高考数学总复习《幂函数与指、对数式的运算》专项测试卷及答案

第第页高考数学总复习《幂函数与指、对数式的运算》专项测试卷及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________复习要点1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3.理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在化简运算中的作用．一幂函数1．幂函数的定义函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．五种幂函数图象的比较3．幂函数的性质比较函数y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\s\up15(eq\f(1,2))y＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x∈R且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性单调递增当x∈[0，＋∞)时，单调递增；当x∈(－∞，0]时，单调递减单调递增单调递增当x∈(0，＋∞)时，单调递减；当x∈(－∞，0)时，单调递减定点(0,0)，(1,1)(1,1)二指数式1．根式的概念(1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)式子eq\r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．(3)(eq\r(n,a))n＝a.当n为奇数时，eq\r(n,an)＝a；当n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))2．分数指数幂(1)aeq\s\up15(eq\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，n＞1)；(2)aeq\s\up15(－eq\f(m,n))＝eq\f(1,aeq\s\up15(eq\f(m,n)))＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，n＞1)；(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．3．有理数指数幂的运算性质(1)ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．三对数式1．对数的定义如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的运算法则(1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)．(2)对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)．(3)换底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．常/用/结/论换底公式的推论(1)logab·logba＝1.(2)logab·logbc＝logac.(3)loganbn＝logab.(4)logambn＝eq\f(n,m)logab.1．判断下列结论是否正确．(1)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)．()(2)幂函数的图象不可能在第四象限．(√)(3)当n>0时，幂函数y＝xn是增函数．()(4)若ax>1，则x>0.()2．设a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up15(eq\f(2,5))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up15(eq\f(3,5))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up15(eq\f(2,5))，则a，b，c的大小关系是()A．a>c>b B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a解析：∵y＝xeq\s\up15(eq\f(2,5))在x>0时单调递增，∴a>c，又∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))x在x>0时单调递减，∴c>b.∴a>c>b.答案：A3．(多选)下列运算正确的是()A．eq\r(4,3－π4)＝π－3B．e2x＝(ex)2C．eq\r(3,a－b3)＝a－bD．eq\r(ab)＝eq\r(a)·eq\r(b)解析：对于A，eq\r(4,3－π4)＝|3－π|＝π－3，故A正确；对于B，e2x＝(ex)2成立，故B正确；对于C，eq\r(3,a－b3)＝a－b成立，故C正确；对于D，当a<0且b<0时，eq\r(a)和eq\r(b)无意义，故D错误．故选ABC．答案：ABC4．(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,7)))0－(1－0.5－2)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\f(3,8)))eq\s\up15(eq\f(1,3))＝________.(2)1.10＋eln2－0.5－2＋lg25＋2lg2＝________.(3)若x＋x－1＝3，则xeq\s\up15(eq\f(1,2))＋xeq\s\up15(－eq\f(1,2))＝________；x2＋x－2＝________.