专题9-1 直线与方程题型归类-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练

专题9-1直线与方程题型归类目录TOC\o"1-3"\h\u【题型一】直线倾斜角与斜率最值范围 3【题型二】绕点旋转动直线 3【题型三】含三角函数的圆切线型动直线 4【题型四】含参双动直线 5【题型五】关于直线对称 5【题型六】直线光学性质 6【题型七】三角形三大线：中线，高，角平分线 6【题型八】平行线 7【题型九】直线应用1：叠纸 7【题型十】直线应用2：直线与曲线交点 8【题型十一】直线应用3：直线与函数（切线型） 8【题型十二】直线应用4：距离公式 9【题型十三】直线应用5：直线与方程 10【题型十四】直线与最值 10真题再现 11模拟检测 13综述1.斜率公式(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tanα.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).2．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用3．几种距离公式(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离：|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离：d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离：d＝4.两条直线的位置关系(1)斜截式判断法：①两条直线平行：对于两条不重合的直线l1、l2：(ⅰ)若其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2. (ⅱ)当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.(2)一般式判断法：设两直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0，则有：①l1∥l2⇔A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1； ②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.5．直线系方程：(1)平行线系：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为：Ax＋By＋m＝0(m≠C)；(2)垂直线系：与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为：Bx－Ay＋n＝0；(3)交点线系：过A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线可设：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.6.直线的对称问题：(1)点关于线对称：方程组法，设对称后点的坐标为(x，y)，根据中点坐标及垂直斜率列方程组；(2)线关于线对称：①求交点； ②已知直线上取一个特殊点，并求其关于直线的对称点；③两点定线即可.(3)圆关于线对称：圆心对称，半径不变.(4）则对称直线必过圆心且与两点所在的弦中垂.7.对称：1.关于轴对称问题：（1）点关于直线的对称点，则有；（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.2点关于直线对称：求解点关于直线的对称点的基本方法如下：①与连线与直线垂直，即；②中点在直线上，即；③与到直线的距离相等，即；上述三个等量关系中任选两个构成方程组，即可求得对称点坐标.3.直线关于点对称：（1方法一：可以取两个点，利用中点坐标公式求出对应点的坐标，再由两点求出直线方程）（2）方法二：对称直线和原直线是互为平行线，且到点的距离相等，所以可以待定系数法，利用点到直线距离公式求解（注意会有增根，增根对应的恰好是原直线方程）4.对称技巧：如果对称轴所在的直线斜率是，即直线是型，可以利用反解对称轴法直接求出对称变换式子(1)如果关于直线的对称点为，则的坐标为；(2)如果关于直线的对称点为，则的坐标为．【题型一】直线倾斜角与斜率最值范围【典例分析】设直线，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式演练】1.已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（

）A． B．C． D．2.已知点P为曲线上一动点，，，则的最大值为（

）A． B． C． D．3.已知四边形各顶点的坐标分别为，，，，点为边的中点，点在线段上，且是以角为顶角的等腰三角形，记直线，的倾斜角分别为，，则A． B． C． D．【题型二】绕点旋转动直线【典例分析】已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为（

）A． B．C． D．【变式演练】1.已知直线则当m、n变化时，直线都通过定点2.下列对动直线的四种表述不正确的是（

）A．与曲线C：可能相离，相切，相交B．恒过定点C．时，直线斜率是0D．时，直线的倾斜角是135°3.已知，，三个数成等差数列，直线恒过定点，且在直线上，其中，则的最小值为（

）A． B． C．2 D．4【题型三】含三角函数的圆切线型动直线【典例分析】）设直线系，，对于下列四个命题：（1）中所有直线均经过一个定点；（2）存在定点不在中的任意一条直线上；（3）对于任意整数，，存在正边形，其所有边均在中的直线上；（4）中的直线所能围成的正三角形面积都相等；其中真命题的是（

）A．（2）（3） B．（1）（4） C．（2）（3）

（4） D．（1）（2）【变式演练】1.直线系，直线系A中能组成正三角形的面积等于______.2.设直线系（），则下列命题中是真命题的个数是（）①存在一个圆与所有直线相交；②存在一个圆与所有直线不相交；③存在一个圆与所有直线相切；④中所有直线均经过一个定点；⑤不存在定点不在中的任一条直线上；⑥对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上；⑦中的直线所能围成的正三角形面积都相等．A．3 B．4 C．5 D．63.已知集合{直线其中是正常数}，下列结论中正确的是（

）A．当时，中直线的斜率为B．中所有直线均经过同一个定点C．当时，中的两条平行线间的距离的最小值为D．中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面【题型四】含参双动直线【典例分析】设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（

）A．4 B．10 C．5 D．【变式演练】1.设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为（

）A． B． C． D．2.过定点M的直线与过定点N的直线交于点P，则的最大值为（

）A．2 B． C．4 D．83.设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点不重合），则面积的最大值是（

）A． B．5 C． D．【题型五】关于直线对称【典例分析】若曲线关于直线的对称曲线是，则的值为（

）A．2 B． C．1 D．不确定【变式演练】1.设函数的图象与的图象关于直线对称，若，，，则（

）A． B． C． D．2.设函数的图象与的图象关于直线对称，若，，，则（

）A． B． C． D．3.已知直线：与直线关于直线：对称，直线与直线：垂直，则的值为（

）A． B． C．3 D．【题型六】直线光学性质【典例分析】在直角坐标系中，已知和直线，试在直线上找一点，在轴上找一点，使三角形的周长最小，最小值为__．【变式演练】1.已知等腰直角三角形三个顶点，和，P为的中点，一质点从点P出发，经，反射后又回到点P（如图），则的周长为（

