湘教版九年级上册数学期中考试试卷含答案解析

湘教版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。（每小题只有一个正确答案）1．已知反比例函数，则下列各点中，在这个反比例图象上的是（）A． B． C． D．2．反比例函数y＝(a-1)xa的图象在()A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限3．下列命题是假命题的是（）A．所有的矩形都相似B．所有的圆都相似C．一个角是100°的两个等腰三角形相似D．所有的正方形都相似4．已知线段a、b有，则为（）A． B． C． D．5．方程的根为（）A．，B．，C．D．6．已知关于x的方程的一个根为，则实数的值为（）A． B．1 C．2 D．7．关于x的方程（为常数）的实数根的个数有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个8．如图，△ABC中，边BC＝12cm，高AD＝6cm，边长为x的正方形PQMN的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则正方形边长x为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm9．锐角三角函数tan30°的值是（）A．1 B． C． D．10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则的值为（）A．1 B． C． D．二、填空题11．已知点在反比例函数的图象上，则a=______．12．已知反比例函数的图象具有下列特征：在所在的象限内，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是________．13．当x=______时，与的值相等．14．设，则＝_______，＝________．15．已知方程．当_______时，为一元二次方程．16．如图，一斜坡AB长80m，高BC为5m，将重物从坡底A推到坡上20m的M处停下，则停止地点M的高度为__________．17．已知一个三角形的两边长为3和4，若第三边长是方程x2-12x+35=0的一个根，则这个三角形周长为____________，面积为____________．18．如图P是正方形内的一点，将绕点C逆时针方向旋转后与重合，若，则=______．三、解答题19．解下列方程：（1）（2）20．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，求这个反比例函数的表达式，并在同一平面直角坐标系内，画出这两个函数的图象．21．如图，在中，是斜边上的高．求证：（1）；（2）．22．在长方形钢片剪去一个小长方形，制成一个四周宽相等的长方形框（如图），已知长方形钢片的长为30cm，宽为20cm，要使制成的长方形框的面积为．求这个长方形框的框边宽．23．已知关于x的一元二次方程，试判断方程根的个数，且说明理由．24．已知A(n，-2)，B(1，4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）求△AOC的面积；（3）求不等式kx+b<的解集(直接写出答案)．25．已知:如图,在正方形ABCD中,P是BC上的点,且BP=3PC,Q是CD的中点｡求证:△ADQ∽△QCP｡26．益群精品店以转件21元的价格购进一批商品，该商品可以白行定价，若每件商B品位价a元，可卖出（350-10a）件，但物价局限定每件商品的利润率不得超过20%，商店计划要盈利400元，求每件商品应定价多少元？参考答案1．B【解析】根据点在函数图象上，点的坐标就应该满足函数的解析式，反过来点的坐标满足函数解析式，点就在该函数图象上，通过xy=-5即可确定答案．【详解】解：A、1×5=5所以此点不在该函数图象上，故本选项错误；B、-1×5=-5所以此点在该函数图象上，故本选项正确；C、-1×（-5）=5所以此点不在该函数图象上，故本项错误；D、2×5=10所以此点不在该函数图象上，故本选项错误；故选：B．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特点，熟记点的坐标与函数解析式的关系是解题关键．2．B【解析】分析：根据反比例函数增减性即可判断函数图象所在象限．详解：∵函数y＝(a-1)xa是反比例函数，∴a=-1，∴a-1=-2，∴函数图象位于第二、四象限，故选B．点睛：本题考查了反比例函数的性质，知道增减性即可判断函数图象所在象限．3．A【分析】根据相似图形的性质判断命题真假即可；【详解】矩形的各个角都相等，但边不一定成比例，故A是假命题；所有的圆都相似，故B是真命题；一个角是100°的两个等腰三角形相似，故C是真命题；所有的正方形都相似，故D是真命题；故答案选A．【点睛】本题主要考查了命题与定理，相似图形，准确分析判断是解题的关键．4．C【分析】把比例式化成乘积式求出ab之间的关系即可.【详解】∵∴解得∴故选C.【点睛】本题考查比例的性质，熟练利用比例的性质转换比例式和乘积式是解题的关键.5．B【分析】根据因式分解法解方程即可；【详解】，，，，；故答案选B．【点睛】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，准确计算是解题的关键．6．D【分析】将代入方程可得到一个关于k的等式，求解即可．【详解】将代入得：，解得：，故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．理解题意得出关于k等式是解题关键．7．D【分析】根据题意可分当时和当时，然后利用一元二次方程根的判别式可直接进行求解．【详解】解：由关于x的方程（为常数）可得：当时，原方程为，故方程只有一个解，当时，原方程为一元二次方程，则有：，∴该方程有两个不相等的实数根；综上所述：该方程根的个数为1个或2个；故选D．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．8．B【分析】连接PD、DN，三角形ABC的面积等于△BPD的面积+△CDN的面积+△APD的面积+△ADN的面积，列出关于正方形边长的方程即可求出．【详解】解：设正方形的边长为x，PN交AD于E，如右图，连接PD、DN．（BD+CD）x+AD（PE+NE）=，解得x=4．故选B．考点：三角形的面积．9．B【分析】根据锐角三角函数值求解．【详解】解：tan30°．