解析：(1)原式＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,0.52)))÷eq\f(3,2)＝1－(－3)÷eq\f(3,2)＝3.(2)1.10＋eln2－0.5－2＋lg25＋2lg2＝1＋2－4＋2(lg5＋lg2)＝－1＋2＝1.(3)由题意x>0，∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xeq\s\up15(eq\f(1,2))＋xeq\s\up15(－eq\f(1,2))))2＝x＋x－1＋2＝5，∴xeq\s\up15(eq\f(1,2))＋xeq\s\up15(－eq\f(1,2))＝eq\r(5)，x2＋x－2＝(x＋x－1)2－2＝32－2＝7.答案：(1)3(2)1(3)eq\r(5)7题型有关幂函数的图象与性质的理解典例1(1)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是()A．d＞c＞b＞a B．a＞b＞c＞dC．d＞c＞a＞b D．a＞b＞d＞c(2)幂函数f(x)满足∀x≥0，f(x)＝f(－x)<f(x＋1)，则此函数可以是f(x)＝f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增．________.(写出一个满足条件的答案即可)解析：(1)由幂函数的图象可知在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知a＞b＞c＞d.故选B．(2)令幂函数f(x)＝xα(α为常数)，题中没有给出f(x)的定义域的限制信息，因此f(x)的定义域可为R.由“∀x≥0，f(x)＝f(－x)”知，函数f(x)是偶函数．又∀x≥0，f(x)<f(x＋1)，则函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，因此α可以为正偶数，所以此函数可以是f(x)＝x2，f(x)＝x4，….故答案为x2(答案不唯一)．幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．(3)当α＞0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；当α＜0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．对点练1(1)幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象如图所示，则实数m的值为()A．3 B．0C．1 D．2(2)(2024·黑龙江哈尔滨九中开学考试)已知幂函数f(x)的图象过点(－8，－2)，且f(a＋1)≤－f(a－3)，则实数a的取值范围是________．解析：(1)∵函数在(0，＋∞)上单调递减，∴m2－2m－3<0，解得－1<m<3.∵m∈Z，∴m＝0,1,2.而当m＝0或2时，y＝x－3为奇函数，当m＝1时，y＝x－4为偶函数．∴m＝1.(2)设f(x)＝xα，则(－8)α＝－2，解得α＝eq\f(1,3)，所以f(x)＝xeq\s\up15(eq\f(1,3))，则f(x)在R上单调递增，且为奇函数，所以f(a＋1)≤－f(a－3)等价于f(a＋1)≤f(3－a)，则a＋1≤3－a，解得a≤1.答案：(1)C(2)(－∞，1]题型有关指数幂的基本运算典例2(1)计算：(eq\r(3,2)×eq\r(3))6－4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,49)))eq\s\up15(－eq\f(1,2))－2lneq\r(e)＋21＋log23＝________.(2)计算：2eq\r(3)×eq\r(3,1.5)×eq\r(6,12)＝________.(3)化简：eq\r(3,aeq\s\up15(eq\f(2,3))·\r(a－3))·eq\r(a－5eq\s\up15(－eq\f(1,2))aeq\s\up15(－eq\f(1,2))13)(a＞0)＝________.根式的乘除运算，最简单的方法就是转化为分数指数幂运算．(4)若xeq\s\up15(eq\f(1,2))＋xeq\s\up15(－eq\f(1,2))＝3(x>0)，则eq\f(xeq\s\up15(eq\f(3,2))＋xeq\s\up15(－eq\f(3,2))－3,x2＋x－2－2)＝________.由已知可推得x＋x－1＝7，进而x2＋x－2＝47.求xeq\s\up15(eq\f(3,2))＋xeq\s\up15(－eq\f(3,2))时注意立方和公式的应用．解析：(1)原式＝(2eq\s\up15(eq\f(1,3))×3eq\s\up15(eq\f(1,2)))6－4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(49,16)))eq\s\up15(eq\f(1,2))－2×lneeq\s\up15(eq\f(1,2))＋2×2log23＝22×33－4×eq\f(7,4)－2×eq\f(1,2)＋2×3＝106.故答案为106.(2)原式＝2×3eq\s\up15(eq\f(1,2))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up15(eq\f(1,3))×12eq\s\up15(eq\f(1,6))＝2×3eq\s\up15(eq\f(1,2))×3eq\s\up15(eq\f(1,3))×2eq\s\up15(－eq\f(1,3))×3eq\s\up15(eq\f(1,6))×2eq\s\up15(eq\f(1,3))＝2eq\s\up15(1－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3))×3eq\s\up15(eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6))＝2×3＝6.