2025高考数学压轴专项题型专题5圆锥曲线中的斜率问题含答案及解析

专题5圆锥曲线中的斜率问题一、考情分析斜率问题也是高考圆锥曲线考查的热点,主要有以下类型：利用斜率求解三点共线问题；与斜率之和或斜率之积为定值有关的问题；与斜率有关的定值问题；与斜率有关的范围问题.二、解题秘籍(一)利用斜率求解三点共线问题利用斜率判断或证明点共线,通常是利用.【例1】（2023届广东省部分学校高三上学期联考）设直线与双曲线：的两条渐近线分别交于,两点,且三角形的面积为.(1)求的值；(2)已知直线与轴不垂直且斜率不为0,与交于两个不同的点,,关于轴的对称点为,为的右焦点,若,,三点共线,证明：直线经过轴上的一个定点.【解析】（1）双曲线：的渐近线方程为,不妨设,因为三角形的面积为,所以,所以,又,所以.（2）双曲线的方程为：,所以右焦点的坐标为,若直线与轴交于点,故可设直线的方程为,设,,则,联立,得,且,化简得且,所以,,因为直线的斜率存在,所以直线的斜率也存在,因为,,三点共线,所以,即,即,所以,因为,所以,所以,所以,化简得,所以经过轴上的定点.【例2】（2022届北京市一六一中学高三上学期期中）已知椭圆的左､右顶点分别为A,B,右焦点为F,直线.（1）若椭圆W的左顶点A关于直线的对称点在直线上,求m的值；（2）过F的直线与椭圆W相交于不同的两点C,D（不与点A,B重合）,直线与直线相交于点M,求证：A,D,M三点共线.【解析】（1）由题意知,直线的斜率存在,且斜率为,设点A关于直线对称的点为,则,所以线段的中点在直线上,又,,有,解得或,所以；（2）已知,当直线的斜率不存在时,：x=1,此时,有,所以直线,当时,,所以,所以,所以,即A、D、M三点共线；当直线的斜率存在时,设直线：,则,得,,设,则,直线BC的方程为,令,得,所以直线AD、AM的斜率分别为,,上式的分子,所以,即A、D、M三点共线.综上,A、D、M三点共线.(二)根据两直线斜率之和为定值研究圆锥曲线性质1.设点是椭圆C：上一定点,点A,B是椭圆C上不同于P的两点,若,则时直线AB斜率为定值,若,则直线AB过定点,2.设点是双曲线C：一定点,点A,B是双曲线C上不同于P的两点,若,则时直线AB斜率为定值,若,则直线AB过定点；3.设点是抛物线C：一定点,点A,B是抛物线C上不同于P的两点,若,则时直线AB斜率为定值,若,则直线AB过定点；【例3】（2023届山西省山西大附属中学高三上学期诊断）若点P在直线上,证明直线关于对称,或证明直线平分,可证明.已知椭圆：的左、右焦点分别为,,点是椭圆的一个顶点,是等腰直角三角形．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点分别作直线,交椭圆于A,两点,设两直线,的斜率分别为,,且,证明：直线过定点．【解析】（1）由题意点是椭圆的一个顶点,知,因为是等腰直角三角形,所以,即,所以椭圆的标准方程为：．（2）若直线的斜率存在,设其方程为,由题意知．由,得,由题意知,设,,所以,,因为,所以,所以,整理得,故直线的方程为,即,所以直线过定点．若直线的斜率不存在,设其方程为,,．由题意得,解得,此时直线的方程为,显然过点．综上,直线过定点．【例4】（2023届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研）已知点在双曲线上,直线l交C于两点,直线的斜率之和为.(1)求l的斜率;(2)若,求的面积.【解析】（1）将点代入中,得,即,解得,故双曲线方程为；由题意知直线l的斜率存在,设,设,,则联立直线与双曲线得：,需满足,故,,,化简得：,故,即,即,由题意可知直线l不过A点,即,故l的斜率（2）设直线AP的倾斜角为,由,,得,（负值舍去）,由直线的斜率之和为,可知,即,则,得,即,联立,及得,,将,代入中,得,故,,而,,由,得,故.【例5】(2022届广东省深圳市高三上学期月考)已知抛物线的焦点为,其中为的准线上一点,是坐标原点,且.