专题9-4 抛物线性质应用归类-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练VIP

专题9-4抛物线性质应用归类目录TOC\o"1-3"\h\u【题型一】抛物线定义 3【题型二】焦半径1：坐标公式 4【题型三】焦半径2：极坐标公式转化 5【题型四】焦点弦1： 6【题型五】焦点弦2：中位线型 7【题型六】焦点弦3：焦点定比值 8【题型七】抛物线切线 8【题型八】最值范围1：线段型最值 9【题型九】最值范围2：面积型最值 10【题型十】抛物线与圆 10【题型十一】抛物线与椭圆 11【题型十二】抛物线与双曲线 11二、真题再现 12三、模拟检测 14结束 15综述1.抛物线有关知识：(1)抛物线定义：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.(2)抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))离心率e＝1准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下2．重要公式(1)弦长公式：|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|；(2)韦达定理：x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(c,a).3.抛物线y2＝2px(p>0)焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点E，准线为l.(1)焦半径问题：①焦半径：|AF|＝|AD|＝x1＋eq\f(p,2)，|BF|＝|BC|＝x2＋eq\f(p,2)(随焦点位置变动而改变)；②焦点弦：|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(其中，α为直线AB的倾斜角)；③eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)；焦半径公式得：，，(2)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝eq\f(p2,4)，y1·y2＝－p2(随焦点动而变)；(3)其他结论：①S△OAB＝eq\f(p2,2sinα)(其中，α为直线AB的倾斜角)； ②以AB为直径的圆必与准线相切于点H．【题型一】抛物线定义【典例分析】已知是抛物线上的点，F是抛物线C的焦点，若，则______．【提分秘籍】基本规律抛物线定义(1)抛物线定义：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.(2)抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))离心率e＝1准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下【变式演练】1..如果P1,P2,⋯,Pn是抛物线A．n+10B．n+20C．2n+10D．2n+202.我们知道，二次函数的图象是抛物线，有同学发现经过抛物线这一节的学习，结合函数图象平移的性质可求出该抛物线的焦点坐标.则二次函数的图象的焦点坐标为（

）A． B． C． D．3..曲线上存在两点A，B到直线到距离等于到的距离，则（

）A．12 B．13 C．14 D．15【题型二】焦半径1：坐标公式【典例分析】在抛物线上有三点A，B，C，F为其焦点，且F为ABC的重心，则（

）A．6 B．8 C．9 D．12【提分秘籍】基本规律抛物线y2＝2px(p>0)焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点E，准线为l.分别做A、B在准线上垂线垂足为C，D.焦半径问题：①焦半径：|AF|＝|AD|＝x1＋eq\f(p,2)，|BF|＝|BC|＝x2＋eq\f(p,2)(随焦点位置变动而改变)由对称性，可得如下对称结论：（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.【变式演练】1.．已知的三个顶点都在抛物线上，为抛物线的焦点，若，则（

）A．3 B．6 C．9 D．122.已知抛物线的焦点为F，点A，B是抛物线C上不同两点，且A，B中点的横坐标为2，则（

）A．4 B．5 C．6 D．83.设点在抛物线上，是焦点，则（

）A．880 B．878 C．876 D．882【题型三】焦半径2：极坐标公式转化【典例分析】已知抛物线E关于轴对称，它的顶点在坐标原点，点在抛物线上．(1)求该抛物线E的方程及其准线方程；(2)直线过抛物线E的焦点，交该抛物线于两点，且，求的长度．【提分秘籍】基本规律抛物线y2＝2px(p>0)焦点为F，焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，结合极坐标知识中的圆锥曲线同一方程，可得焦半径如下简洁公式：焦半径公式：，，【变式演练】1.若过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，且直线l的倾斜角，点A在x轴上方，则的取值范围是______．2.如图，过抛物线的焦点F作两条互相垂直的弦AB、CD，若与面积之和的最小值为32，则抛物线的方程为___________．【题型四】焦点弦1：【典例分析】已知抛物线（是正常数）上有两点，，焦点，甲：乙：丙：.丁：以上是“直线经过焦点”的充要条件有几个（

）A．0 B．1 C．2 D．3【提分秘籍】基本规律抛物线y2＝2px(p>0)焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点E，准线为l.焦半径：eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)。焦点弦：|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(其中，α为直线AB的倾斜角)【变式演练】1.已知抛物线C：的焦点F到其准线的距离为2，圆M：，过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则的最小值为__________.2.如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点四点，则的最小值为__________．3.如图所示，已知抛物线过点，圆.过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，则的最小值为（

）A． B． C． D．【题型五】焦点弦2：中位线型【典例分析】设抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，过的中点作轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点，若，则直线的方程为__________．【提分秘籍】基本规律抛物线y2＝2px(p>0)焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点E，准线为l.①焦半径：|AF|＝|AD|＝x1＋eq\f(p,2)，|BF|＝|BC|＝x2＋eq\f(p,2)(随焦点位置变动而改变)；②焦点弦：|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(其中，α为直线AB的倾斜角)；【变式演练】1.（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则（

）A． B．抛物线的方程为C．直线的方程为 D．2..抛物线的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为__________．3.过抛物线的焦点作直线交抛物线于点，，若，则线段的中点到抛物线准线的距离为_________.【题型六】焦点弦3：焦点定比值【典例分析】已知抛物线，过焦点P的直线交抛物线C于A，B两点，且线段的长是焦半径长的3倍，则直线的斜率为______．【提分秘籍】基本规律过抛物线的焦点F的弦AB与对称轴的夹角为|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)【变式演练】1.已知倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于两点（点在第一象限），若，则______．2.若是抛物线上一点，是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，则______．3.过抛物线，的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若，则直线l的倾斜角等于__________.【题型七】抛物线切线【典例分析】过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点．【提分秘籍】基本规律抛物线切线有如下结论与性质：1.过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点．3.点是抛物线上一点，则抛物线过点P的切线方程是：．【变式演练】1.已知是抛物线：上一点，且位于第一象限，点到抛物线的焦点的距离为4，过点向抛物线作两条切线，切点分别为，，则（

