题型21 3类对称与4类切线解题技巧（点对称、直线对称、圆对称及圆、椭圆、双曲线、抛物线中的切线问题）-高考数学必考模型归纳（解析版）

题型213类对称与4类切线解题技巧（点对称、直线对称、圆对称及圆、椭圆、双曲线、抛物线中的切线问题）技法01技法01点对称问题解题技巧技法02直线对称问题解题技巧技法03圆对称问题解题技巧技法04圆中的切线问题解题技巧技法05椭圆中的切线问题解题技巧技法06双曲线中的切线问题解题技巧技法07抛物线中的切线问题解题技巧技法01点对称问题解题技巧合理利用点关于直线对称求对称点的公式能更快的求解对称点坐标，需记忆公式，强化练习合理利用点关于直线对称求对称点的公式能更快的求解对称点坐标，需记忆公式，强化练习.知识迁移点x,y关于直线Ax例1．点关于直线的对称点的坐标是．直线中，,所以，所以，答案为：.1．（2024上·阶段练习）点关于直线的对称点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出垂直于直线且过点的表达式，求出交点坐标，即可得出关于直线的对称点.【详解】由题意，在直线中，斜率为，垂直于直线且过点的直线方程为，即，设两直线交点为，由，解得：，∴,∴点关于直线的对称点的坐标为，即，故选：C.2．（2024上·阶段练习）已知点关于直线对称，则对称点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先设点的坐标，根据斜率间关系及中点在对称直线上列方程求解计算即得.【详解】设对称点坐标，由题意知直线与垂直，结合的斜率为1，得直线的斜率为-1，所以，化简得，①再由的中点在直线上，，化简得，②联立①②，可得，所以对称点的坐标为.故选：A.3．（2023上·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考阶段练习）已知直线恒过定点P，则点P关于直线的对称点的坐标是．【答案】【分析】首先化简直线方程，求出定点的坐标，再代入点关于直线对称的点的计算公式，即可求解.【详解】由直线化为，令，解得，于是此直线恒过点．设点P关于直线的对称点为，则，解得，∴．故答案为：技法02直线对称问题解题技巧直线对称问题可以转化为点关于直线的对称问题，从而用公式可快速求解，需强化练习直线对称问题可以转化为点关于直线的对称问题，从而用公式可快速求解，需强化练习例2．已知直线，直线与关于直线对称，则直线的方程为A． B．C． D．【法一】x的y系数绝对值为1:1型，可反解，，代入，即.【法二】转化为例1，先求交点坐标，再线任取异于交点的坐标，用公式求出对称点坐标，再求出直线方程【法三】在上任取一点，设关于直线的对称点为，所以，解得，代入，得：，所以直线的方程为.1．（2022上·江苏南京·高二统考期中）直线与直线关于直线对称，则直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别求出直线和直线的倾斜角，再求出直线与直线的夹角，再根据对称性即可得出答案.【详解】解：直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则直线与直线的夹角为设直线与直线的夹角为，则，所以直线的倾斜角为.故选：B.2．（2022上·广东佛山·高二佛山一中校考期中）直线关于直线的对称直线的方程为.【答案】【分析】设出为所求直线上一点，找出其关于的对称点，代入直线即可求出.【详解】设为所求直线上一点，它关于的对称点为，则可得，由题可得在直线上，所以，整理可得所求的对称直线方程为.故答案为：.3．（2022·全国·高三专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为．【答案】.【分析】由于两条直线平行，所以可设，利用对称的性质，可求得，进而求得直线方程为.【详解】由题意知，设直线，在直线上取点，设点关于直线的对称点为，则，解得，即，将代入的方程得，所以直线的方程为.故答案为：技法03圆对称问题解题技巧圆对称问题可转化为点关于点对称，点关于直线的对称问题，利用中点坐标公式和对称公式求解即可圆对称问题可转化为点关于点对称，点关于直线的对称问题，利用中点坐标公式和对称公式求解即可.例3．（2023下·河南开封·高二统考期末）已知圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（

）A． B．C． D．圆的圆心坐标为，半径为，设圆心关于直线的对称点为，用例1公式求解，解得，所以圆的标准方程为.1．（2023·全国·高二专题练习）已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求得圆的圆心坐标和半径，再求得关于的对称点，得到圆的圆心坐标，进而求得圆的方程.【详解】由题意知,圆的圆心与关于直线对称，且两圆半径相等，因为圆，即，所以圆心，半径为，设圆关于直线对称点为，则，解得，即，所以圆的方程为，即.故选：A.2．（2023上·四川成都·高二期末）圆关于直线对称后的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知圆的圆心求出关于直线对称的圆的圆心，求出半径，即可得到所求结果.【详解】因为圆，所以圆的圆心为，半径为，设点关于直线对称的点为，所以，解得：，所以所求圆的圆心为，半径为,故所求圆的方程为：.故选：A.3．（2023上·河北·高二校联考期中）已知圆：与圆：关于直线对称，则的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据两点的坐标，求其中点坐标以及斜率，根据对称轴与两对称点连接线段的关系，可得答案.【详解】由题意得，，则的中点的坐标为，直线的斜率.由圆与圆关于对称，得的斜率.因为的中点在上，所以，即.故选：C.技法04圆中的切线问题解题技巧圆中的切线问题圆中的切线问题常常涉及到结论性，技巧性来解题，常在小题中使用，能做到快速求解，需强加练习知识迁移圆中切线问题已知圆方程为:,若已知切点在圆上,则切线只有一条,其方程是:已知圆方程为:,若已知切点在圆上,则该圆过点的切线方程为;已知圆方程为圆:.(1)过圆上的点的切线方程为.(2)过圆外一点作圆的两条切线,则切点弦方程为.例4-1．（2023·北京·统考模拟预测）经过点且与圆相切的直线方程为．代入求解即可，答案为：例4-2．