（1）求抛物线的方程；（2）过的动直线与交于两点,问：在轴上是否存在定点,使得轴平分若存在,求出点的坐标；若不存在,请说明理由.【解析】（1）抛物线的焦点为设,则因为,所以,得.所以抛物线的方程为;（2）假设在轴上存在定点,使得轴平分.设动直线的方程为,点,联立,可得恒成立,设直线的斜率分别为,则由定点,使得轴平分,则,所以.把根与系数的关系代入可得,得.故存在满足题意.综上所述,在轴上存在定点,使得轴平分.(三)根据两直线斜率之积为定值研究圆锥曲线性质1.若点A,B是椭圆C：上关于原点对称的两点,点P是椭圆C上与A,B不重合的点,则；若点A,B是双曲线C：上关于原点对称的两点,点P是双曲线C上与A,B不重合的点,则.2.若圆锥曲线上任意一点P作两条直线与该圆锥曲线分别交于点A,B,若为定值,则直线AB过定点.【例6】(2022届黑龙江省大庆高三上学期期中)在平面直角坐标系中,已知椭圆的左、右顶点和右焦点分别为、和,直线与椭圆交于不同的两点、,记直线、,的斜率分别为、、.（1）求证：为定值；（2）若,求的周长.【解析】（1）证明：设,易知、,其中,则,为定值.（2）解：,即,设、,而,联立,则,且,,.所以,,,,所以,,,故直线恒过椭圆的左焦点,所以,的周长为.【例7】（2023届湖南省永州市高三上学期第一次适应性考试）点在双曲线上,离心率.(1)求双曲线的方程；(2)是双曲线上的两个动点（异于点）,分别表示直线的斜率,满足,求证：直线恒过一个定点,并求出该定点的坐标.【解析】（1）由题意点在双曲线上,离心率可得；,解出,,所以,双曲线的方程是（2）①当直线的斜率不存在时,则可设,代入,得,则,即,解得或,当时,,其中一个与点重合,不合题意；当时,直线的方程为,它与双曲线不相交,故直线的斜率存在；②当直线的斜率存在时,设直线的方程代入,整理得,,设,则,由,所以所以,,即,整理得,即,所以或,若,则,直线化为,过定点；若,则,直线化为,它过点,舍去综上,直线恒过定点另解：设直线的方程为①,双曲线的方程可化为,即②,由①②可得,整理可得,两边同时除以,整理得③,,则是方程③的两个不同的根,所以,即④,由①④可得,解得,故直线恒过定点.(四)判断或证明与斜率有关的定值与范围问题1.判断或证明与斜率有关的定值问题,通常是把与斜率有关的式子用某些量来表示,然后通过化简或赋值得到定值.2.求斜率有关的范围问题,通常是把与斜率有关的式子用其他量来表示,转化为求函数值域问题,或由已知条件整理出关于斜率的不等式,通过解不等式求范围.【例8】（2022届山东省学情高三上学期12月质量检测）已知椭圆的左右焦点分别为,.过与轴垂直的直线与椭圆交于点,点在轴上方,且.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于,两点,是否存在一定点使得为定值,若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由.【解析】（1）由己知得,所以,所以,所以椭圆C的方程为.（2）如果存在点M,由于椭圆的对称性可知点M一定在x轴上,设其坐标为(,0),因为椭圆右焦点F(1,0),直线斜率存在时设l的方程为,,则,将代入得：,所以,又由得：则当时,,当直线斜率不存在时,存在一定点使得为定值0.综上:存在定点使得为定值0.【例9】（2022届广东省高三上学期12月大联考）已知圆的圆心为,点是圆上的动点,点是抛物线的焦点,点在线段上,且满足.（1）求点的轨迹的方程；（2）不过原点的直线与（1）中轨迹交于两点,若线段的中点在抛物线上,求直线的斜率的取值范围.【分析】（1）依题意,根据椭圆的定义可得到轨迹为椭圆,再由几何关系得到相应的参数值即可得到椭圆方程；（2）设出直线方程并且和椭圆联立,根据韦达定理得到中点坐标,将点Q坐标代入抛物线方程得到,将此式代入得到,解不等式即可.