）A． B．1 C．16 D．2.过点作抛物线的切线，，切点分别为，，若的重心坐标为，且P在抛物线上，则的焦点坐标为（

）A． B． C． D．【题型八】最值范围1：线段型最值【典例分析】已知点在抛物线上，是抛物线的焦点，点为直线上的动点，我们可以通过找对称点的方法求解两条线段之和的最小值，则的最小值为（

）A．8 B． C． D．【提分秘籍】基本规律抛物线线段型最值，可转化为：1.利用定义和焦半径公式，把到焦点距离转化为到准线距离，或者把到准线距离转化为到焦点距离2.设抛物线上点坐标，结合题意构造距离函数式求范围最值【变式演练】1..抛物线与圆交于、两点，圆心，点为劣弧上不同于、的一个动点，平行于轴的直线交抛物线于点，则的周长的取值范围是A． B． C． D．2.抛物线的焦点为F，准线为，A、B是抛物线上的两个动点，且满足.设线段AB的中点M在上的投影为N，则的最大值是A． B．1 C． D．3.已知过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，Q为AB的中点，P为C上一点，则的最小值为（

）A． B． C．8 D．5【题型九】最值范围2：面积型最值【典例分析】已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆：作切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为（

）A．1 B．2 C． D．【变式演练】1.已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是________.2.已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（）A． B． C． D．3.已知为抛物线的焦点，点都是抛物线上的点且位于轴的两侧，若(为原点)，则和的面积之和的最小值为（）A． B． C． D．【题型十】抛物线与圆【典例分析】在平面直角坐标系xOy中，若抛物线C:y2=2px()的焦点为F，直线x=3与抛物线C交于A，B两点，｜AF|=4，圆E为的外接圆，直线OM与圆E切于点M，点N在圆E上，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律抛物线与圆的综合题型，多从以下几方面入手：1.圆外一点与圆上一点距离，多转化为与圆心的距离2.抛物线上点与焦点（或者准线）距离，多转化为与准线（或焦点）的距离。3.利用圆的方程与抛物线的方程，可以设点坐标计算。【变式演练】1.已知抛物线的准线与圆只有一个公共点，设是抛物线上一点，为抛物线的焦点，若（为坐标原点），则点的坐标是（

）A．或 B．或C． D．2..抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点做直线与此抛物线交于，两点，若，则（

）A．3 B．4 C．5 D．63.已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（

）A．2 B． C．4 D．【题型十一】抛物线与椭圆【典例分析】已知抛物线的焦点F是椭圆的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A、B两点，若是正三角形，则椭圆的离心率为A． B． C． D．【变式演练】1.已知椭圆的半焦距为，左焦点为，右顶点为，抛物线与椭圆交于，两点，若四边形是菱形，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．2.已知点A是抛物线的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上．在△PAB中，，当m取最小值时，点P恰好在以A，B为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为________．3.已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，若是线段的中点，则椭圆的方程为__．【题型十二】抛物线与双曲线【典例分析】已知双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点M到直线和的距离之和的最小值为（

）A． B． C． D．【变式演练】1.已知点F为抛物线的焦点，，点M为抛物线上一动点，当最小时，点M恰好在以A，F为焦点的双曲线C上，则双曲线C的渐近线斜率的平方是（

）A． B． C． D．2.已知双曲线的左，右焦点分别为，抛物线与双曲线有相同的焦点．设为抛物线与双曲线的一个交点，且,则双曲线的离心率为A．或 B．或3 C．2或 D．2或33.已知抛物线：的焦点恰好是双曲线的右焦点，且与的交点的连线过点，设双曲线的渐近线的斜率为，则的值为___________.福建省龙岩市2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题1．（2007·全国·高考真题（理））焦点在，顶点在的抛物线方程是（

）A． B． C． D．2．（辽宁·高考真题（文））已知为抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为

A． B． C． D．3．（·山东·高考真题（文））抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点，若在点处的切线平行于的一条渐近线，则A． B． C． D．4．（海南·高考真题（理））已知点P在抛物线上，那么点P到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为A． B． C． D．5．（·浙江·高考真题（理））若椭圆的左、右焦点分别为、，线段被抛物线的焦点分成的两段，则此椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．6．（全国·高考真题（文））如果抛物线的准线方程是，那么这条抛物线的焦点坐标是（

）A． B． C． D．7．（湖北·高考真题（理））双曲线的左准线为l，左焦点和右焦点分别为和；抛物线的准线为l，焦点为；与的一个交点为M，则等于（

）A． B．1 C． D．8．（山东·高考真题（文））已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为A． B．C． D．9．（湖北·高考真题（文））将两个顶点在抛物线y2=2px（p＞0）上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则（）A．n=0 B．n=1 C．n=2 D．n≥310．（2021·全国·高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.11．（2017·天津·高考真题（文））设抛物线的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若，则圆的方程为____________.12．（2018·全国·高考真题（理））已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．1．已知抛物线的焦点为F，抛物线上的任意一点P到焦点F的距离比到直线的距离少，过焦点F的直线与抛物线C交于A，B两点，直