2025高考数学压轴专项题型专题13点差法在圆锥曲线中的应用含答案及解析

专题13点差法在圆锥曲线中的应用一、考情分析圆锥曲线中的中点弦问题是高考常见题型,在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时,我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为,代入圆锥曲线得两方程后相减,得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系,然后加以求解,这即为“点差法”.二、解题秘籍(一)求以定点为中点的弦所在直线的方程求解此类问题的方法是设出弦端点坐标,代入曲线方程相减求出斜率,再用点斜式写出直线方程.特别提醒：求以定点为中点的双曲线的弦所在直线的方程,求出直线方程后要检验所求直线与双曲线是否有2个交点.【例1】过椭圆内一点引一条弦,使弦被点平分,求这条弦所在直线的方程.【解析】设直线与椭圆的交点为、为的中点又、两点在椭圆上,则,两式相减得于是即,故所求直线的方程为,即.【例2】已知双曲线,离心率,虚轴长为．(1)求双曲线的标准方程；(2)过点能否作直线,使直线与双曲线交于两点,且点为弦的中点?若存在,求出直线的方程；若不存在,请说明理由．【解析】(1),,,．,．．∴双曲线的标准方程为．(2)假设以定点为中点的弦存在,设以定点为中点的弦的端点坐标为,,可得,．由,在双曲线上,可得：,两式相减可得以定点为中点的弦所在的直线斜率为：,则以定点为中点的弦所在的直线方程为．即为,代入双曲线的方程可得,由,所以不存在这样的直线．(二)求弦中点轨迹方程求弦中点轨迹方程基本类型有2类,一是求平行弦的中点轨迹方程,二是求过定点的直线被圆锥曲线截得的弦的中点轨迹方程.【例3】（2023届湖北省腾云联盟高三上学期10月联考）已知椭圆经过点，且离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)设过点的直线与椭圆交于，两点，设坐标原点为，线段的中点为，求的最大值.【解析】（1）椭圆经过点，其离心率为．，，，，故椭圆的方程为：；（2）当直线斜率不存在时，M与O重合，不合题意，当直线斜率存在时，设，，，则有，，直线的斜率为，，两点在椭圆上，有，，两式相减，，即，得，化简得，，∴当时，的最大值为【例4】直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题,是解析几何重要内容之一,也是高考的一个热点问题.引理：设、是二次曲线上两点,是弦的中点,且弦的斜率存在,则……（1）……（2）由（1）-（2）得,∵,,∴,∴,∴,∴直线的斜率.二次曲线也包括了圆、椭圆、双曲线、抛物线等．请根据上述求直线斜率的方法（用其他方法也可）作答下题：已知椭圆.（1）求过点且被点平分的弦所在直线的方程;（2）过点引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程.【解析】（1）设、是椭圆上两点,是弦的中点,则,两式相减得：,∵,,∴,∴,∴直线的斜率.直线AB的方程为,即.因为在椭圆内部,成立.（2）由题意知：割线的斜率存在,设、是椭圆上两点,是弦的中点,则,两式相减得：,∵,,∴,∴,∴直线的斜率又,所以,化简得：,所以截得的弦的中点的轨迹方程为(三)求直线的斜率一般来说,给出弦中点坐标,可求弦所在直线斜率【例5】已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1,F2,点M,N在椭圆C上.(1)若线段MN的中点坐标为,求直线MN的斜率；(2)若M,N,O三点共线,直线NF1与椭圆C交于N,P两点,求△PMN面积的最大值.【解析】(1)设,则,两式相减,可得,则,解得,即直线MN的斜率为；(2)显然直线NF1的斜率不为0,设直线NF1：,,联立,消去x整理得,显然,故,故△PMN的面积,令,则,当且仅当,即时等号成立,故△PMN面积的最大值为.【例6】已知椭圆上不同的三点与焦点的距离成等差数列.（1）求证：；（2）若线段的垂直平分线与轴的交点为,求直线的斜率.【解析】（1）证 略.（2）解 ,设线段的中点为.又在椭圆上,,（1）,（2）得：,.直线的斜率,直线的方程为.令,得,即,直线的斜率.(四)点差法在轴对称中的应用【例7】（2023届江苏省南京市建邺区高三上学期联合统测）已知O为坐标原点，点在椭圆C：上，直线l：与C交于A，B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为．