题型22 5类圆锥曲线解题技巧焦点三角形、阿基米德三角形、焦点弦、中点弦、弦长问题（硬解定理-万能公式）-高考数学必考模型归纳

题型225类圆锥曲线解题技巧（焦点三角形、阿基米德三角形、焦点弦、中点弦、弦长问题（硬解定理-万能公式)技法01技法01圆锥曲线中焦点三角形的应用及解题技巧技法02圆锥曲线中阿基米德三角形的应用及解题技巧技法03圆锥曲线中焦点弦的应用及解题技巧技法04圆锥曲线中中点弦的应用及解题技巧技法05圆锥曲线中弦长问题（硬解定理-万能公式）的应用及解题技巧技法01圆锥曲线中焦点三角形的应用及解题技巧圆锥曲线的焦点三角形及其相关计算圆锥曲线的焦点三角形及其相关计算是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习知识迁移椭圆焦点三角形主要结论在ΔPF1F2中,记∠F1PF2=θ,椭圆定义可知:

(1).PF1双曲线焦点三角形主要结论如图,F1、F2是双曲线的焦点,设P为双曲线上任意一点,记∠例1-1．（2023·全国·统考高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（

）A．1 B．2 C．4 D．5【法一】因为，所以，从而，所以．【法二】因为，所以，由椭圆方程可知，，所以，又，平方得：，所以．例1-2．（全国·高考真题）设，为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且满足，则的面积为（

）A． B．2 C． D．1【法一】△PF1【法二】设，，为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，，，，，，的面积为.故选：D1．（上海·高考真题）已知、是椭圆（＞＞0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则=.2．（2023·河南开封·统考三模）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（

）A．6 B．12 C． D．3．（全国·高考真题）已知、为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，∠P=，则A．2 B．4 C．6 D．84．（2023·全国·高三专题练习）设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（

）A．24 B． C． D．30技法02圆锥曲线中阿基米德三角形的应用及解题技巧阿基米德三角形问题及其相关计算阿基米德三角形问题及其相关计算是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习.知识迁移椭圆中的阿基米德三角形设椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的弦为AB,过A，B两点做椭圆切线，交于Q点，称△ABQ为阿基米德三角形,则有:

性质1:弦双曲线中的阿基米德三角形设双曲线C:x2a2−y2b2=1a,b>0的弦为AB,过A，B两点做双曲线切线，交于Q点，称△ABQ为阿基米德三角形,则有:

抛物线中的阿基米德三角形抛物线的弦为AB,阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内的定点C,则另一顶点Q的轨迹为一条直线若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点(若直线l方程为:ax+by+底边为a的阿基米德三角形的面积最大值为a3若阿基米德三角形的底边过焦点,顶点Q的轨迹为准线,且阿基米德三角形的面积最小值为p在阿基米德三角形中,∠AF⋅抛物线上任取一点I(不与A,B重合),过I作抛物线切线交QA,QB于S,T,连接例2．（2022·全国·高三专题练习）过抛物线的焦点作抛物线的弦，与抛物线交于，两点，分别过，两点作抛物线的切线，相交于点，又常被称作阿基米德三角形．的面积的最小值为（

）A． B． C． D．设，，由题意可得直线AB的斜率不为0,因为直线AB过焦点，所以设直线AB的方程；联立得，所以，由抛物线的性质可得过点，的抛物线的切线方程为：，联立得，，即.点到直线的距离，当且仅当时取到最小值.故选：C.1．（2023秋·江西上饶·高三统考期末）（多选）若，，点满足，记点的轨迹为曲线，直线，为上的动点，过点作曲线的两条切线，，切点为，，则下列说法中正确的是（

）A．的最小值为B．直线恒过定点C．的最小值为0D．当最小时，直线的方程为2．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点到原点的距离等于直线的斜率.（1）求抛物线C的方程及准线方程；（2）点P是直线l上的动点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，求面积的最小值.3．（2023·全国·高三专题练习）抛物级的焦点到直线的距离为2.（1）求抛物线的方程；（2）设直线交抛物线于，两点，分别过，两点作抛物线的两条切线，两切线的交点为，求证：.技法03圆锥曲线中焦点弦的应用及解题技巧圆锥曲线的焦点弦及其相关计算圆锥曲线的焦点弦及其相关计算是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习.知识迁移椭圆的斜率式焦点弦长公式(1)为椭圆的左、右焦点，过(或)斜率为的直线与椭圆交于两点，则(2)为椭圆的下、上焦点，过(或斜率为的直线与椭圆交于两点，则双曲线的斜率式焦点弦长公式(1)F1，F2为双曲线C:x2a2−y2b2(2)A，B在异支弦，AB=