故答案为6.(3)原式＝[aeq\s\up15(eq\f(2,3))·(a－3)eq\s\up15(eq\f(1,2))]eq\s\up15(eq\f(1,3))·(aeq\s\up15(eq\f(5,2))·aeq\s\up15(－eq\f(13,2)))eq\s\up15(eq\f(1,2))＝aeq\s\up15(eq\f(2,9))·aeq\s\up15(－eq\f(1,2))·aeq\s\up15(eq\f(5,4))·aeq\s\up15(－eq\f(13,4))＝aeq\s\up15(－eq\f(5,18))·a－2＝aeq\s\up15(－eq\f(41,18)).故答案为aeq\s\up15(－eq\f(41,18)).(4)由xeq\s\up15(eq\f(1,2))＋xeq\s\up15(－eq\f(1,2))＝3，两边平方，得x＋x－1＝7，再平方得x2＋x－2＝47，∴x2＋x－2－2＝45.xeq\s\up15(eq\f(3,2))＋xeq\s\up15(－eq\f(3,2))＝(xeq\s\up15(eq\f(1,2)))3＋(xeq\s\up15(－eq\f(1,2)))3＝(xeq\s\up15(eq\f(1,2))＋xeq\s\up15(－eq\f(1,2)))·(x－1＋x－1)应用了立方和公式：a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)．＝3×(7－1)＝18.∴eq\f(xeq\s\up15(eq\f(3,2))＋xeq\s\up15(－eq\f(3,2))－3,x2＋x－2－2)＝eq\f(1,3).故答案为eq\f(1,3).指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．对点练2(1)计算：eq\r(3,aeq\s\up15(eq\f(9,2))\r(a－3))÷eq\r(\r(3,a－7)·\r(3,a13))＝________.(2)计算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(1,4)))0.5－0.752＋6－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,27)))eq\s\up15(－eq\f(2,3))＝________.(3)已知a＋a－1＝5，求a2＋a－2，aeq\s\up15(eq\f(1,2))＋aeq\s\up15(－eq\f(1,2))，aeq\s\up15(eq\f(1,2))－aeq\s\up15(－eq\f(1,2)).(1)解析：因为eq\r(a－3)有意义，所以a>0，所以原式＝eq\r(3,aeq\s\up15(eq\f(9,2))·aeq\s\up15(－eq\f(3,2)))÷eq\r(aeq\s\up15(－\f(7,3))·aeq\s\up15(\f(13,3)))＝eq\r(3,a3)÷eq\r(a2)＝a÷a＝1.答案：1(2)解析：原式＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2))eq\s\up15(eq\f(1,2))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2＋eq\f(1,36)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3))eq\s\up15(－eq\f(2,3))＝eq\f(3,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2＋eq\f(1,36)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))－2＝eq\f(3,2)－eq\f(9,16)＋eq\f(1,36)×eq\f(9,4)＝1.答案：1(3)解：a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝23.(aeq\s\up15(eq\f(1,2))＋aeq\s\up15(－eq\f(1,2)))2＝a＋a－1＋2＝7.∵aeq\s\up15(eq\f(1,2))＋aeq\s\up15(－eq\f(1,2))>0，∴aeq\s\up15(eq\f(1,2))＋aeq\s\up15(－eq\f(1,2))＝eq\r(7).(aeq\s\up15(eq\f(1,2))－aeq\s\up15(－eq\f(1,2)))2＝a＋a－1－2＝3.∴aeq\s\up15(eq\f(1,2))－aeq\s\up15(－eq\f(1,2))＝±eq\r(3).题型有关对数式的基本运算典例3计算：(1)lg25＋lg50＋lg2×lg500＋(lg2)2；(2)log2eq\f(\r(4,8),2)×log5[3log95－(3eq\r(3))eq\s\up15(eq\f(2,3))＋7eq\s\up15(eq\f(ln6－ln2,ln7))]；(3)若log147＝a,14b＝5，则用a，b表示log3528.解：(1)原式＝2lg5＋(lg5＋1)＋lg2(2＋lg5)＋(lg2)2＝1＋3lg5＋2lg2＋lg2(lg5＋lg2)＝1＋3lg5＋3lg2＝1＋3(lg5＋lg2)＝4.