北师大版初二数学上册全部资料

丰富的图形世界

本章从实际生活动身。引导学生视察身边的世界。主要培育了学生图形识别实

力和细致的视察实力。本章的主要目的是让学生在生活实践中建立数学观念.将生

活中常见常用的立体图形和平面图形，从数学的角度进行多方面的相识和比较.在

这一章不要求对各种图形进行严格定义。只须要将生活中图形抽象成数学中的几何

模型.相识它们的一些简洁性质即可.

教学目标：（1）会分辨基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球等）；（2）了解

直棱柱、圆柱、圆锥的侧面绽开图，能依据绽开图推断和制作立体模型；（3）能想

象基本几何体的截面形态；（4）会画基本几何体的三视图，会推断简洁物体的三视

图，能依据三视图描述几何体或实物原型；（5）能从丰富的现实背景中抽象出空间

几何体和基本平面图形，进一步相识点、线、面。

本章的内容包括：

1.了解几何图形中点、线、面、体的关系.简洁地说就是点动成线、线动成面、

面动成体.

2.关于对生活中的常见立体图形的相识.这些立体图形包括棱柱、圆柱、圆锥、

球等。本章从三个方面探讨了这些图形：

（1）立体图形的绽开和折叠，这是两个步骤相反的过程.在学习这个内容时，

学生应当留意实践、多动手、多视察、多总结规律，留意从不同的角度去分解立体

图形.

（2）用平面去截立体图形，会推断所获得的截面是一个什么平面图形.

（3）从各个角度视察立体图形、即驾驭立体图形的三视图：主视图；左视图、

俯视图.会画一个立体图形的三视图，给一个立体图形的三视图或主要视图，会复

原成原立体图形,这是工程、设计等实际生活中常用的表现立体图形的方法.

这三个方面都体现了立体图形与平面图形之间的联系.

3.相识简洁的常见平面图形，如三角形、四边形、五边形等多边形和圆.会

推断一个困难的平面图形中包含了哪些简洁图形.

这一章主要是帮助学生在生活实践中建立对数学图形的相识。为下面详细探讨

几何图形的性质打下基础.

练习：

1.请利用下面的几何体拼出汽车.灯塔、凉亭，蘑菇等，画出草图，标明物

体名称，并考虑是否能再拼出其他物体.

fflg

2,请把与下图所示的实物类似的几何体找出，且指出它们可以看成什么图形

经旋转而得到的

3.视察图形、回答问题:⑴棱柱是

由几个面围成的圆锥是由几个面围成的围成它们的各个面都是平的吗

⑵圆锥的侧面和底面相交成几条线是直的还是曲的⑶棱柱有

几个顶点经过每个顶点有几条棱？

4.课后找些材料（如橡皮泥、铁丝、木块等）.动手令制作一个直棱

柱、并比照实物找找直棱柱与斜棱柱的相同点与不同点。［、\

5题’

5.一个三棱柱的底面边长为acm,侧棱长为bcm.

(1)这个三棱柱共有几个面它们分别是什么形态哪些面的形态、面积完全相同

⑵这个三棱柱共有多少条棱，它们的长度分别是多少？

6•哪种几何体的表面能展成下面的图形

(第6期)

7.图中的两个图形经过折叠能否围成棱柱先想一想，再试一试。

8.看图回答下列I可题：

⑴这个几何体的名称

⑵这个几何体有几个面，底面、侧面分别都是什么图形

⑶侧面的个数与底面多边形的边数有什么关系？

(4)这个几何体有几条侧棱，它们的长度之间有什么关系？

9.将一个正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，把你绽开后的不

同平面图形都画出来，看看有几种。

10.画出题图中几何体的主视图、左视图、俯视图.

11.小明看到标枪从前面被掷过来，下面是他看到的一组标枪飞行图像，请按

标枪飞行先后依次给下列图像编号.

（第I。迎）11S）

12.分别画出下面三个几何体的主视图、左视图和俯视图.

13.如图所示的两幅图分别是由几个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方形

中的数字表示在该位置小立方块的个数.请画出相应几何体的主视图却左视图.

14.(1)用平面去截一个长方体，能截出三角形、梯形吗动手试一试.

(2)用平面去截一个几何体，假如截面是长方形，你能想像出原来的几何体可

能是什么吗假如截面是三角形呢圆呢

15.用平面去截一个正方体，最多有几种不同的截面，画出来，在同学间沟通

一下.

16.用平面去截一个五棱柱，能截出一个梯形吗动手试试.

17.制作一个五棱柱，截一截，怎样才能截出三角形、长方形、五边形.