(1)求C的方程；(2)若，试问C上是否存在P，Q两点关于l对称，若存在，求出P，Q的坐标，若不存在，请说明理由．【解析】（1）设，则∵在椭圆上，则两式相减得，整理得∴，即，则又∵点在椭圆C：上，则联立解得∴椭圆C的方程为（2）不存在，理由如下：假定存在P，Q两点关于l：对称，设直线PQ与直线l的交点为N，则N为线段PQ的中点，连接ON∵，则，即由（1）可得，则，即直线联立方程，解得即∵，则在椭圆C外∴假定不成立，不存在P，Q两点关于l对称【例8】已知椭圆过点，直线：与椭圆交于两点，且线段的中点为，为坐标原点，直线的斜率为．(1)求椭圆的标准方程；(2)若椭圆上存在两点，使得关于直线对称，求实数的范围．【解析】（1）设，则，即．因为A，B在椭圆C上，所以，两式相减得，即，又，所以，即．又因为椭圆C过点，所以，解得，所以椭圆C的标准方程为；（2）设的中点为，所以，因为P，Q关于直线l对称，所以且点N在直线l上，即．又因为P，Q在椭圆C上，所以．两式相减得．即，所以，即．联立，解得，即．又因为点N在椭圆C内，所以，所以所以实数的范围为．(五)利用点差法可推导的结论在椭圆中,若直线l与该椭圆交于点,点为弦AB中点,O为坐标原点,则,对于双曲线、抛物线也有类似结论,求自行总结.【证明】设且,则,（1）,（2）得：,,.又,,（定值）.【例9】（2022届江苏省南通市高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C：－＝1(a、b为正常数)的右顶点为A,直线l与双曲线C交于P、Q两点,且P、Q均不是双曲线的顶点,M为PQ的中点．(1)设直线PQ与直线OM的斜率分别为k1、k2,求k1·k2的值；(2)若＝,试探究直线l是否过定点？若过定点,求出该定点坐标；否则,说明理由．【解析】(1)设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),因为P、Q在双曲线上,所以－＝1,－＝1,两式作差得－＝0,即＝,即＝,即k1·k2＝；(2)因为＝,所以APQ是以A为直角顶点的直角三角形,即AP⊥AQ；①当直线l的斜率不存在时,设l：x＝t,代入－＝1得,y＝±b,由|t－a|＝b得,(a2－b2)t2－2a3t＋a2(a2＋b2)＝0,即[(a2－b2)t－a(a2＋b2)](t－a)＝0,得t＝或a(舍),故直线l的方程为x＝；②当直线l的斜率存在时,设l：y＝kx＋m,代入－＝1,得(b2－k2a2)x2－2kma2x－a2(m2＋b2)＝0,Δ＝a2b2(m2＋b2－k2a2)＞0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1＋x2＝,x1x2＝－；因为AP⊥AQ,所以·＝0,即(x1－a,y1)·(x2－a,y2)＝0,即x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋y1y2＝0,即x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0,即(km－a)(x1＋x2)＋(k2＋1)x1x2＋m2＋a2＝0,即＝0,即a2(a2＋b2)k2＋2ma3k＋m2(a2－b2)＝0,即[a(a2＋b2)k＋m(a2－b2)](ak＋m)＝0,所以k＝－或k＝－；当k＝－时,直线l的方程为y＝－x＋m,此时经过A,舍去；当k＝－时,直线l的方程为y＝－x＋m,恒过定点(,0),经检验满足题意；综上①②,直线l过定点(,0)．三、跟踪检测1．已知椭圆为右焦点，直线与椭圆C相交于A，B两点，取A点关于x轴的对称点S，设线段与线段的中垂线交于点Q．(1)当时，求；(2)当时，求是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由．2．（2023届重庆市南开中学校高三上学期9月月考）已知椭圆的离心率为，上顶点为D，斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，M为线段AB的中点，当点M的坐标为时，直线l恰好经过D点.(1)求椭圆C的方程：(2)当l不过点D时，若直线DM与直线l的斜率互为相反数，求k的取值范围.3．已知椭圆．(1)过椭圆的左焦点引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；(2)求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程；(3)求过点且被平分的弦所在直线的方程．