(2)F1，F2为双曲线C:y2a2−x2b2=1a>0,b>椭圆的倾斜角式焦点弦长公式

(1)F1,F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，过F1倾斜角为θ的直线l与椭圆C交于A,B两点，则AB=2ab2a2−双曲线的倾斜角式焦点弦长公式

(1)F1，F2为双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，过F1倾斜角为θ的直线l与双曲线交于A,B两点，则AB=2ab抛物线的的倾斜角式焦点弦长公式

(1)焦点在x轴上,AB=2psin2例3-1．（2022·全国·高三专题练习）过双曲线的右焦点作倾斜角为直线，交双曲线于两点，求弦长．由双曲线得，又所以．例3-2．（山东·统考高考真题）斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=．【法一】先求出倾斜角，代入AB=【法二】解得

所以【法三】设，则,过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.故答案为：1．（全国·高考真题）已知直线与抛物线相交于A、B两点，F为C的焦点，若,则k=A． B． C． D．2．（2023·全国·统考高考真题）（多选）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（

）．A． B．C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形3．（2023·北京·人大附中校考三模）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，，AB的中点横坐标为4，则．技法04圆锥曲线中中点弦的应用及解题技巧圆锥曲线的中点弦及其相关计算圆锥曲线的中点弦及其相关计算是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习.知识迁移椭圆中点弦斜率公式

(1)若Mx0,y0为椭圆xkAB.kOM=−b2a2=e2kAB.双曲线的中点弦斜率公式

(1)若Mx0,y0为双曲线x2a2−y2b2=1弦AB(AB不平行y轴)的中点,则

k3.抛物线的中点弦斜率公式

(1)若Mx0,y0为抛物线y2=2px弦AB(AB不平行y轴)的中点,则kAB=py04.中点弦斜率拓展在椭圆x2a2+y2b2=1中,以Px0,y0为中点的弦所在直线的斜率k=−b5.椭圆其他斜率形式拓展椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的长轴顶点，P点是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的短轴顶点，P点是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则有椭圆的方程为（a＞b＞0），过原点的直线交椭圆于两点，P点是椭圆上异于两点的任一点，则有点差法妙解中点弦问题

若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为Ax将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。

（1）设点:若Ax1,y1,Bx2,y2是椭圆x2a2+y2b2=化简可得y1+例4．（全国·高考真题）已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为A．＋＝1 B．＋＝1C．＋＝1 D．＋＝1【法一】kAB.kOM=−b2a2，解得b2【法二】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得.1．（重庆·高考真题）直线与圆相交于两点，，弦的中点为，则直线的方程为．2．（江苏·高考真题）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是A． B．C． D．3．（2022·全国·统考高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为．4．（2023·全国·统考高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（

）A． B． C． D．5．（全国·高考真题）已知椭圆的离心率为，点在上（1）求的方程（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.技法05圆锥曲线中弦长问题（硬解定理-万能公式）的应用及解题技巧圆锥曲线的弦长万能公式（硬解定理）及其相关计算圆锥曲线的弦长万能公式（硬解定理）及其相关计算是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习.知识迁移弦长公式若直线与圆雉曲线相交于两点，则弦长圆锥曲线弦长万能公式（硬解定理）设直线方程为:y=kx+圆锥曲线的方程为:fx可化为ax设直线和曲线的两交点为Ax1,y1,Bx2,yAB

(2)若消去x,得aAB例5．（2023·全国·高三专题练习）已知斜率为1的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点，则弦的长为（

）A． B． C． D．【法一】硬解定理直接计算即可【法二】由椭圆得，，所以，所以右焦点坐标为，则直线的方程为，设，联立，消y得，，则，所以.1．（2023·内蒙古通辽·校考模拟预测）已知椭圆E：的离心率为，且过点.(