专题12-2 不等式选讲归类-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（解析版）

专题12-2不等式选讲归类目录TOC\o"1-1"\h\u【题型一】解参数型绝对值基础不等式 1【题型二】满足区间范围的不等式求参 2【题型三】借助图像求参 3【题型四】绝对值三角不等式公式型 5【题型五】绝对值最值与均值最值型 6【题型六】绝对值最值与三元均值型 8【题型七】均值不等式型证明 9【题型八】均值综合型三元不等式证明 10【题型九】柯西不等式证明 11【题型十】绝对值不等式与柯西不等式型 13真题再现 14模拟检测 21【题型一】解参数型绝对值基础不等式【典例分析】．已知函数，.（1）解关于的不等式；（2）若函数的图象恒在函数图象的上方，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）由，得.根据2-a的符号进行讨论解绝对值不等式（2）函数的图象恒在函数图象的上方，即对任意实数恒成立；即对任意实数恒成立；所以只需求得不等式左边的的最小值即得结论，借助三角不等式即可得（1）由，得.当，即时，不等式的解集为；当，即时，得或，即或，故原不等式的解集为；综上，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.（2）函数的图象恒在函数图象的上方，即对任意实数恒成立；即对任意实数恒成立；∵，当时取等号；∴.故时，函数的图象恒在函数图象的上方.【提分秘籍】基本规律【变式演练】已知函数（1）若的解集为，求实数的值；（2）当且时，解关于的不等式【答案】（I）（Ⅱ）试题解析：（1）因为所以5分（2）时等价于当所以舍去当成立当成立所以，原不等式解集是10分【题型二】满足区间范围的不等式求参【典例分析】已知函数（）．（1）当时，解不等式；（2）当时，，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．试题解析：（1）因为，所以，即，当时，，，，从而；当时，，，，从而不等式无解；当时，，，从而；综上，不等式的解集为．（2）由，得，因为，所以当时，；当时，记不等式的解集为，则，故．所以的取值范围是．【变式演练】设.（1）解不等式；（2）若不等式在上恒成立,求实数的取值范围.【答案】（1）（2）试题解析：（1）,所以当时,,满足原不等式；当时,,原不等式即为,解得满足原不等式；当时,不满足原不等式综上原不等式的解集为.（2）当时,,由于原不等式在上恒成立,,在上恒成立,,设,易知在上为增函数,.【题型三】借助图像求参【典例分析】已知函数．（1）画出和的图像；（2）若，求a的取值范围．【答案】（1）图像见解析；（2）【解析】【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；（2）根据函数图像数形结和可得需将向左平移可满足同角，求得过时的值可求.【详解】（1）可得，画出图像如下：，画出函数图像如下：（2），如图，在同一个坐标系里画出图像，是平移了个单位得到，则要使，需将向左平移，即，当过时，，解得或（舍去），则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.【变式演练】已知函数.（1）若，求不等式的解集；（2）若方程有三个不同的解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.试题解析：（1）当时，所以当时，，不合题意；当时，，解得；当时，，符合题意.综上可得的解集为.（2）设的图象和的图象如图所示.易知的图象向下平移个单位以内（不包括个单位），与的图象始终有个交点，从而.所以实数的取值范围为.【题型四】绝对值三角不等式公式型【典例分析】已知函数.（Ⅰ）当a=2时，求不等式的解集；（Ⅱ）设函数.当时，，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．试题解析：（Ⅰ）当时，.解不等式，得.因此，的解集为.（Ⅱ）当时，，当时等号成立，所以当时，等价于.①当时，①等价于，无解.当时，①等价于，解得.所以的取值范围是.【提分秘籍】基本规律利用公式||a|-|b||≤|a±b||a±b|≤|a|+|b【变式演练】设函数,其中．（I）当时,解不等式；（II）若对于任意实数,恒有成立,求的取值范围．【答案】（I）；（II）.试题解析：（Ⅰ）时,就是当时,,得,不成立；当时,,得,所以；当时,,即,恒成立,所以.综上可知,不等式的解集是.(Ⅱ)因为,所以的最大值为.对于任意实数,恒有成立等价于.当时,,得；当时,,,不成立.