4．已知椭圆：（）过点，直线：与椭圆交于，两点，且线段的中点为，为坐标原点，直线的斜率为-0.5.(1)求椭圆的标准方程；(2)当时，椭圆上是否存在，两点，使得，关于直线对称，若存在，求出，的坐标，若不存在，请说明理由．5．（2022届广东省清远市高三上学期期末）设抛物线的焦点为F,准线为l,过焦点F且斜率为1的直线与抛物线C交于A,B两点,若的中点到准线l的距离为4．(1)求抛物线C的方程；(2)设P为l上任意一点,过点P作C的切线,切点为Q,试判断F是否在以为直径的圆上．6．（2022届河南省中原顶级名校高三上学期1月联考）已知椭圆的左、右焦点分别为,,过点的直线交椭圆于,两点.当直线的斜率为1时,点是线段的中点.(1)求椭圆的标准方程；(2)如图,若过点的直线交椭圆于,两点,且,求四边形的面积的最大值.7．如图,是过抛物线焦点F的弦,M是的中点,是抛物线的准线,为垂足,点N坐标为.(1)求抛物线的方程；(2)求的面积（O为坐标系原点）.8．在平面直角坐标系中,设点,直线：,点在直线上移动,是线段与轴的交点,,.(1)求动点的轨迹的方程；(2)过点作两条互相垂直的曲线的弦、,设、的中点分别为M、N.求直线过定点D的坐标.9．中心在原点的双曲线焦点在轴上且焦距为,请从下面3个条件中选择1个补全条件,并完成后面问题：①该曲线经过点；②该曲线的渐近线与圆相切；③点在该双曲线上,、为该双曲线的焦点,当点的纵坐标为时,恰好.(1)求双曲线的标准方程；(2)过定点能否作直线,使与此双曲线相交于、两点,且是弦的中点？若存在,求出的方程；若不存在,说明理由.10．己知椭圆的焦距为,短轴长为2,直线l过点且与椭圆C交于A、B两点．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l的斜率为1,求弦的长；(3)若过点的直线与椭圆C交于E、G两点,且Q是弦的中点,求直线的方程．11．在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为,AB为椭圆的一条弦,直线y=kx（k>0）经过弦AB的中点M,与椭圆C交于P,Q两点,设直线AB的斜率为,点P的坐标为（1,）（1）求椭圆C的方程；（2）求证：为定值.12．已知双曲线：与点．（1）是否存在过点的弦,使得的中点为；（2）如果线段的垂直平分线与双曲线交于、两点,证明：、、、四点共圆．13．李华找了一条长度为8的细绳,把它的两端固定于平面上两点F1,F2处,|F1F2|＜8,套上铅笔,拉紧细绳,移动笔尖一周,这时笔尖在平面上留下了轨迹C,当笔尖运动到点M处时,经测量此时∠F1MF2＝,且△F1MF2的面积为4．（1）以F1,F2所在直线为x轴,以F1F2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,求李华笔尖留下的轨迹C的方程（铅笔大小忽略不计）；（2）若直线l与轨迹C交于A,B两点,且弦AB的中点为N（2,1）,求△OAB的面积．14.若抛物线上存在不同的两点关于直线对称,求实数的取值范围.

专题13点差法在圆锥曲线中的应用一、考情分析圆锥曲线中的中点弦问题是高考常见题型,在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时,我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为,代入圆锥曲线得两方程后相减,得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系,然后加以求解,这即为“点差法”.二、解题秘籍(一)求以定点为中点的弦所在直线的方程求解此类问题的方法是设出弦端点坐标,代入曲线方程相减求出斜率,再用点斜式写出直线方程.特别提醒：求以定点为中点的双曲线的弦所在直线的方程,求出直线方程后要检验所求直线与双曲线是否有2个交点.【例1】过椭圆内一点引一条弦,使弦被点平分,求这条弦所在直线的方程.【解析】设直线与椭圆的交点为、为的中点又、两点在椭圆上,则,两式相减得于是即,故所求直线的方程为,即.【例2】已知双曲线,离心率,虚轴长为．(1)求双曲线的标准方程；(2)过点能否作直线,使直线与双曲线交于两点,且点为弦的中点?若存在,求出直线的方程；若不存在,请说明理由．【解析】(1),,,．,．．∴双曲线的标准方程为．