备战2024年高考数学一轮复习易错题06平面向量含解析

易错点06平面对量—备战2024年高考数学一轮复习易错题【典例分析】（2024年一般高等学校招生全国统一考试数学）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范用是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先依据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】的模为2，依据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是，故选：A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面对量数量积的取值范围，涉及到的学问点有向量数量积的定义式，属于简洁题目.【易错警示】易错点1．遗漏零向量【例1】已知与平行，则值的个数是________．【错解】由得，即，解之得（舍），∴的值只有一个．【错因】零向量与任一向量平行，当时，为零向量，也与平行．【正解】由得，解得，∴的值应有两个．易错点2．弄错两个向量的夹角【例2】在中,,则的值为()A20B-20CD【错解】因为,则=20,故选A.【错因】弄错向量与的夹角．【正解】由题意,故-20，选B.易错点3．混淆向量与向量的模致误【例3】两列火车从同一站台沿相反方向开去，行驶了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为和，那么下列命题中错误的是()与为平行向量B．与为模相等的向量C．与为共线向量D．与为相等向量【错解】由向量的基本概念知与方向相反，∴与是平行向量，即共线向量．又∵两列火车所行路程相同，∴与的模相等．∴与是模相等且方向相反的向量，即A错．【错因】路程相同对应向量的模相等.【正解】由向量的基本概念知与方向相反，∴与是平行向量，即共线向量．又∵两列火车所行路程相同，∴与的模相等．∴与是模相等且方向相反的向量，即D错．易错点4．认为与的夹角为钝角（锐角）致错【例4】设平面对量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（）A．B．C．D．【错解】由与的夹角为钝角，所以，即，解得，故选C．【错因】忽视运用时，其中包含了两向量反向的状况．【正解】由与的夹角为钝角，所以，即，解得，又当与共线且反向时，，得．所以的取值范围是且，故选A．易错点5．记错两个向量平行的坐标关系【例5】已知向量，，若，则m＝.【错解】∵，又，∴，得.【错因】把“若，，则”错记成“”.【正解】∵，又，∴，得.易错点6：不能将向量与三角函数进行联系【例6】若平面对量满意，，且以向量为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是．【错解】以为邻边的平行四边形的面积为：，所以，．【错因】忽视三角函数有界性应用致误【正解】以为邻边的平行四边形的面积为：，所以，又因为，所以，即且，所以．易错点7：忽视向量的方向致误【例7】已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且，则()（A）点P在线段AB上（B）点P在线段AB的反向延长线上（C）点P在线段AB的延长线上（D）点P不在直线AB上【错解】因为，所以，所以点P在线段AB上，故选A.【错因】表示P点在AB的延长线上，而不是在AB上.【正解】因为，所以，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B.【变式练习】1.已知中，，则是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、不能确定【答案】C【解析】，所以，故选C．2.若向量，，与夹角为钝角，则的取值范围是_______.【答案】【解析】因与的夹角为钝角,解得或(1)又由与共线且反向可得(2)由(1),(2)得的范围是3.设向量，，则是的（）条件．A．充要B．必要不充分C．充分不必要D．既不充分也不必要【答案】C【解析】若则，若，有可能或为0，故选C．4．如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】故选：5．已知向量，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，即，则，即都不正确，即答案A，B，C都不正确．而，则，应选答案D．6．在边长为的等边中，点满意，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，即，则.故选：C.7．已知与的夹角为，，，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，两边平方可得，又因为与的夹角为，所以，所以，解得.故选：D8．已知向量，则的最大值为（）A．1 B． C．3 D．9【答案】C【解析】因为，所以当时，取得最大值.9．已知向量，，若向量与的夹角为，则实数（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得：，，，解得：本题正确选项：10．设向量，，若与的夹角为锐角，则实数x的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为与的夹角为锐角，所以，即，解得.当与同向时，设（），则，所以，解得，从而且.故选：C11．中，，，的外接圆圆心为O，对于的值，下列选项正确的是（）A．12 B．10 C．8 D．不是定值【答案】A【解析】如图，取中点D，中点E，连接，，则：，；∴.故选:A12．如图,半径为的扇形的圆心角为,点在上,且,若,则()A． B． C． D．【答案】A【解析】如图所示，建立直角坐标系，，即，即，又，，，解得，，故选A.13．在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】中设，，，，即，，，，，，，，，依据直角三角形可得，，，，，以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴建立直角坐标系可得，，，P为直线上的一点，则存在实数使得,设，，则，，,,，则,,故所求的最小值为,故选：D.【真题演练】1．【2024年高考全国III卷理数】6.已知向量a，b满意，，，则A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，.，因此，.故选：D．【点睛】本题考查平面对量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面对量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算实力，属于中等题.2．【2024年新高考全国Ⅰ卷】已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是A． B．C． D．【答案】A【解析】如图，的模为2，依据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是，故选：A．【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面对量数量积的取值范围，涉及到的学问点有向量数量积的定义式，属于简洁题目.3．【2024年高考全国Ⅰ卷理数】设为单位向量，且，则______________.【答案】【解析】因为为单位向量，所以所以，解得：，所以，故答案为：.【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化实力，属于中档题.4．【2024年高考全国II卷理数】已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.【答案】【解析】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，即：，解得：.故答案为：．【点睛】本题主要考查平面对量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等学问，意在考查学生的转化实力和计算求解实力.5．【2024年高考天津】如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．【答案】(1).；(2).【解析】，，，，解得，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，,∵，∴的坐标为,∵又∵,则，设，则（其中），，，，所以，当时，取得最小值.故答案为：；.【点睛】本题考查平面对量数量积的计算，考查平面对量数量积的定义与坐标运算，考查计算实力，属于中等题.6．【2024年高考北京】已知正方形的边长为2，点P满意，则_________；_________．【答案；【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点、、、，，则点，，，因此，，.故答案为：；.【点睛】本题考查平面对量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点的坐标是解答的关键，考查计算实力，属于基础题.7．【2024年高考浙江】已知平面单位向量，满意．设，，向量，的夹角为，则的最小值是_______．【答案】【解析】，，，.故答案为：.【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解实力，属中档题.8．【2024年高考江苏】在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使