（2023秋·浙江·高三校联考阶段练习）过圆上点的切线方程为．代入求解即可，答案为：例4-3．（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）过点作圆的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB方程是.过圆外一点作圆的两条切线,则切点弦方程为，代入求解即可答案为:1．（2021·河南郑州·统考三模）已知圆过点、、，则圆在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设圆的一般方程为，将点、、的坐标代入圆的方程，可求得、、的值，可得出圆心的坐标，求出所在直线的斜率，可求得切线的斜率，利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】设圆的一般方程为，由题意可得，解得，所以，圆的方程为，圆心为，直线的斜率为，因此，圆在点处的切线方程为，即.故选：A.【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法：（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线；（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．2．（2022·天津北辰·天津市第四十七中学校考模拟预测）过点与圆相切的直线是．【答案】【分析】由点在圆上，可得切线的斜率为圆心与点连线斜率的负倒数，从而根据点斜式即可求解.【详解】解：由题意，因为，所以点在圆上，所以过点与圆相切的直线的斜率，所以切线方程为，即，故答案为：.3．（2023·全国·高三专题练习）过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线的方程为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意，可知圆的圆心为，半径，由切线长公式求出的长，进而可得以为圆心，为半径为圆，则为两圆的公共弦所在的直线，联立两个圆的方程，两方程作差后计算可得答案．【详解】根据题意，可知圆的圆心为，半径，过点作圆的两条切线，设切点分别为、，而，则，则以为圆心，为半径为圆为，即圆，所以为两圆的公共弦所在的直线，则有，作差变形可得：；即直线的方程为.故选：B.技法05椭圆中的切线问题解题技巧椭圆椭圆中的切线问题常常涉及到结论性，技巧性来解题，常在小题中使用，能做到快速求解，需强加练习知识迁移设Px0,y0设Px0,y0为椭圆x2a2+y例5．（2022上·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第四中学校考期末）设椭圆，点在椭圆上，求该椭圆在P处的切线方程.代入切线方程为:xx01．（2022·全国·高三专题练习）椭圆上点P(1,1)处的切线方程是．【答案】【分析】由导数的几何意义即可求得切线方程.【详解】∵椭圆，∴y>0时，，∴，∴x＝1时，，即切线斜率，∴椭圆上点P(1,1)处的切线方程是，即．故答案为：．2．（2023下·天津·模拟）圆在点处的切线方程为，类似地，可以求得椭圆在点处的切线方程为.【答案】【分析】类比得到在点处的切线方程为，代入数据计算得到答案.【详解】在点处的切线方程为，类比得到在点处的切线方程为，故椭圆在点处的切线方程为，即.故答案为：.【点睛】本题考查了类比推理，意在考查学生的推理能力和计算能力.3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆在点处的切线方程为类似地,可以求得椭圆在点(4,2)处的切线方程为【答案】【分析】把写成，切线方程写成，根据圆方程与其切线方程的结构形式可以得到椭圆相应的切线方程.【详解】圆的方程可写成,圆在点处的切线方程为,类似地,因椭圆方程为：，故椭圆在点处的切线方程为即，故答案为：.技法06双曲线中的切线问题解题技巧双曲线双曲线中的切线问题常常涉及到结论性，技巧性来解题，常在小题中使用，能做到快速求解，需强加练习知识迁移设Px0,y过Px0,y例6．（2023·全国·高三专题练习）过点作双曲线：的两条切线，切点分别为，求直线的方程．代入切点弦方程为xx01．（2022·全国·高三专题练习）过点作双曲线：的两条切线，切点分别为A，B，求直线AB的方程．【答案】【分析】设，求得直线的方程为，同理的方程为，通过在切线上，可得到直线的方程【详解】解：设，易得两条切线的斜率存在，设的斜率为，则，联立方程，消去可得：，整理可得：，因为与双曲线相切，所以，，即，，代入可得：，即，所以，即，同理，切线的方程为，在切线上，所以有，满足直线方程，而两点唯一确定一条直线，直线AB的方程为2．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆与双曲线有公共焦点，点在双曲线上，则该双曲线在点处的切线的斜率为．【答案】/【分析】依题意，注意到点在椭圆上，由此得到椭圆在点处的切线方程；再结合上述性质得到椭圆与双曲线在其公共点处的斜率间的关系，进而求出双曲线在点处的切线的斜率．也可以利用结论6直接得到答案．【详解】根据结论6，由题意得椭圆在点处的切线方程为，即，该直线的斜率为，由结论5得知，该双曲线在点处的切线的斜率为．故答案为：.3．（2022·全国·高三专题练习）设双曲线：上点．求双曲线在点处的切线的方程．【答案】.【分析】将双曲线在某点的切线方程转化为曲线在某点的切线方程，利用导数求出在某点的切线斜率，进一步求出切线的方程.【详解】由可得，根据题目条件，可知求曲线在点P处的切线的方程，∴曲线在点P处的切线斜率为∴曲线在点P处的切线方程为化简得∴双曲线C在点P处的切线的方程为．技法07抛物线中的切线问题解题技巧抛物线抛物线中的切线问题常常涉及到结论性，技巧性来解题，常在小题中使用，能做到快速求解，需强加练习知识迁移设Px0,y设Px0,y例7．（2023·高三阶段练习）抛物线在处的切线方程为．代入切线方程为yy01．（2023·高三阶段练习）抛物线在点处的切线方程为．【答案】/y＝2x－2【分析】利用导数的几何意义即可求解.【详解】，，∴在（1,0）处切线为：，即.故答案为：.2．（2023·全国·模拟预测）已知拋物线的一条切线方程为，则的准线方程为．【答案】【分析】由，消去