.504 B．0.994C．0.996 D．0.964解析：由题意知，所求概率为1－(1－0.9)×(1－0.8)×(1－0.8)＝1－0.004＝0.996.故选C．答案：C4．一只袋子中装有7个红球，3个绿球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个球，若取得两个红球的概率为eq\f(7,15)，取得两个绿球的概率为eq\f(1,15)，则取得两个同颜色的球的概率为________，至少取得一个红球的概率为________．解析：由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，则要取得两个同颜色的球，只需两个互斥事件中有一个事件发生即可，因而取得两个同颜色的球的概率P＝eq\f(7,15)＋eq\f(1,15)＝eq\f(8,15).记事件A为“至少取得一个红球”，事件B为“取得两个绿球”，事件A与事件B是对立事件，则至少取得一个红球的概率P(A)＝1－P(B)＝1－eq\f(1,15)＝eq\f(14,15).答案：eq\f(8,15)eq\f(14,15)题型有限样本空间与随机事件典例1(1)同时掷两颗骰子一次，①“点数之和是13”是什么事件？其概率是多少？②“点数之和在2～13范围之内”是什么事件？其概率是多少？③“点数之和是7”是什么事件？其概率是多少？(2)从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次．①写出这个试验的样本空间．每个样本点可用有序数对表示．②下列随机事件由哪些样本点构成：事件A：取出的两件产品都是正品；事件B：取出的两件产品恰有1件次品．解：(1)由题意知，样本空间中有36个样本点．6×6①由于点数最大是6，和最大是12，点数之和不可能是13，因此此事件不包含任何样本点，是不可能事件，其概率为0.②由于点数之和最小是2，最大是12，在2～13范围之内，此事件包含所有样本点，它是必然事件，其概率为1.③由②知，和是7是有可能的，此事件是随机事件，事件“点数之和是7”包含的样本点有(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，共6个，因此其概率为P＝eq\f(6,6×6)＝eq\f(1,6).(2)①该试验的样本空间Ω＝{(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．②事件A＝{(a1，a2)，(a2，a1)}，包含2个样本点．事件B＝{(a1，b1)，(b1，a1)，(a2，b1)，(b1，a2)}，包含4个样本点．解决这类问题的方法是弄清随机试验的意义和每个事件的含义，判断一个事件是必然事件、不可能事件、随机事件的依据是在一定的条件下，所要求的结果是否一定出现、不可能出现或可能出现、可能不出现.eq\o(\s\up7(),\s\do5())对点练1(1)一个口袋内装有5个白球和3个黑球，从中任意取出一个球，①“取出的球是红球”是什么事件？它的概率是多少？②“取出的球是黑球”是什么事件？它的概率是多少？③“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？(2)做抛掷两颗骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第二颗骰子出现的点数，写出：①试验的样本空间；②事件“点数之和大于8”包含的样本点；③事件“点数相等”包含的样本点；④事件“点数之和大于10”包含的样本点．解：(1)①由于口袋内装有黑、白两种颜色的球，故“取出的球是红球”是不可能事件，其概率为0.②由已知，从口袋内取出一个球，可能是白球，也可能是黑球，故“取出的球是黑球”是随机事件，它的概率是eq\f(3,8).③由于口袋内装的是黑、白两种颜色的球，故取出一个球不是黑球，就是白球，因此“取出的球是白球或黑球”是必然事件，它的概率为1.(2)①这个试验的样本空间为Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}．②事件“点数之和大于8”包含以下10个样本点：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，③事件“点数相等”包含以下6个样本点：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)．④事件“点数之和大于10”包含以下3个样本点：(5,6)，(6,5)，(6,6)．题型随机事件间的关系典例2(1)(多选)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，则分两类eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(一弹击中，,两弹击中.))下列关系正确的是()A．A∩D＝∅ B．B∩D＝∅C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D(2)(2024·广东梅州中学月考)“黑匣子”是飞机专用的电子记录设备之一，黑匣子有两个，分别为驾驶舱语音记录器和飞行数据记录器．某兴趣小组对黑匣子内部构造进行相关课题研究，记事件A为“只研究驾驶舱语音记录器”，事件B为“至少研究一个黑匣子”，事件C为“至多研究一个黑匣子”，事件分清“至多”“至少”所包含的情况至关重要．D为“两个黑匣子都研究”．则()A．A与C是互斥事件B．B与D是对立事件C．B与C是对立事件D．C与D是互斥事件解析：(1)“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中、第二枚没击中或第一枚没击中、第二枚击中，“至少有一弹击中飞机”包含两种情况，一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中，故A∩D≠∅，B∩D＝∅，A∪C＝D，A∪B≠B∪D．故选BC．(2)事件A为“只研究驾驶舱语音记录器”，事件B为“至少研究一个黑匣子”，包含“研究驾驶舱语音记录器”或“研究飞行数据记录器”，或“研究驾驶舱语音记录器和研究飞行数据记录器”；事件C为“至多研究一个黑匣子”，包含“研究驾驶舱语音记录器”或“研究飞行数据记录器”，或两个黑匣子都不研究；事件D为“两个黑匣子都研究”，即“研究驾驶舱语音记录器和研究飞行数据记录器”．所以对于A，事件A与事件C不是互斥事件，故A不正确；对于B，事件B与事件D不是对立事件，故B不正确；对于C，事件B与事件C不是对立事件，故C不正确；对于D，事件C和事件D不能同时发生，故C与D是互斥事件，故D正确．故选D．1．准确把握互斥事件与对立事件(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但可同时不发生．(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．2．判别互斥、对立事件的方法判别互斥、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.