综上,所求的取值范围是【题型五】绝对值最值与均值最值型【典例分析】设．(1)求的解集;(2)若的最小值为，且，求的最小值．四川省南充高级中学2023届高考模拟检测七文科数学试题【答案】(1)(2)【分析】（1）将函数写成分段函数，再分段求解，最后取并集即可；（2）由绝对值三角不等式可得，于是有，再利用基本不等式求解即可.【详解】（1），当时，或或,解得或或，所以，故解集为；（2），当且仅当即时，等号成立，∴，∴，∵a，b为正实数，∴，当且仅当，即时，等号成立．故的最小值为．【变式演练】已知函数．(1)求函数的最小值M；(2)若且，求的最小值．【答案】(1);(2).【分析】（1）利用零点分段法将写出分段函数的形式，画出图象，由图象可以看出函数的最小值；（2）由（1）知，利用基本不等式可得，再利用基本不等式可得的最小值.【详解】（1）由于，作出此函数图象如图所示:由图象可知函数的最小值为，即．（2）由（1）知，所以，所以，即，当且仅当时等号成立，∴,当且仅当时等号成立．故的最小值为.【题型六】绝对值最值与三元均值型【典例分析】已知．(1)求不等式的解集；(2)若的最小值为，正实数，，满足，求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）将的解析式写出分段函数的形式，解不等式即可.（2）先求的最小值，方法1：运用多个绝对值之和最小值求法，方法2：运用函数单调性；再运用“1”的代换与基本不等式可证得结果.【详解】（1）。即：①当时，，解得；②当时，，解得；③当时，，无解，综上：不等式的解集为．（2）方法1：，当且仅当时等号成立．所以，所以，即.方法2：由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，所以,所以，即.∴，当且仅当，即时，等号成立．【变式演练】已知函数．(1)解不等式；(2)设的最小值为m，且，求证．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）用分段函数表示函数，再分段解不等式作答.（2）利用（1）的结论，利用均值不等式“1”的妙用推理作答.【详解】（1）依题意，函数，因此不等式化为：或或，解得或或，所以不等式的解集为．（2）由（1）知，，即有，因此，当且仅当，即，，时等号成立，所以．【题型七】均值不等式型证明【典例分析】已知a，b为正实数．(1)证明：；(2)若，证明：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用作差法证明即可；（2）依题意可得，则，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得；(1)证明：因为，所以，当且仅当时取等号，又，所以，即；(2)证明：因为，，，即，所以，所以当且仅当，即、时取等号，即；【变式演练】已知，，．(1)证明：；(2)若，证明：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）将展开，配方，再将条件代入可得，从而可证.（2）由均值不等式结合条件可得，再由题意，，从而可证.(1)．(2)因为，所以，又，即，由于，，所以．【题型八】均值综合型三元不等式证明【典例分析】已知，且.证明：(1)；(2).【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由均值不等式和根式的运算即可证明；（2）由均值不等式结合不等式的性质和根式的运算即可证明.【详解】（1）证明：因为，有，则，即，所以，当且仅当即时取等号.（2）证明：因为，有，，，则有，，，得，当且仅当时取等号.【变式演练】．已知a，b，c都是正数，且，证明：(1)若，则(2).【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）把条件代入之后，运用二元形式的基本不等式可得；（2）先对各项的分子用基本不等式之后进行变形可证.【详解】（1）因为，则.当且仅当时取等号得证.（2）a，b，c都是正数，故成立，当且仅当取等号.【题型九】柯西不等式证明【典例分析】已知对应的三边分别为，，.(1)若，，是正实数，求证：，当时，等号成立；(2)求证：.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由柯西不等式证明即可；（2）由（1）可得不等式左边大于等于，再由基本不等式可得证.【详解】（1）（1）由柯西不等式易知，因为，，都为正数，所以，当且仅当时，等号成立.（2）为正数，所以由（1）可得，当且仅当时取等号成立.