(2)假设以定点为中点的弦存在,设以定点为中点的弦的端点坐标为,,可得,．由,在双曲线上,可得：,两式相减可得以定点为中点的弦所在的直线斜率为：,则以定点为中点的弦所在的直线方程为．即为,代入双曲线的方程可得,由,所以不存在这样的直线．(二)求弦中点轨迹方程求弦中点轨迹方程基本类型有2类,一是求平行弦的中点轨迹方程,二是求过定点的直线被圆锥曲线截得的弦的中点轨迹方程.【例3】（2023届湖北省腾云联盟高三上学期10月联考）已知椭圆经过点，且离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)设过点的直线与椭圆交于，两点，设坐标原点为，线段的中点为，求的最大值.【解析】（1）椭圆经过点，其离心率为．，，，，故椭圆的方程为：；（2）当直线斜率不存在时，M与O重合，不合题意，当直线斜率存在时，设，，，则有，，直线的斜率为，，两点在椭圆上，有，，两式相减，，即，得，化简得，，∴当时，的最大值为【例4】直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题,是解析几何重要内容之一,也是高考的一个热点问题.引理：设、是二次曲线上两点,是弦的中点,且弦的斜率存在,则……（1）……（2）由（1）-（2）得,∵,,∴,∴,∴,∴直线的斜率.二次曲线也包括了圆、椭圆、双曲线、抛物线等．请根据上述求直线斜率的方法（用其他方法也可）作答下题：已知椭圆.（1）求过点且被点平分的弦所在直线的方程;（2）过点引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程.【解析】（1）设、是椭圆上两点,是弦的中点,则,两式相减得：,∵,,∴,∴,∴直线的斜率.直线AB的方程为,即.因为在椭圆内部,成立.（2）由题意知：割线的斜率存在,设、是椭圆上两点,是弦的中点,则,两式相减得：,∵,,∴,∴,∴直线的斜率又,所以,化简得：,所以截得的弦的中点的轨迹方程为(三)求直线的斜率一般来说,给出弦中点坐标,可求弦所在直线斜率【例5】已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1,F2,点M,N在椭圆C上.(1)若线段MN的中点坐标为,求直线MN的斜率；(2)若M,N,O三点共线,直线NF1与椭圆C交于N,P两点,求△PMN面积的最大值.【解析】(1)设,则,两式相减,可得,则,解得,即直线MN的斜率为；(2)显然直线NF1的斜率不为0,设直线NF1：,,联立,消去x整理得,显然,故,故△PMN的面积,令,则,当且仅当,即时等号成立,故△PMN面积的最大值为.【例6】已知椭圆上不同的三点与焦点的距离成等差数列.（1）求证：；（2）若线段的垂直平分线与轴的交点为,求直线的斜率.【解析】（1）证 略.（2）解 ,设线段的中点为.又在椭圆上,,（1）,（2）得：,.直线的斜率,直线的方程为.令,得,即,直线的斜率.(四)点差法在轴对称中的应用【例7】（2023届江苏省南京市建邺区高三上学期联合统测）已知O为坐标原点，点在椭圆C：上，直线l：与C交于A，B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为．(1)求C的方程；(2)若，试问C上是否存在P，Q两点关于l对称，若存在，求出P，Q的坐标，若不存在，请说明理由．【解析】（1）设，则∵在椭圆上，则两式相减得，整理得∴，即，则又∵点在椭圆C：上，则联立解得∴椭圆C的方程为（2）不存在，理由如下：假定存在P，Q两点关于l：对称，设直线PQ与直线l的交点为N，则N为线段PQ的中点，连接ON∵，则，即由（1）可得，则，即直线联立方程，解得即∵，则在椭圆C外∴假定不成立，不存在P，Q两点关于l对称【例8】已知椭圆过点，直线：与椭圆交于两点，且线段的中点为，为坐标原点，直线的斜率为．(1)求椭圆的标准方程；(2)若椭圆上存在两点，使得关于直线对称，求实数的范围．【解析】（1）设，则，即．因为A，B在椭圆C上，所以，两式相减得，即，又，所以，即．又因为椭圆C过点，所以，解得，所以椭圆C的标准方程为；（2）设的中点为，所以，因为P，Q关于直线l对称，所以且点N在直线l上，即．又因为P，Q在椭圆C上，所以．两式相减得．即，所以，即．联立，解得，即．又因为点N在椭圆C内，所以，所以所以实数的范围为．(五)利用点差法可推导的结论在椭圆中,若直线l与该椭圆交于点,点为弦AB中点,O为坐标原点,则,对于双曲线、抛物线也有类似结论,求自行总结.【证明】设且,则,（1）,（2）得：,,.