【解析】（1）易知点是抛物线的焦点,,依题意,所以点轨迹是一个椭圆,其焦点分别为,长轴长为4,设该椭圆的方程为,则,,故点的轨迹的方程为.（2）易知直线1的斜率存在,设直线1：,由得：,,即①又,故,将,代,得：,将②代入①,得：,即,即,即,且,即的取值范围为或.四、跟踪检测1．（2023届山西省长治市高三上学期9月质量检测）已知点在椭圆：（）上,且点到椭圆右顶点的距离为．(1)求椭圆的方程；(2)若点,是椭圆上不同的两点（均异于）且满足直线与斜率之积为．试判断直线是否过定点,若是,求出定点坐标,若不是,说明理由．2．（2023届重庆市第八中学校高三上学期月考）已知椭圆的中心为坐标原点,对称轴为轴,轴,且过两点.(1)求椭圆的方程；(2)为椭圆的右焦点,直线交椭圆于（不与点重合）两点,记直线的斜率分别为,若,证明：的周长为定值,并求出定值.3．（2023届重庆市南开中学校高三上学期9月月考）已知椭圆的离心率为,上顶点为D,斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,M为线段AB的中点,当点M的坐标为时,直线l恰好经过D点.(1)求椭圆C的方程：(2)当l不过点D时,若直线DM与直线l的斜率互为相反数,求k的取值范围.4．（2023届江苏省南通市高三上学期第一次质量监测）已知分别是椭圆的左､右顶点,分别是的上顶点和左焦点.点在上,满足.(1)求的方程；(2)过点作直线（与轴不重合）交于两点,设直线的斜率分别为,求证：为定值.5．（2023届重庆市第一中学校高三上学期9月月考）已知椭圆经过点,其右焦点为.(1)求椭圆的离心率；(2)若点在椭圆上,右顶点为,且满足直线与的斜率之积为.求面积的最大值.6．（2023届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考）已知双曲线和点.(1)斜率为且过原点的直线与双曲线交于两点,求最小时的值.(2)过点的动直线与双曲线交于两点,若曲线上存在定点,使为定值,求点的坐标及实数的值.7．（2023届河北省邢台市名校联盟高三上学期考试）已知、为椭圆C：的左右顶点,直线与C交于两点,直线和直线交于点.(1)求点的轨迹方程.(2)直线l与点的轨迹交于两点,直线的斜率与直线斜率之比为,求证以为直径的圆一定过C的左顶点.8．（2023届安徽省皖南八校高三上学期考试）已知椭圆的左､右焦点为,,且左焦点坐标为,为椭圆上的一个动点,的最大值为.(1)求椭圆的标准方程；(2)若过点的直线与椭圆交于两点,点,记直线的斜率为,直线的斜率为,证明：.9.（2022届河北省石家庄高三上学期11月月考）已知椭圆的左、右焦点分别为,椭圆的离心率为,椭圆上的一点满足轴,且．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点为椭圆的左顶点,若点为椭圆上异于点的动点,设直线的斜率分别为,且,过原点作直线的垂线,垂足为点,问：是否存在定点,使得线段的长为定值？若存在,求出定点的坐标及线段的长；若不存在,请说明理由．10．（2022届八省八校（T8联考）高三上学期联考）设椭圆,圆,点,分别为E的左右焦点,点C为圆心,O为原点,线段的垂直平分线为l．已知E的离心率为,点关于直线l的对称点都在圆C上．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线l与椭圆E相交于A,B两点,问：是否存在实数m,使直线与的斜率之和为？若存在,求实数m的值；若不存在,说明理由．11．（2022届上海市嘉定区高三一模）在平面直角坐标系中,已知椭圆：的左、右顶点分别为A、B,右焦点为F,且椭圆过点、,过点F的直线l与椭圆交于P、Q两点（点P在x轴的上方）.（1）求椭圆的标准方程；（2）若,求点P的坐标；（3）设直线AP、BQ的斜率分别为、,是否存在常数,使得?若存在,请求出的值；若不存在,请说明理由.12．(2022届海南省海口市高三上学期考试)已知双曲线的虚轴长为4,直线2x－y＝0为双曲线C的一条渐近线．