1-4无穷小无穷大

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第一章二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系一、无穷小第四节无穷小与无穷大当一、无穷小

1、概念定义1.

若时,函数则称函数例如:函数当时为无穷小;函数时为无穷小;函数当为时的无穷小

.时为无穷小.说明:1、除0以外任何很小的常数都不是无穷小

!因为当时,显然C

只能是0!CC时,函数(或)则称函数为定义1.

若(或)时的无穷小

.说明2、强调,当发生改变，则可能不是无穷小。例如：

3、记法特殊。

、β、γ(或)思考：1、无穷小是不是一个很小的数？函数（变量）2、零是不是无穷小？特殊函数。是3、极限是不是数？是常数4、无穷小与极限的和是不是数？函数

由之，引入二者关系其中

为时的无穷小量.2、无穷小与函数极限的关系

定理1.证:当时,有对自变量的其它变化过程类似可证.P30例函数与其极限的差为一个无穷小量。3、无穷小的性质

1.定理2：有限个无穷小的和也是无穷小.时,有证:

考虑两个无穷小的和.设当时,有当时,有取则当因此这说明当时,为无穷小量.类似可证:有限个无穷小之和仍为无穷小.

两无穷小的差呢？和与差在代数中可互相转化

因此结论同样成立

2.定理3.

有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证:

设又设即当取则当时,就有即是时的无穷小.推论1

常数与无穷小的乘积是无穷小.上页问题可解推论2.

有限个无穷小的乘积是无穷小.P31例二、无穷大

1、概念定义2

若任给

M>0,一切满足不等式的

x,总有则称函数当时为无穷大,使对若在定义中将①式改为①则记作(正数X),记作总存在将x换为正整数n，即为数列无穷大的定义。思考:无穷大是不是一个很大的数？它是变量，描述函数的一种状态.2.函数为无穷大,必定无界.但无穷大与无界量是否一样？不是。P32反例例如,

函数当但所以时,不是无穷大!例.证明证:

任给正数

M,要使即只要取则对满足的一切x,有所以若则直线为曲线的铅直渐近线

.渐近线说明:三、无穷小与无穷大的关系若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则(P40)据此定理,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.P34思考定理4.

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