【提分秘籍】基本规律柯西不等式，可以通过观察凑配法来准确构造：位置1和2是等价齐次。否则就是需要凑配具体可以用下边推论来待定系数配凑【变式演练】设a，b，c均为正数，且．(1)求的最小值；(2)证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）依题意可得，则，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得；（2）利用柯西不等式证明即可；【详解】（1）解：，，都是正数，且，，当且仅当即时等号，即的最小值为；（2）证明：由柯西不等式得即，故不等式成立，当且仅当时等号成立；【题型十】绝对值不等式与柯西不等式型【典例分析】已知函数．(1)若存在，使得，求实数的取值范围；(2)令的最小值为．若正实数，，满足，求证：．【答案】(1)；(2)证明见解析．【分析】（1）由绝对值定义分类讨论去绝对值符号化为分段函数，由函数性质得最小值，再解相应不等式可得；（2）由柯西不等式证明．【详解】（1），所以在上递减，在上递增，所以，，解得；（2）由（1）得，，所以，当且仅当时等号成立．【变式演练】．已知，函数的最大值为3，(1)求实数m的值；(2)若实数a，b，c满足，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据绝对值三角不等式求出函数的最大值，结合已知最大值可求出；（2）根据柯西不等式可求出结果.(1).∵，∴，当且仅当时取等号，∴.又∵的最大值为3，∴，∴.(2)由（1）知，，所以，根据柯西不等式得，当且仅当时取等号，又，所以当且仅当时取等号，∴，∴的最小值为1．已知a，b，c都是正数，且，证明：(1)；(2)；【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可．【详解】（1）证明：因为，，，则，，，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号．（2）证明：因为，，，所以，，，所以，，当且仅当时取等号．2．已知a，b，c均为正数，且，证明：(1)；(2)若，则．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）方法一：根据，利用柯西不等式即可得证；（2）由（1）结合已知可得，即可得到，再根据权方和不等式即可得证.【详解】（1）[方法一]：【最优解】柯西不等式由柯西不等式有，所以，当且仅当时，取等号，所以.[方法二]：基本不等式由，，，，当且仅当时，取等号，所以.（2）证明：因为，，，，由（1）得，即，所以，由权方和不等式知，当且仅当，即，时取等号，所以.【点睛】（1）方法一：利用柯西不等式证明，简洁高效，是该题的最优解；方法二：对于柯西不等式不作为必须掌握内容的地区同学，采用基本不等式累加，也是不错的方法．3．已知函数.（1）求的值；（2）求，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据分段函数的解析式，代入计算即可；（2）先判断的取值范围，再代入分段函数解析式，得到的具体不等式写法，解不等式即可.【详解】解：（1）因为，所以，因为，所以.（2）因为，则，因为，所以，即，解得.4．已知函数．（1）画出和的图像；（2）若，求a的取值范围．【答案】（1）图像见解析；（2）【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；（2）根据函数图像数形结和可得需将向左平移可满足同角，求得过时的值可求.【详解】（1）可得，画出图像如下：，画出函数图像如下：（2），如图，在同一个坐标系里画出图像，是平移了个单位得到，则要使，需将向左平移，即，当过时，，解得或（舍去），则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.5．已知函数．（1）当时，求不等式的解集;（2）若，求a的取值范围．【答案】（1）.（2）.【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式化简，由此求得的取值范围.【详解】（1）[方法一]：绝对值的几何意义法当时，，表示数轴上的点到和的距离之和，则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，当或时所对应的数轴上的点到所对应的点距离之和等于6，∴数轴上到所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或，所以的解集为.[方法二]【最优解】：零点分段求解法