（1）求双曲线C的标准方程；（2）记双曲线C的左、右顶点分别为A,B,过点T(2,0)的直线l交双曲线C于点M,N(点M在第一象限),记直线MA斜率为,直线NB斜率为,求证：为定值．13．（2023届江苏省南京市六校联合体高三上学期调研）已知椭圆C:的上下顶点分别为,过点P且斜率为k(k<0)的直线与椭圆C自上而下交于两点,直线与交于点.(1)设的斜率分别为,求的值;(2)求证：点在定直线上.14．（2023届湖南省邵阳市高三上学期第三次月考）已知,直线的斜率之积为,记动点的轨迹为曲线.(1)求的方程;(2)直线与曲线交于两点,为坐标原点,若直线的斜率之积为,证明:的面积为定值.15．（2023届浙江省新高考研究高三上学期8月测试）已知椭圆C：的右焦点为,离心率为为椭圆的任意内接三角形,点为的外心.(1)求的方程；(2)记直线的斜率分别为,且斜率均存在.求证：.

专题5圆锥曲线中的斜率问题一、考情分析斜率问题也是高考圆锥曲线考查的热点,主要有以下类型：利用斜率求解三点共线问题；与斜率之和或斜率之积为定值有关的问题；与斜率有关的定值问题；与斜率有关的范围问题.二、解题秘籍(一)利用斜率求解三点共线问题利用斜率判断或证明点共线,通常是利用.【例1】（2023届广东省部分学校高三上学期联考）设直线与双曲线：的两条渐近线分别交于,两点,且三角形的面积为.(1)求的值；(2)已知直线与轴不垂直且斜率不为0,与交于两个不同的点,,关于轴的对称点为,为的右焦点,若,,三点共线,证明：直线经过轴上的一个定点.【解析】（1）双曲线：的渐近线方程为,不妨设,因为三角形的面积为,所以,所以,又,所以.（2）双曲线的方程为：,所以右焦点的坐标为,若直线与轴交于点,故可设直线的方程为,设,,则,联立,得,且,化简得且,所以,,因为直线的斜率存在,所以直线的斜率也存在,因为,,三点共线,所以,即,即,所以,因为,所以,所以,所以,化简得,所以经过轴上的定点.【例2】（2022届北京市一六一中学高三上学期期中）已知椭圆的左､右顶点分别为A,B,右焦点为F,直线.（1）若椭圆W的左顶点A关于直线的对称点在直线上,求m的值；（2）过F的直线与椭圆W相交于不同的两点C,D（不与点A,B重合）,直线与直线相交于点M,求证：A,D,M三点共线.【解析】（1）由题意知,直线的斜率存在,且斜率为,设点A关于直线对称的点为,则,所以线段的中点在直线上,又,,有,解得或,所以；（2）已知,当直线的斜率不存在时,：x=1,此时,有,所以直线,当时,,所以,所以,所以,即A、D、M三点共线；当直线的斜率存在时,设直线：,则,得,,设,则,直线BC的方程为,令,得,所以直线AD、AM的斜率分别为,,上式的分子,所以,即A、D、M三点共线.综上,A、D、M三点共线.(二)根据两直线斜率之和为定值研究圆锥曲线性质1.设点是椭圆C：上一定点,点A,B是椭圆C上不同于P的两点,若,则时直线AB斜率为定值,若,则直线AB过定点,2.设点是双曲线C：一定点,点A,B是双曲线C上不同于P的两点,若,则时直线AB斜率为定值,若,则直线AB过定点；3.设点是抛物线C：一定点,点A,B是抛物线C上不同于P的两点,若,则时直线AB斜率为定值,若,则直线AB过定点；【例3】（2023届山西省山西大附属中学高三上学期诊断）若点P在直线上,证明直线关于对称,或证明直线平分,可证明.已知椭圆：的左、右焦点分别为,,点是椭圆的一个顶点,是等腰直角三角形．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点分别作直线,交椭圆于A,两点,设两直线,的斜率分别为,,且,证明：直线过定点．【解析】（1）由题意点是椭圆的一个顶点,知,因为是等腰直角三角形,所以,即,所以椭圆的标准方程为：．（2）若直线的斜率存在,设其方程为,由题意知．由,得,由题意知,设,,所以,,因为,所以,所以,整理得,故直线的方程为,即,所以直线过定点．