又,,（定值）.【例9】（2022届江苏省南通市高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C：－＝1(a、b为正常数)的右顶点为A,直线l与双曲线C交于P、Q两点,且P、Q均不是双曲线的顶点,M为PQ的中点．(1)设直线PQ与直线OM的斜率分别为k1、k2,求k1·k2的值；(2)若＝,试探究直线l是否过定点？若过定点,求出该定点坐标；否则,说明理由．【解析】(1)设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),因为P、Q在双曲线上,所以－＝1,－＝1,两式作差得－＝0,即＝,即＝,即k1·k2＝；(2)因为＝,所以APQ是以A为直角顶点的直角三角形,即AP⊥AQ；①当直线l的斜率不存在时,设l：x＝t,代入－＝1得,y＝±b,由|t－a|＝b得,(a2－b2)t2－2a3t＋a2(a2＋b2)＝0,即[(a2－b2)t－a(a2＋b2)](t－a)＝0,得t＝或a(舍),故直线l的方程为x＝；②当直线l的斜率存在时,设l：y＝kx＋m,代入－＝1,得(b2－k2a2)x2－2kma2x－a2(m2＋b2)＝0,Δ＝a2b2(m2＋b2－k2a2)＞0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1＋x2＝,x1x2＝－；因为AP⊥AQ,所以·＝0,即(x1－a,y1)·(x2－a,y2)＝0,即x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋y1y2＝0,即x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0,即(km－a)(x1＋x2)＋(k2＋1)x1x2＋m2＋a2＝0,即＝0,即a2(a2＋b2)k2＋2ma3k＋m2(a2－b2)＝0,即[a(a2＋b2)k＋m(a2－b2)](ak＋m)＝0,所以k＝－或k＝－；当k＝－时,直线l的方程为y＝－x＋m,此时经过A,舍去；当k＝－时,直线l的方程为y＝－x＋m,恒过定点(,0),经检验满足题意；综上①②,直线l过定点(,0)．三、跟踪检测1．已知椭圆为右焦点，直线与椭圆C相交于A，B两点，取A点关于x轴的对称点S，设线段与线段的中垂线交于点Q．(1)当时，求；(2)当时，求是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由．【解析】（1）设，线段的中点M坐标为，联立得消去y可得：，所以所以，代入直线方程，求得，因为Q为三条中垂线的交点，所以，有，直线方程为.令，所以.由椭圆可得右焦点，故．（2）设，中点M坐标为．相减得，.又Q为的外心，故，所以，直线方程为，令，所以而,所以，，同理，，，所以当t变化时，为定值．2．（2023届重庆市南开中学校高三上学期9月月考）已知椭圆的离心率为，上顶点为D，斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，M为线段AB的中点，当点M的坐标为时，直线l恰好经过D点.(1)求椭圆C的方程：(2)当l不过点D时，若直线DM与直线l的斜率互为相反数，求k的取值范围.【解析】（1）由题意知，离心率，所以，设，两式相减得，所以；所以直线为，即，所以，椭圆方程为；（2）设直线为，由得，则，，，所以，解得，，因为l不过D点，则，即则，化简得，解得，，所以或.3．已知椭圆．(1)过椭圆的左焦点引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；(2)求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程；(3)求过点且被平分的弦所在直线的方程．【解析】（1）设弦与椭圆两交点坐标分别为、，设，当时，．当时，，两式相减得，即(*)，因为，，，所以，代入上式并化简得，显然满足方程.所以点P的轨迹方程为（在椭圆内部分）．（2）设，在（1）中式子里，将，，代入上式并化简得点Q的轨迹方程为（在椭圆内部分）．所以，点的轨迹方程（在椭圆内部分）.（3）在（1）中式子里，将，，代入上式可求得．所以直线方程为．4．已知椭圆：（）过点，直线：与椭圆交于，两点，且线段的中点为，为坐标原点，直线的斜率为-0.5.(1)求椭圆的标准方程；(2)当时，椭圆上是否存在，两点，使得，关于直线对称，若存在，求出，的坐标，若不存在，请说明理由．【解析】（1）设，，则，即．