题型03“奇函数+常函数”的最大值+最小值及f(a)+f(-a)解题技巧-高考数学必考模型归纳（解析版）

题型03“奇函数+常函数”的最大值+最小值及f(a)+f(-a)解题技巧技法01技法01“奇函数+常函数”的最大值+最小值解题技巧技法02“奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)解题技巧技法01“奇函数+常函数”的最大值+最小值解题技巧在模拟考试及高考考试中，会遇到“奇函数+常函数”类型求解，如能掌握相关本质结论和两类指对函数的奇偶性，则最大值+最小值可秒解在模拟考试及高考考试中，会遇到“奇函数+常函数”类型求解，如能掌握相关本质结论和两类指对函数的奇偶性，则最大值+最小值可秒解.知识迁移在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，则最大值，最小值有即倍常数（1）与指数函数相关的奇函数和偶函数，（，且）为偶函数，，（，且）为奇函数和，（，且）为其定义域上的奇函数和，（，且）为其定义域上的奇函数为偶函数（2）与对数函数相关的奇函数和偶函数，（且）为奇函数，，（且）为奇函数例1-1．（2023上·江苏·高三模拟）已知分别是函数++1的最大值、最小值，则倍常数=2例1-2．．（2023上·江苏镇江·高三统考开学考试）已知函数，的最大值为M，最小值为m，则.【法一】倍常数=14【法二】例1-3．（2023上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）函数，，记的最大值为，最小值为，则.【法一】倍常数=4【法二】1．（2023下·湖南校考）已知函数在区间上的最大值为最小值为，则.【答案】【分析】设函数，则的最大值为，最小值为，利用是奇函数可得答案.【详解】设函数，则的最大值为，最小值为，，则，所以是奇函数，所以，所以．故答案为：.2．（2023上·重庆校考）函数，当时的最大值为M，最小值为N，则．【答案】【分析】求出的奇偶性即可得出的值.【详解】由题意，在中，，函数是奇函数，，在中，当时的最大值为M，最小值为N，故答案为：.3．（2023上·黑龙江鸡西·高三鸡西市第一中学校校考阶段练习）设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为．【答案】8【分析】化简函数，设，，可得函数在上为奇函数，进而得到，进而求解即可.【详解】由，设，，则，所以函数在上为奇函数，所以，由题意，得，所以.故答案为：8.4．（2023上·山东统考期中）设函数的最大值为M，最小值为m，则.【答案】4046【分析】化简函数，设，可得函数在上为奇函数，进而得到，进而求解即可.【详解】，设，定义域关于原点对称，由，知函数为奇函数，因为，，所以.故答案为：4046.5．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的函数的最大值和最小值之和为4，则．【答案】2【分析】根据三角恒等变换和分类常量法可得，由函数的奇偶性可知为奇函数，则，进而，即可求解.【详解】当时，，当或时，，所以的定义域为.又，设，则，∴g(x)为奇函数；设g(x)的最大数值为M，最小值为N，则，则的最大数值为，最小值为，∴的最大值与最小值之和为，得．故答案为：2．6．（2023上·福建莆田·高三莆田第十中学校考）函数的最大值为，最小值为，若，则．【答案】【分析】将函数解析式化为，设，则，记，则为奇函数，根据奇函数的性质及，即可求得的值.【详解】因为，设，则，设，则，所以是上的奇函数，最大值为，最小值为，所以，由，得，故答案为：7．（2015上·宁夏银川·高三阶段练习）已知分别是函数的最大值、最小值，则．【答案】2【分析】先由和角正弦公式化简，令，得是奇函数，再由奇函数的性质即可求出最值之和.【详解】由可得定义域为R，，令，则，则函数是奇函数，设其最大值为，则其最小值为，所以，，从而．故答案为：2.8．（2022上·辽宁·联考）已知函数，若存在正实数a，使得函数在区间有最大值及最小值m，则.【答案】15【分析】令，判断其奇偶性，由奇函数的性质得出所求.【详解】令，其定义域为，，即为奇函数，即函数在区间上满足，所以，即故答案为：9．（2023下·黑龙江校考）已知函数，若在区间上的最大值和最小值分别为M，N，则函数的图像的对称中心为．【答案】/【分析】利用函数的奇偶性的定义及性质，结合函数的对称性即可求解.【详解】由题意可知，所以.故函数在定义域内为非奇非偶函数，令，则，所以在定义域内为奇函数.设在上的最大值为，则最小值为，所以在上的最大值为，最小值为，所以..因为，所以图象的对称中心为.故答案为：.10．（2023上·宁夏银川·高三校考阶段练习）设函数的最大值为，最小值为，则.【答案】2【分析】构造函数结合函数的奇偶性求值即可.【详解】，令，易知，，即为奇函数，所以结合奇函数性质有.故答案为：211．（2023上·安徽·高三校联考）函数的最大值为，最小值为，若，则．【答案】1【分析】将函数解析式边形为，设，则，记，由奇函数的定义得出为奇函数，得出在的最值，结合，即可求出．【详解】，设，则，记，因为，所以是在上的奇函数，最大值为，最小值为，所以，又因为，所以，故答案为：1．12．（2023下·江西上饶·高二校联考阶段练习）已知函数，的最大值为，最小值为，则.【答案】【分析】构造，定义判断奇偶性，利用对称性有，即可求结果.【详解】令，且，，所以为奇函数，且在上连续，根据奇函数的对称性：在上的最大、最小值关于原点对称，则，故.故答案为：技法02“奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)解题技巧在模拟考试及高考考试中，会遇到“奇函数+常函数”类型求解，如能掌握相关本质结论和两类指对函数的奇偶性，则在模拟考试及高考考试中，会遇到“奇函数+常函数”类型求解，如能掌握相关本质结论和两类指对函数的奇偶性，则f(a)+f(-a)可秒解.知识迁移知识迁移在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，有即倍常数例2-1．（全国·高考真题）已知函数，，则．在定义域内为奇函数所以倍常数=2，解得【答案】－2例2-2．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数，则．，和在定义域内为奇函数所以2倍常数=-2【答案】－21．（2023·广西玉林·统考三模）函数，若，则．【答案】3【分析】根据题意可得，结合计算即可求解.【详解】由题得，∴，所以．故答案为：3.2．（2023·四川模拟）已知，若，则.【答案】【分析】令，已知为奇函数，进而根据奇函数的性质求解即可.【详解】解：令，因为，所以函数为奇函数，因为，即，所以，所以.故答案为：3．（2022·上海·高三校考）若定义在R上的函数为奇函数，设，且，则的值为．【答案】【分析】根据为奇函数得到的对称中心为，再结合得到的对称中心为，然后利用对称性求即可.【详解】由可得，因为为奇函数，所以的对称中心为，则的对称中心为，又，则.故答案为：-5.4．（2022·青海·统考模拟预测）已知函数，若，则．【答案】5【分析】令，根据为奇函数可求出.【详解】令，可得为奇函数，所以，因为，所以，所以，则.故答案为：5.5．（2023上·上海·交大附中校考）设（其中a､b､c为常数，），若.则