若直线的斜率不存在,设其方程为,,．由题意得,解得,此时直线的方程为,显然过点．综上,直线过定点．【例4】（2023届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研）已知点在双曲线上,直线l交C于两点,直线的斜率之和为.(1)求l的斜率;(2)若,求的面积.【解析】（1）将点代入中,得,即,解得,故双曲线方程为；由题意知直线l的斜率存在,设,设,,则联立直线与双曲线得：,需满足,故,,,化简得：,故,即,即,由题意可知直线l不过A点,即,故l的斜率（2）设直线AP的倾斜角为,由,,得,（负值舍去）,由直线的斜率之和为,可知,即,则,得,即,联立,及得,,将,代入中,得,故,,而,,由,得,故.【例5】(2022届广东省深圳市高三上学期月考)已知抛物线的焦点为,其中为的准线上一点,是坐标原点,且.（1）求抛物线的方程；（2）过的动直线与交于两点,问：在轴上是否存在定点,使得轴平分若存在,求出点的坐标；若不存在,请说明理由.【解析】（1）抛物线的焦点为设,则因为,所以,得.所以抛物线的方程为;（2）假设在轴上存在定点,使得轴平分.设动直线的方程为,点,联立,可得恒成立,设直线的斜率分别为,则由定点,使得轴平分,则,所以.把根与系数的关系代入可得,得.故存在满足题意.综上所述,在轴上存在定点,使得轴平分.(三)根据两直线斜率之积为定值研究圆锥曲线性质1.若点A,B是椭圆C：上关于原点对称的两点,点P是椭圆C上与A,B不重合的点,则；若点A,B是双曲线C：上关于原点对称的两点,点P是双曲线C上与A,B不重合的点,则.2.若圆锥曲线上任意一点P作两条直线与该圆锥曲线分别交于点A,B,若为定值,则直线AB过定点.【例6】(2022届黑龙江省大庆高三上学期期中)在平面直角坐标系中,已知椭圆的左、右顶点和右焦点分别为、和,直线与椭圆交于不同的两点、,记直线、,的斜率分别为、、.（1）求证：为定值；（2）若,求的周长.【解析】（1）证明：设,易知、,其中,则,为定值.（2）解：,即,设、,而,联立,则,且,,.所以,,,,所以,,,故直线恒过椭圆的左焦点,所以,的周长为.【例7】（2023届湖南省永州市高三上学期第一次适应性考试）点在双曲线上,离心率.(1)求双曲线的方程；(2)是双曲线上的两个动点（异于点）,分别表示直线的斜率,满足,求证：直线恒过一个定点,并求出该定点的坐标.【解析】（1）由题意点在双曲线上,离心率可得；,解出,,所以,双曲线的方程是（2）①当直线的斜率不存在时,则可设,代入,得,则,即,解得或,当时,,其中一个与点重合,不合题意；当时,直线的方程为,它与双曲线不相交,故直线的斜率存在；②当直线的斜率存在时,设直线的方程代入,整理得,,设,则,由,所以所以,,即,整理得,即,所以或,若,则,直线化为,过定点；若,则,直线化为,它过点,舍去综上,直线恒过定点另解：设直线的方程为①,双曲线的方程可化为,即②,由①②可得,整理可得,两边同时除以,整理得③,,则是方程③的两个不同的根,所以,即④,由①④可得,解得,故直线恒过定点.(四)判断或证明与斜率有关的定值与范围问题1.判断或证明与斜率有关的定值问题,通常是把与斜率有关的式子用某些量来表示,然后通过化简或赋值得到定值.2.求斜率有关的范围问题,通常是把与斜率有关的式子用其他量来表示,转化为求函数值域问题,或由已知条件整理出关于斜率的不等式,通过解不等式求范围.【例8】（2022届山东省学情高三上学期12月质量检测）已知椭圆的左右焦点分别为,.过与轴垂直的直线与椭圆交于点,点在轴上方,且.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于,两点,是否存在一定点使得为定值,若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由.【解析】（1）由己知得,所以,所以,所以椭圆C的方程为.