因为，在椭圆上，所以，，两式相减得，即，又，所以，即．又因为椭圆过点，所以，解得，，所以椭圆的标准方程为；（2）由题意可知，直线的方程为．假设椭圆上存在，两点，使得，关于直线对称，设，，的中点为，所以，，因为，关于直线对称，所以且点在直线上，即．又因为，在椭圆上，所以，，两式相减得，即，所以，即．联立，解得，即．又因为，即点在椭圆外，这与是弦的中点矛盾，所以椭圆上不存在点，两点，使得，关于直线对称．5．（2022届广东省清远市高三上学期期末）设抛物线的焦点为F,准线为l,过焦点F且斜率为1的直线与抛物线C交于A,B两点,若的中点到准线l的距离为4．(1)求抛物线C的方程；(2)设P为l上任意一点,过点P作C的切线,切点为Q,试判断F是否在以为直径的圆上．【解析】(1)设,则所以,整理得,所以．因为直线的方程为,所以．因为的中点到准线l的距离为4,所以,得,故抛物线C的方程为．(2)设,可知切线的斜率存在且不为0,设切线的方程为,联立方程组得,由,得,即,所以方程的根为,所以,即．因为,所以,所以,即F在以为直径的圆上．6．（2022届河南省中原顶级名校高三上学期1月联考）已知椭圆的左、右焦点分别为,,过点的直线交椭圆于,两点.当直线的斜率为1时,点是线段的中点.(1)求椭圆的标准方程；(2)如图,若过点的直线交椭圆于,两点,且,求四边形的面积的最大值.【解析】(1)设,.由题意可得∴,即,∴.∵,∴,,∴椭圆的标准方程为.(2)根据对称性知,,∴四边形是平行四边形,又,∴问题可转化为求的最大值.设直线的方程为,代入,得.则,,∴.令,则,且,∴.记,易知在上单调递增.∴.∴.∴四边形的面积的最大值是6.7．如图,是过抛物线焦点F的弦,M是的中点,是抛物线的准线,为垂足,点N坐标为.(1)求抛物线的方程；(2)求的面积（O为坐标系原点）.【解析】(1)点在准线上,所以准线方程为：,则,解得,所以抛物线的方程为：；(2)设,由在抛物线上,所以,则,又,所以点M纵坐标为是的中点,所以,所以,即,又知焦点F坐标为,则直线的方程为：,联立抛物线的方程,得,解得或,所以,所以.8．在平面直角坐标系中,设点,直线：,点在直线上移动,是线段与轴的交点,,.(1)求动点的轨迹的方程；(2)过点作两条互相垂直的曲线的弦、,设、的中点分别为M、N.求直线过定点D的坐标.【解析】(1)依题意,点在直线：上移动,令直线交x轴于点K,而点,又是线段与轴的交点,当点P与点K不重合时,,而O为FK中点,则点是线段的中点,因,则是线段的垂直平分线,,又于点P,即是点到直线的距离,当点P与点K重合时,点R与点O重合,也满足上述结论,于是有点Q到点F的距离等于点Q到直线l的距离,则动点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线,其方程为：,所以动点的轨迹的方程为.(2)显然直线与直线的斜率都存在,且不为0,设直线AB的方程为,,令,,,由两式相减得：,则,即,代入方程,解得,即点M的坐标为,而,直线方程为,同理可得：N的坐标为,当,即时,直线：,当且时,直线的斜率为,方程为,整理得,因此,,直线：过点,所以直线恒过定点.9．中心在原点的双曲线焦点在轴上且焦距为,请从下面3个条件中选择1个补全条件,并完成后面问题：①该曲线经过点；②该曲线的渐近线与圆相切；③点在该双曲线上,、为该双曲线的焦点,当点的纵坐标为时,恰好.(1)求双曲线的标准方程；(2)过定点能否作直线,使与此双曲线相交于、两点,且是弦的中点？若存在,求出的方程；若不存在,说明理由.【解析】(1)设双曲线的标准方程为.选①：由题意可知,双曲线的两个焦点分别为、,由双曲线的定义可得,则,故,所以,双曲线的标准方程为.选②：圆的标准方程为,圆心为,半径为,双曲线的渐近线方程为,由题意可得,解得,即,因为,则,,因此,双曲线的标准方程为.选③：由勾股定理可得,所以,,则,则,故,所以,双曲线的标准方程为.(2)假设满足条件的直线存在,设点、,则,由题意可得,两式作差得,所以,直线的斜率为,所以,直线的方程为,即.联立,整理可得,,因此,直线不存在.10．己知椭圆的焦距为,短轴长为2,直线l过点且与椭圆C交于A、B两点．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l的斜率为1,求弦的长；(3)若过点的直线与椭圆C交于E、G两点,且Q是弦的中点,求直线的方程．【解析】(1)依题意,椭圆C的半焦距,而,则,所以椭圆C的方程为：.(2)设,依题意,直线l的方程为：,由消去y并整理得：,解得,