）A． B．3 C． D．42.已知点，O为坐标原点，P，Q分别在线段上运动，则的周长的最小值是（

）A． B． C．5 D．3.如图，平面上两点，在直线上取两点使，且使的值取最小，则的坐标为____________．【题型七】三角形三大线：中线，高，角平分线【典例分析】已知在中，其中，，的平分线所在的直线方程为，则的面积为（

）A． B． C．8 D．【变式演练】1.若△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，则直线BC的方程为________.2.已知为等腰直角三角形，C为直角顶点，AC中点为，斜边上中线CE所在直线方程为，且点C的纵坐标大于点E的纵坐标，则AB所在直线的方程为_______________________.3.若等边三角形的一条中线所在直线的斜率为1，则该等边三角形的三边所在直线的斜率之和为___________.【题型八】平行线【典例分析】若直线m被两平行线与所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°.其中正确答案的序号是_____(写出所有正确答案的序号)．【变式演练】1.若三条直线不能围成三角形，则实数的取值最多有（

）A．个 B．个C．个 D．个2.已知直线；，若，都是正数，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．3.设两条直线的方程分别为，，已知a，b是方程的两个实根，且，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（

）A．1， B．， C．， D．1，【题型九】直线应用1：叠纸【典例分析】折纸艺术是我国民间的传统文化，将一矩形纸片放在平面直角坐标系中，，将矩形折叠，使点落在线段上，设折痕所在直线的斜率为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式演练】1.将一张画有直角坐标系的图纸对折，使点与重合，若此时点恰与点D重合，则点D的坐标是________．2.将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点与点重合，点与点重合，则（

）A．1 B．2023 C．4043 D．40463.已知一张纸上面有半径为4的圆O，在圆O内有一个定点A，且，折叠纸片，使圆上某一点刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当取遍圆上所有点时，所有折痕与的交点形成的曲线记为C，则曲线C上的点到圆O上的点的最大距离为__________．【题型十】直线应用2：直线与曲线交点【典例分析】在平面直角坐标系中，函数的图象上有三个不同的点位于直线上，且这三点的横坐标之和为0，则这条直线必过定点（

）A． B． C． D．【变式演练】1.直线与曲线有且仅有一个公共点，则b的取值范围是（

）A． B．或C． D．2.曲线与直线有两个不同的交点时实数的范围是（

）A． B． C． D．3.对于任意放置的椭圆，经过椭圆上的任意一点有且仅有一直线与该椭圆有一个交点，则称该直线为椭圆的切线.椭圆绕坐标原点逆时针旋转45°后得到的椭圆中最高点与原点的距离为_______.【题型十一】直线应用3：直线与函数（切线型）【典例分析】已知函数，如果函数恰有三个不同的零点，那么实数的取值范围是________【变式演练】1.已知函数，若关于的方程有两个解，则实数的取值范围是A． B．C． D．2.已知，若的图象与轴有3个不同的交点，则实数的取值范围为______.3.已知是定义在R上的奇函数，当时，，有下列结论：①函数在上单调递增；②函数的图象与直线有且仅有2个不同的交点③若关于x的方程的实数根之和为8；④函数的值域为.其中所有正确答案的编号是______________.【题型十二】直线应用4：距离公式【典例分析】已知，则的最小值为（

）A． B．3C． D．6【变式演练】1.若不等式对任意，恒成立，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．2.已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．【题型十三】直线应用5：直线与方程【典例分析】已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y＝kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于l1：a1x+b1y﹣1＝0和l2：a2x+b2y﹣1＝0的交点情况是（）A．存在k，P1，P2使之无交点B．存在k，P1，P2使之有无穷多交点C．无论k，P1，P2如何，总是无交点D．无论k，P1，P2如何，总是唯一交点【变式演练】1.定义点P(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为d＝.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2.以下命题正确的是（

）A．若d1－d2＝0，则直线P1P2与直线l平行B．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l平行C．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直D．若d1·d2＜0，则直线P1P2与直线l相交2.若方程表示定直线l，为不在l上的定点，则方程一定是（

）A．过点M且与直线l相交的直线 B．过点M且与直线l平行的直线C．过点M且与直线l垂直的直线 D．以上均不对3.已知直线l过点，倾斜角，下列方程可以表示直线l的是（

）A． B．C． D．【题型十四】直线与最值【典例分析】已知、，直线，，且，则的最小值为（

）A． B．C． D．【变式演练】1.已知O为坐标原点，直线上存在一点P，使得，则k的取值范围为（

）A． B．C． D．2.已知在平面直角坐标系中直线l恒过定点（2，1）.与x正半轴y正半轴分别相交A、B两点，O为坐标原点，则△周长的最小值是_____________.3.已知点M，N分别在直线：与直线：，且，点，，则|的最小值为（

）A． B． C． D．1．直线关于点对称的直线方程是（

）A． B．C． D．2020年山东省春季高考数学真题2．已知直线的图像如图所示，则角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角2020年山东省春季高考数学真题3．已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（

）A． B． C． D．2020年浙江省高考数学试卷4．点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（

）A．1 B． C． D．22020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）5．在等腰直角三角形中，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）.若光线经过的重心，则等于A． B．C． D．全国普通高等学校招生统一考试理科数学（湖南卷）6．在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为A． B．C． D．2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷）7．设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．2022年新高考全国II卷数学真题8．已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．2021年全国新高考II卷数学试题9．在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.2019年江苏省高考数学试卷10．在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为，点在线段OA上（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点E，F，一同学已正确算出的方程：，请你求OF的方程：__________________________．普通高等学校招生全国统一考试数学试题（江苏卷）11．在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点．若点到直线的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为_________全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）12．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是______．全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷）13．在平面直角坐标系xOy中，设定点