（2）如果存在点M,由于椭圆的对称性可知点M一定在x轴上,设其坐标为(,0),因为椭圆右焦点F(1,0),直线斜率存在时设l的方程为,,则,将代入得：,所以,又由得：则当时,,当直线斜率不存在时,存在一定点使得为定值0.综上:存在定点使得为定值0.【例9】（2022届广东省高三上学期12月大联考）已知圆的圆心为,点是圆上的动点,点是抛物线的焦点,点在线段上,且满足.（1）求点的轨迹的方程；（2）不过原点的直线与（1）中轨迹交于两点,若线段的中点在抛物线上,求直线的斜率的取值范围.【分析】（1）依题意,根据椭圆的定义可得到轨迹为椭圆,再由几何关系得到相应的参数值即可得到椭圆方程；（2）设出直线方程并且和椭圆联立,根据韦达定理得到中点坐标,将点Q坐标代入抛物线方程得到,将此式代入得到,解不等式即可.【解析】（1）易知点是抛物线的焦点,,依题意,所以点轨迹是一个椭圆,其焦点分别为,长轴长为4,设该椭圆的方程为,则,,故点的轨迹的方程为.（2）易知直线1的斜率存在,设直线1：,由得：,,即①又,故,将,代,得：,将②代入①,得：,即,即,即,且,即的取值范围为或.四、跟踪检测1．（2023届山西省长治市高三上学期9月质量检测）已知点在椭圆：（）上,且点到椭圆右顶点的距离为．(1)求椭圆的方程；(2)若点,是椭圆上不同的两点（均异于）且满足直线与斜率之积为．试判断直线是否过定点,若是,求出定点坐标,若不是,说明理由．【解析】（1）点,在椭圆：（）上代入得：,点到椭圆右顶点的距离为,则,解得,,故椭圆的方程为．（2）由题意,直线的斜率存在,可设直线的方程为（）,,,．联立得．．∴,,∵直线与直线斜率之积为．∴,∴．化简得,∴,化简得,解得或．当时,直线方程为,过定点．代入判别式大于零中,解得（）．当时,直线的方程为,过定点,不符合题意．综上所述：直线过定点．2．（2023届重庆市第八中学校高三上学期月考）已知椭圆的中心为坐标原点,对称轴为轴,轴,且过两点.(1)求椭圆的方程；(2)为椭圆的右焦点,直线交椭圆于（不与点重合）两点,记直线的斜率分别为,若,证明：的周长为定值,并求出定值.【解析】（1）由已知设椭圆方程为：,代入,得,故椭圆方程为.（2）设直线,由得,,,又,故,由,得,故或,①当时,直线,过定点,与已知不符,舍去；②当时,直线,过定点,即直线过左焦点,此时,符合题意.所以的周长为定值.3．（2023届重庆市南开中学校高三上学期9月月考）已知椭圆的离心率为,上顶点为D,斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,M为线段AB的中点,当点M的坐标为时,直线l恰好经过D点.(1)求椭圆C的方程：(2)当l不过点D时,若直线DM与直线l的斜率互为相反数,求k的取值范围.【解析】（1）由题意知,离心率,所以,设,两式相减得,所以；所以直线为,即,所以,椭圆方程为；（2）设直线为,由得,则,,,所以,解得,,因为l不过D点,则,即则,化简得,解得,,所以或.4．（2023届江苏省南通市高三上学期第一次质量监测）已知分别是椭圆的左､右顶点,分别是的上顶点和左焦点.点在上,满足.(1)求的方程；(2)过点作直线（与轴不重合）交于两点,设直线的斜率分别为,求证：为定值.【解析】（1）因为,故可设,因为,故,即,解得.又在椭圆上,故,解得,故.又,故,故,.故的方程为.（2）因为椭圆方程为,故,当斜率为0时或重合,不满足题意,故可设：.联立可得,设,则.故故定值为5．（2023届重庆市第一中学校高三上学期9月月考）已知椭圆经过点,其右焦点为.(1)求椭圆的离心率；(2)若点在椭圆上,右顶点为,且满足直线与的斜率之积为.求面积的最大值.【解析】（1）依题可得,,解得,所以椭圆的方程为.所以离心率.（2）易知直线与的斜率同号,所以直线不垂直于轴,故可设,由可得,,所以,,而,即,化简可得,,化简得,所以或,所以直线或,因为直线不经过点,所以直线经过定点.