对点练2(1)在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是()A．A∪B与C是互斥事件，也是对立事件B．B∪C与D是互斥事件，也是对立事件C．A∪C与B∪D是互斥事件，但不是对立事件D．A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件(2)从6件正品与3件次品中任取3件，观察正品件数与次品件数，判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．①“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；②“至少有1件次品”和“全是次品”．(1)解析：对于A，A∪B与C是互斥事件，但不对立，因为P(A∪B)＋P(C)＝0.7≠1，故A错误；对于B，B∪C与D是互斥事件，但不对立，因为P(B∪C)＋P(D)＝0.8≠1，故B错误；对于C，A∪C与B∪D是互斥事件，也是对立事件，因为P(A∪C)＋P(B∪D)＝1，故C错误；对于D，A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件，因为P(A)＋P(B∪C∪D)＝1，故D正确．答案：D(2)解：从6件正品与3件次品中任取3件，共有4种情况：全是正品；2件正品1件次品；1件正品2件次品；全是次品．①“恰好有1件次品”即“2件正品1件次品”；“恰好有2件次品”即“1件正品2件次品”，它们是互斥事件但不是对立事件．②“至少有1件次品”包括“2件正品1件次品”“1件正品2件次品”“全是次品”3种情况，它与“全是次品”既不是互斥事件也不是对立事件．题型概率的基本性质典例3(2024·辽宁大连高二期末)设A，B是两个事件，以下说法正确的是()A．若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与事件B对立B．若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与事件B互斥C．若P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，则事件A与事件B互斥D．若P(A∩B)＝P(A)P(B)，则事件A与事件B相互独立解析：对于A，B，例如抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A为“出现偶数点”，事件B为“出现1点或2点或3点”，则P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(A)＋P(B)＝1，但事件A，B既不互斥也不对立，故A，通过举反例理解二者关系．B错误；对于C，在不同的试验下，即使P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，也不能说明事件A与事件B一定互斥，故C错误；根据相互独立事件注意问题分析的切入点：不同的试验下．的定义可知，若P(A∩B)＝P(A)P(B)，则事件A与事件B相互独立，故D正确．故选D．求复杂的互斥事件的概率的两种方法(1)直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算．(2)间接求解法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求解法就显得较简便.eq\o(\s\up7(),\s\do5())对点练3(1)某工厂生产了一批雪车，这批产品按质量分为一等品，二等品，三等品．从这批雪车中随机抽取一台雪车检测，已知抽到不是三等品的概率为0.93，抽到一等品或三等品的概率为0.85，则抽到一等品的概率为________．(2)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：①1张奖券的中奖概率；②1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．(1)解析：设抽到一等品、二等品、三等品的事件分别为A，B，C，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PA＋PB＝0.93，,PA＋PC＝0.85，,PA＋PB＋PC＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PA＝0.78，,PB＝0.15，,PC＝0.07，))所以抽到一等品的概率为0.78.答案：0.78(2)解：①设“1张奖券中奖”为事件M，则M＝A∪B∪C．∵A，B，C两两互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1＋10＋50,1000)＝eq\f(61,1000).故1张奖券中奖的概率为eq\f(61,1000).②设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与事件“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－[P(A)＋P(B)]＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1000)＋\f(10,1000)))＝eq\f(989,1000).故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为eq\f(989,1000).题型随机事件的频率与概率典例4(2017·全国Ⅲ卷，文)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40]天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；由频数分布表直接计算频率，再用频率估计概率．(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．解：(1)当最高气温低于25℃时，这种酸奶一天的需求量不超过300瓶．由表格数据知，最高气温低于25℃的频率为eq\f(2＋16＋36,90)＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，这一天的利润取决于需求量，而需求量与当天最高气温有关，因此按当天最高气温分段研究．若当天最高气温不低于25℃，则Y＝6×450－4×450＝900；若当天最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；若当天最高气温低于20℃，则Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100，所以Y的所有可能值为900,300，－100.当最高气温不低于20℃时，Y大于零，由表格数据知，最高气温不低于20℃的频率为eq\