当时，．当时，，解得；当时，，无解；当时，，解得．综上，的解集为．（2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值依题意，即恒成立，，当且仅当时取等号，,故，所以或，解得.所以的取值范围是.[方法二]【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值由是数轴上数x表示的点到数a表示的点的距离，得，故，下同解法一.[方法三]：分类讨论+分段函数法当时，则，此时，无解．当时，则，此时，由得，．综上，a的取值范围为．[方法四]：函数图象法解不等式

由方法一求得后，构造两个函数和，即和，如图，两个函数的图像有且仅有一个交点，由图易知，则．【整体点评】（1）解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法．方法一采用几何意义方法，适用于绝对值部分的系数为1的情况，方法二使用零点分段求解法，适用于更广泛的情况，为最优解；（2）方法一，利用绝对值不等式的性质求得，利用不等式恒成立的意义得到关于的不等式，然后利用绝对值的意义转化求解；方法二与方法一不同的是利用绝对值的几何意义求得的最小值，最有简洁快速，为最优解法方法三利用零点分区间转化为分段函数利用函数单调性求最小值，要注意函数中的各绝对值的零点的大小关系，采用分类讨论方法，使用与更广泛的情况；方法四与方法一的不同在于得到函数的最小值后，构造关于的函数，利用数形结合思想求解关于的不等式.6．已知函数．（1）画出的图像；（2）求不等式的解集．【答案】（1）详解解析；（2）.【分析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数的解析式，作出图象；（2）作出函数的图象，根据图象即可解出．【详解】（1）因为，作出图象，如图所示：（2）将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象，如图所示：由，解得．所以不等式的解集为．【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．7．已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求a的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）分别在、和三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当时，.当时，，解得：；当时，，无解；当时，，解得：；综上所述：的解集为或.（2）（当且仅当时取等号），，解得：或，的取值范围为.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.8．已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：（1）；（2）．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用将所证不等式可变为证明：，利用基本不等式可证得，从而得到结论；（2）利用基本不等式可得，再次利用基本不等式可将式转化为，在取等条件一致的情况下，可得结论.【详解】（1）

当且仅当时取等号，即：（2），当且仅当时取等号又，，（当且仅当时等号同时成立）又

【点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.1．设函数.(1)求不等式的解集；(2)求直线与的图象围成的三角形的面积的最大值.【答案】(1)(2)6【分析】（1）将函数写成分段函数，再分类讨论得到不等式组，解得即可；（2）画出函数图象，结合图形可得当时所围成的三角形面积取得最大值，再求出交点坐标，即可求出三角形的面积.【详解】（1）解：因为，所以不等式等价于或或，解得或或，综上可得不等式的解集为.（2）解：作出的大致图象如图所示，由已知可得当时，直线与的图象围成的的面积最大，由，令，即或，解得或，所以，，，所以的面积为.2．已知函数．(1)解不等式；(2)设函数的最小值为，若正数，，满足，证明：．【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】（1）分，，三种情况讨论解不等式，最后再取并集即可；（2）先由绝对值三角不等式求出，再由结合基本不等式求解即可.【详解】（1）当时，，由可得，则；当时，，由可得显然成立，则；当时，，由可得，则；综上：不等式的解集为；（2），当且仅当即时取等，，则，又，，均为正数，则，当且仅当，即时等号成立，则.3．已知均为正实数，且.(1)求的最小值;(2)证明:.【答案】(1)6(2)证明见解析【分析】（1）利用三元基本不等式求解即可.（2）利用基本不等式证明即可得到答案.【详解】（1）由基本不等式可知，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为6.（2）因为，所以..同理可得，所以，当且仅当时等号成立.所以，即4．已知函数．(1)求不等式的解集；(2)若恒成立，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）讨论，两种情况，分别求解，即可得出结果；（2）由绝对值三角不等式得到的最小值，再解不等式，即可得出结果.（1）当时，原不等式可化为，解得，所以；当时，原不等式可化为，解得，所以，综上，原不等式的解集为；（2）（2）由恒成立，可得恒成立，因为，所以，解得或．即的取值范围是．5．已知函数．(1)若，求的解集；(2)若恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）分，和三种情况求解即可，（2）问题转化为，令，然后利用绝对值三角不等式求出的最小值，使，从而可求出实数a的取值范围.（1）由题知，即．当时，．当时，，解得，；当时，，恒成立，；当时，，解得，，的解集为．（2）由，即．令，，当且仅当时等号成立，，，∴，解得或，实数a的取值范围为．6．已知函数，且的解集为（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，都是正实数，且，求证：.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)见解析【详解】试题分析：（I）考查绝对值不等式的解法（II）采用配“1”法应用基本不等式证明或者采用柯西不等式证明.试题解析：（I）依题意,即,∴

（II）方法1:∵∴当且仅当,即时取等号

方法2:∵∴由柯西不等式得整理得当且仅当,即时取等号.7．已知，，为正数，且，