设定点,因为,所以,设,所以,当且仅当即时取等号,即面积的最大值为.6．（2023届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考）已知双曲线和点.(1)斜率为且过原点的直线与双曲线交于两点,求最小时的值.(2)过点的动直线与双曲线交于两点,若曲线上存在定点,使为定值,求点的坐标及实数的值.【解析】（1）由对称性可设,则,因为点在双曲线上,所以,即,且所以,当时,为直角,当时,为钝角,所以最小时,.（2）设,由题意知动直线一定有斜率,设点的动直线为,设联立得,所以,解得且,,即,即,化简得,,化简得,由于上式对无穷多个不同的实数都成立,所以将①代入②得,从而如果时,那么,此时不在双曲线上,舍去,因此,从而,代入,解得,此时在双曲线上,综上,,或者.7．（2023届河北省邢台市名校联盟高三上学期考试）已知、为椭圆C：的左右顶点,直线与C交于两点,直线和直线交于点.(1)求点的轨迹方程.(2)直线l与点的轨迹交于两点,直线的斜率与直线斜率之比为,求证以为直径的圆一定过C的左顶点.【解析】（1）由题意得,,设,,,则,,即,,得,又∵点在C上,即,得,∴；（2）∵,设直线方程为,则方程为,联立,得（且）,设,得,,同理设,得,,,,∴,即,∴以MN为直径的圆一定过C的左顶点.8．（2023届安徽省皖南八校高三上学期考试）已知椭圆的左､右焦点为,,且左焦点坐标为,为椭圆上的一个动点,的最大值为.(1)求椭圆的标准方程；(2)若过点的直线与椭圆交于两点,点,记直线的斜率为,直线的斜率为,证明：.【解析】（1）因为左焦点坐标为,所以,当点在上､下顶点时,最大,又的最大值为.所以,由得,所以椭圆的标准方程为；（2）当直线的斜率为0时,直线的方程为,直线与椭圆没有交点,与条件矛盾,故可设直线的方程为,联立直线的方程与椭圆方程可得,,化简可得,所以,由已知方程的判别式,又直线过点,所以,所以,所以,设,则,,因为所以,所以方法二：设直线的方程为,由椭圆的方程,得.联立直线的方程与椭圆方程,得,即,,所以.因为直线过定点,所以,代入,得.9.（2022届河北省石家庄高三上学期11月月考）已知椭圆的左、右焦点分别为,椭圆的离心率为,椭圆上的一点满足轴,且．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点为椭圆的左顶点,若点为椭圆上异于点的动点,设直线的斜率分别为,且,过原点作直线的垂线,垂足为点,问：是否存在定点,使得线段的长为定值？若存在,求出定点的坐标及线段的长；若不存在,请说明理由．【解析】（1）由椭圆上的一点满足轴,且,可得,即,又由椭圆的离心率为,可得,即,因为,联立方程组,可得,所以椭圆的标准方程为.（2）由椭圆,可得,设直线的方程为,则,联立方程组,整理得,则,由,可得,即,可得,整理得,所以,所以或（舍去）,所以直线的方程为,即,当时,,可得直线过定点,因为,所以点在以为直径的圆上,所以当点为线段的中点时,线段的长为定值,此时线段的长为,点.10．（2022届八省八校（T8联考）高三上学期联考）设椭圆,圆,点,分别为E的左右焦点,点C为圆心,O为原点,线段的垂直平分线为l．已知E的离心率为,点关于直线l的对称点都在圆C上．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线l与椭圆E相交于A,B两点,问：是否存在实数m,使直线与的斜率之和为？若存在,求实数m的值；若不存在,说明理由．【解析】（1）由已知,,则设点关于直线l的对称点分别为M,N,因为点O,C关于直线l对称,O为线段的中点,则C为线段的中点,从而线段为圆C的一条直径,所以,即,即．于是,所以椭圆E的方程是．（2）因为原点O为线段的中点,圆心C为线段的中点,直线l为线段的垂直平分线,所以点O与C也关于直线l对称,因为点,则线段的中点为,直线的斜率为2,又直线l为线段的垂直平分线,所以直线l的方程为,即．将代入