(2)原式＝log22eq\s\up15(－eq\f(1,4))×log5[9eq\s\up15(log9eq\r(5))－(3eq\s\up15(eq\f(3,2)))eq\s\up15(eq\f(2,3))＋7log73]＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))×log5(eq\r(5)－3＋3)＝－eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝－eq\f(1,8).(3)∵14b＝5，∴log145＝b.又log147＝a，∴log3528＝eq\f(log1428,log1435)＝eq\f(log14\f(142,7),log145＋log147)＝eq\f(2－a,a＋b).看已知，望结论，只有换底公式一条路啦！在对数运算中要注意的几个问题(1)在化简与运算中，一般先用幂的运算将底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则进行拆或合．(2)ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中要注意互化．对点练3(1)(多选)(2024·湖北宜昌摸底)下列各式化简运算结果为1的是()A．log53×log32×log25B．lgeq\r(2)＋eq\f(1,2)lg5C．logeq\s\do8(eq\r(a))a2(a>0，且a≠1)D．eln3－0.125eq\s\up15(－eq\f(1,3))(2)自然数22023的位数为(参考数据：lg2≈0.3010)()A．607 B．608C．609 D．610(3)5lg30×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up15(lgeq\f(1,2))＝________.解析：(1)对于A，原式＝eq\f(lg3,lg5)×eq\f(lg2,lg3)×eq\f(lg5,lg2)＝1；对于B，原式＝eq\f(1,2)lg2＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)lg(2×5)＝eq\f(1,2)；对于C，原式＝2logeq\s\do8(eq\r(a))a＝2×2＝4；对于D，原式＝3－8eq\s\up15(eq\f(1,3))＝3－2＝1.故选AD．(2)因为lg22023＝2023lg2≈2023×0.3010＝608.923，所以22023≈10608.923，即22023的位数为608＋1＝609，故选C．(3)设x＝5lg30×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up15(lgeq\f(1,2))＝5(1＋lg3)×3lg2，易知x>0，则lgx＝lg5(1＋lg3)＋lg3lg2＝(1＋lg3)×lg5＋lg2×lg3＝lg5＋lg3×lg5＋lg2×lg3＝lg5＋(lg5＋lg2)×lg3＝lg5＋lg3＝lg15.∴x＝15.答案：(1)AD(2)C(3)15题型指数、对数运算在实际问题中的应用典例4(1)(2019·全国Ⅱ卷)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：eq\f(M1,R＋r2)＋eq\f(M2,r2)＝(R＋r)eq\f(M1,R3).设α＝eq\f(r,R).由于α的值很小，因此在近似计算中eq\f(3α3＋3α4＋α5,1＋α2)≈3α3，则r的近似值为()A．eq\r(\f(M2,M1))R B．eq\r(\f(M2,2M1))RC．eq\r(3,\f(3M2,M1))R D．eq\r(3,\f(M2,3M1))R(2)(多选)(2023·新高考全国Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lgeq\f(p,p0)，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则()A．p1≥p2 B．p2>10p3C．p3＝100p0 D．p1≤100p2解析：(1)将r＝αR代入方程可得eq\f(M1,R＋αR2)＋eq\f(M2,α2R2)此代换起到简化运算的作用．＝(1＋α)eq\f(M1,R2)，即eq\f(M1,1＋α2)＋eq\f(M2,α2)＝(1＋α)M1，由此计算出eq\f(M2,M1)的表达式，很多同学会被难倒．∴eq\f(α2α3＋3α2＋3α,1＋α2)＝eq\f(M2,M1)，即eq\f(M2,M1)＝eq\f(α5＋3α4＋3α3,1＋α2)，∴eq\f(M2,M1)≈3α3，∴α≈eq\r(3,\f(M2,3M1))，∴r＝αR≈eq\r(3,\f(M2,3M1))R.故选D．(2)因为Lp＝20×lgeq\f(p,p0)随着p的增大而增大，且Lp1∈[60,90]，Lp2∈[50,60]，所以Lp1≥Lp2，所以p1≥p2，故A正确；由Lp＝20×lgeq\f(p,p0)，得p＝p010eq\s\up15(eq\f(Lp,20))，因为Lp3＝40，所以p3＝p010eq\s\up15(eq\f(40,20))＝100p0，故C正确；假设p2>10p3，则p010eq\s\up15(eq\f(Lp2,20))>10p010eq\s\up15(eq\f(Lp3,20))，所以10eq\s\up15(eq\f(Lp2,20)－eq\f(Lp3,20))>10，所以Lp2－Lp3>20，不可能成立，故B不正确；这样计算并不简捷.【另解】由Lp2－Lp3≥10，推得20lgeq\f(p2,p0)－20lgeq\f(p3,p0)≥10，经对数运算有p2≥eq\r(10)p3.因为eq\f(100p2,p1)＝eq\f(100p010eq\s\up15(\f(Lp2,20)),p010eq\s\up15(\f(Lp1,20)))＝10eq\s\up15(eq\f(Lp2,20)－eq\f(Lp1,20)＋2)≥1，所以p1≤100p2，故D正确．故选ACD．此题难点在选项D，并不是比较