故选：B．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，对于特殊角的三角函数值必须熟记．10．B【分析】根据互余角的三角函数间的关系：sin（90°-α）=cosα，cos（90°-α）=sinα解答即可．【详解】解：解：∵在△ABC中，∠C=90°，

∴∠A+∠B=90°，

∴sinA=cosB=，

故选：B．【点睛】本题考查了互余两角的三角函数关系式，掌握当∠A+∠B=90°时，sinA=cosB是解题的关键．11．3【分析】把点代入反比例函数解析式，求解即可．【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，∴，解得，故答案为：3．【点睛】本题考查反比例函数上点的坐标特征，掌握反比例函数上点的坐标特征是解题的关键．12．m＜3【分析】根据题意，由反比例函数的性质，可得：m3＜0，据此求出m的取值范围即可．【详解】解：∵反比例函数的图象具有下列特征：在所在的象限内，y随x的增大而增大，∴m3＜0，∴m＜3．故答案为：m＜3．【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（2）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．13．或6【分析】根据题意列出一元二次方程进行求解．【详解】解：，解得，．故答案是：或6．【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．14．【解析】试题分析：考点：比例的性质．15．【解析】试题分析：方程为一元二次方程，则解得考点：一元二次方程的概念．16．【解析】试题分析：设停止地点M的高度为，根据，则，解得考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．17．126【解析】试题分析：解方程-12x+35=0，得=5，=7，即第三边的边长为5或7．∵1＜第三边的边长＜7，∴第三边的边长为5．∴这个三角形的周长是3+4+5=12．又，∴此三角形是直角三角形，∴这个三角形的面积=×3×4=6．故答案为12，6．考点：①解一元二次方程；②三角形三边关系；③勾股定理逆定理．18．【分析】由旋转的性质可得：再利用勾股定理可得答案．【详解】解：正方形，旋转角：故答案为：【点睛】本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．19．（1）或；（2）或【分析】（1）把原方程化为：，再利用直接开平方法解方程即可得到答案；（2）先把方程左边按多项式乘以多项式展开，再整理得到：，再利用公式法解方程即可得到答案．【详解】（1）解：由可知：∴即或．（2）解：由可知：从而可得：∴，．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法，公式法解一元二次方程是解题的关键．20．，见解析【分析】把代入求出m的值，利用待定系数法即可求解．【详解】解：由题意，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，则在上，∴，又∵在上，∴，∴反比例函数的表达式：，函数图象如图：．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．21．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）欲证明，只要证明△ACD∽△ABC即可．（2）欲证明．，只要证明△CDB∽△ADC即可．【详解】证明：（1）∵∠A＝∠A，∠CDA＝∠ACB＝90°，∴△ACD∽△ABC，∴∴（2）在与中又∵，∴∴∴∴．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．22．这个长方形框的框边宽为5cm【分析】由题意，可设框宽为xcm，长方形框的面积=钢片的面积－空白的面积．据相等关系，列方程求解即可．【详解】解：设这个长方形的框边宽为xcm，由题意得：整理可得：解得：或又∵2x=，所以x=20舍去，即方程只有一个根∴这个长方形框的框边宽为5cm【点睛】本题考查一元二次方程的面积问题，找到题目的相等关系，再设、列、解、答．注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．23．时，，方程有两个相等的实数根；时，，方程有两个不相等的实根，理由见解析【分析】根据一元二次方程根的判别式即△=b2－4ac的符号判断求解即可【详解】解：由关于x的一元二次方程可知：分情况讨论：1）当时，，方程有两个相等的实数根.2）当时，，方程有两个不相等的实根.【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．24．（1）反比例函数关系式：；一次函数关系式：y=2x+2；（2）2；（3）x<-2或0<x<1.【分析】（1）由B点在反比例函数y=图象上，可求出m，再由A，B点在一次函数图象上，由待定系数法求出函数解析式；（2）由（1）可得A，C两点的坐标，从而求出△AOC的面积；（3）由图象观察函数y=的图象在一次函数y=kx+b图象的上方，即可求出对应的x的范围．【详解】（1）∵B(1,4)在反比例函数y=的图象上，∴m=4，又∵A(n,−2)在反比例函数y=的图象上，∴n=−2，又∵A(−2,−2)，B(1,4)是一次函数y=kx+b图象上的点，∴可得,解得k=2，b=2，∴反比例函数关系式为；一次函数关系式：y=2x+2；（2）如图，过点A作AE⊥CE，

由（1）可得A(−2,−2)，C(0,2)，∴AE=2，CO=2，∴．（3）由图象知：当0<x<1和x<−2时函数y=的图象在一次函数y=kx+b图象的上方，∴不等式kx+b<的解集为：0<x<1或x<−2．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合运用，灵活运用一次函数和反比例函数的图象、性质及解析式是解题关键．25．证明见解析.【详解】∵四边形ABCD是正方形，BP=3PC，Q是CD的中点，∴QC=QD=AD，CP=AD，∴，又∵∠ADQ=∠QCP，∴△ADQ∽△QCP．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，属