试一试，看能否截出六边形、七边形、八边形

答案：

1.还可拼出如图所示的台灯等物体

2.如图所示。铅锤类似于圆锥、圆锥是由三角形绕铀0’0旋转而得到的，其余实

物可照此法分析。

3.(1)5,2,平的也有曲的；(2)1、曲的；(3)6,3

4.相同处：上下底面部是相同的多边形；

不同处：直棱柱的侧面都是矩形、斜棱柱的侧面有的是平行四边形。

5.（1）5个面，其中3个侧面是长方形，两个底面是三角形，两个底面形态完

全相同，三个侧面形态完全相同。

（2）共有9条棱，其中侧棱长均为bcm,底面棱长均为acm.

6.（1）长方体；（2）三棱柱；（3）圆柱；⑷圆锥

7.能

8.（1）六棱柱；（2）8个面，六边形和长方形；（3）相等；（4）6,相等

9.得其表面展成一个平面图形，其面与面之间相连的棱有5条，因此须要剪

开7条棱.

10.

□3

主迎3s左视图济视图

U.⑶⑷⑸⑴(2)

12.(1)

主曳图

「一丁I

卜一二」j

cm

主视田请视图

主觇图

“.⑴[

S

主视图

14.（1）能；（2）截面是长方形的几何体可能是正方体，长方体，棱柱，圆柱;

截面是三角形的几何体可能是正方体，长方体，棱柱，圆锥；截面是圆的几何体可

能是圆柱，圆锥，球。

15.5种，截面分别是三角形，长方形，正方形，五边形，六边形。

台匕

16.目匕

17.能截出六边形、七边形，但不能截出八边形。

北京师大版七年级第一章检测题

1.推断题：

(1)全部棱柱的侧面都是长方形.()

(2)长方体的6个面相等.()

(3)长方体、正方体都是四棱柱.()

(4)一个棱柱至少有五个面.()

(5)组成扇形的曲线是弧.()

(6)直角三角形围着它的一边所在直线旋转围成的几何体是一个圆锥.()

⑺长方形围着它的一边所在的直线旋转围成的几何体是圆柱.()

⑻圆柱由三个面围成，其中两个平面，一个曲面.()

2.填空题：

(1)圆锥的侧面绽开图是.

⑵正方体有个面、个顶点、条棱并且它们的棱都

,若一个正方体全部棱的和为36cm,则正方体的体积为.

(3)一个垂直于圆柱底面的平面去截圆柱，则它的截面确定是.

(4)若一个平面平行于棱柱的底面，去截此棱柱得到的截面为八边形，则该棱

柱是___________棱柱.

(5)的表面能展成如图1所示的平面图形.

(6)把图2所示的平面图折叠，则围成的立体图形是

3.选择题：

⑴下列图形中不行能是几何体的是().

(A)三棱柱(B)圆柱⑹圆形(D)球

⑵下列图形中不是四棱柱的是().

(3)下列说法中正确的是().

(A)半圆可以分割成若干个扇形图4

(B)底面是八边形的棱柱共有8个面

(C)四边形从一个顶点动身，分别与其余各点连结，可把四边形分成3个三角

形

(D)截面是圆的几何体，不是圆柱，就是圆锥

4.如图4是一个由小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示

该位置的小立方块的个数，请你画出它的主视图与左视图.

5.用一个平面去截正方体，画出它的截面分别是三角形、长方形、正方形、

梯形.

gaaa

田5

答案：

1.(1)X(2)X(3)V(4)V(5)V(6)X(7)V(8)V

2.

⑴扇形(2)6812相等27cm3(3)长方形

(4)八(5)圆锥(6)三棱柱

3.(1)C(2)B(3)A

4.

主视图左视图

5.

,囹［g墙

说明：方法不惟一，图例仅供参考。

北京四中

编审：谷丹校对：辛文升责编：张杨

有理数之一：正数与负数及数轴。

本章是在小学学过的算术数的基础上引进了负数，从而使数域扩大到了有理

数；并由此引出数轴，相反数，确定值等概念以及有理数的运算法则。随着学问的

不断深化，初二时我们的数域将扩大到实数，到了中学还会学习复数。这一章以及

第一章是为我们以后的数学学习打下的基础，我们务必细致学好这一章的学问。

一、本讲的重点，难点和关键

重点；有理数特殊是负数的意义以及数轴的意义。

难点：了解有理数特殊是负数的意义；利用数轴进一步理解有理数的意义。

关键：利用数轴建立起来的数与形统一的观点。

二、学问要点：

1.在小学学过的算术数包括正整数，正分数和0的基础上，由实际生活中具

有相反意义的量，如温度有零上，零下之分；帐目有收入，支出之分；买卖有盈亏

之分等等。我们把这样具有相反意义的量分别用不同符号记号，以示区分，如当零

±15°C记作+15。C,则零下5。C记作-5°C；收入20元记作+20元，则支出20

元记作-20元等等。在这里，号读作“正”号，“+20”读作"正20"；

号读作“负号”，"70”读作"负10”。这样引入了负数和正数，由此建立了有

理数的概念。正数前面的号常省略不写，如+12可写成12。

整数：正整数，0和负整数统称为整数；如5,0,-3等等。

分数：正分数，负分数统称为分数。如：3,-3；等等。

有理数：整数和分数统称为有理数。

2.有理数的分类我们要弄清晰；其分类如下:

正整数

正有哪晨

整到0

有理戴•I人.耿有理勉o

分数pH分数负有理数整:

分数t负分蚊或］负分数

3.零既不是正数，也不是负数，它是正数和负数的分界。

4,数轴的意义：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴。

数轴的三要素是：原点，正方向和单位长度，三者缺一不行“我们必需能正确,

规范地画出数轴。

对于给出的有理数，我们应能以刻度尺为工具，精确地在数轴上画出表示这些

数的点，表示指定数的点要用笔涂成小圆黑点。比如给出-5；,-4,0,0.5,3等,

能画一条数轴，并在数轴上面标出表示它们的点，如图：

反之，对于一条数轴上标出的点能说出它们表示的数。比如，指出下列图中A,

B,C,D,E各点分别表示的有理数：

ABCDE

-6-5-4^-3-2-1512~;不：4

221

答：点A表示-3万，点B表示-1,点C表示2,点D表示3万，点E表示4行。

5,数轴的建立使任何一个有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点，

有的也可以表示有理数，而点是最基本的几何图形，从而就建立了数与几何图形之

间的关系，我们称其为“数形结合”。从而使有理数的大小直观化：数轴上表示的

两个数，右边的数总比左边的数大。正数都大于0,负数都小于0；正数大于一切

负数。

我们应当知道：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示；但数轴上的点并

不都表示有理数，有的点还表示无理数，这个数轴也叫做“实数轴”，这些我们将

在初二时学到。

三、例题:

例1.把下列各数分别填在相应的大括号内：25,-6；,-0.91,p,3.14,-7,0,-50,

8

7.9.

(1)整数集合：{25,-7,0,-50.9............}

18

(2)分数集合：{-6丸-0.91,3.14,7............}

(3)正整数集合：{25,9............}

(4)负整数集合：{-7,-50............}

8

⑸正分数集合：{3.14,7............}

1

(6)负分数集合：{-65,-0.91............}

8

247-9

⑺正有理数集合5,3.}

(8)负有理数集合：{-62,-0.91,-7,-50

£8

(9)有理数集合：{25,-62,-0.91,3.14,-7.0,-50.7.9..........

留意：整数都可以看作是分母为1的分数，因此有理数确定能写成分数的形式,

而P是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以P不是有理数，P是无理数。

例2.推断正误，并说明理由。

(1)全部正数都是整数。

(2)在整数中除了正整数就是负整数。

(3)分数是有理数。

(4)正整数都是自然数。

(5)任何有理数都有倒数。

答：

(1)不正确。因为正分数是正数但不是整数。如％是正分数，但它不是整数。

(2)不正确。因为零是整数，但它既不是正整数也不是负整数。

(3)正确。因为整数和分数统称为有理数。

(4)正确。

(5)不正确。因为零不能做除数，故有理数零没有倒数。

例3.下列各图中，哪些是数轴？为什么？

(1)-1**^^*—

_0^-(6)---------|——

答：只有(3)是数轴。因为它是具有三要素：正方向，原点，单位长度的直

线。

(1)不是数轴。因为它是曲线，不是直线。

(2)不是数轴。因为它没有长度单位。

(4)不是数轴。因为它是线段，不是直线。

(5)不是数轴。因为它的方向反了。

(6)不是数轴。因为它没有规定正方向。

例4.比较加口卷的大小。

说明：比较两个数的大小是初中数学中重要内容之一，在前面我们已经谈到可

以利用数轴来比较大小，但这不是唯一的方法。下面我们来探讨另外的比较两个正

数的大小的常用方法。

解：方法一：利用两数的差来推断,即两数a和b,若a-b>0,,则a>b；若a-b=O,

则a二b;

若a-b<0,则a<b.

1213180-16911

'/13-15=13*15=195>0.

1213

方法二：利用通分化为同分母分数，再比较分子的大小来判定。

1218013169

•/13=195,13=195,且180>169.

1213

13>B.

(*)方法三：利用两数的比，看比值大于1还是小于1来推断，即若£>1,则

a>b；若贝I]a<b.

12131215180

B：15=13-13=169>1,

1213

13>B.

例5.当X分别为3,7,10时,比较5x-35与0的大小。

解：当x=3时，5x-35=5X3-35=15-35=-20<0,

当x=3时，5x-35<0,

当x=7时，5x-35=5X7-35=35-35=0,

当x=7时,5x-35=0,

当x=10时，5x-35=50-35=15>0,

当x=10时,5x-35>0.

说明：通过此题我们应进一步理解当代数式5x-35中的字母x取不同的值时，

对应代数式的值也不同。

四、练习：

(-)用正数，负数填空：

(1)支出100元记作元，收入150元记作元。

(2)盈利800元记作元，亏损600元记作元。

(3)电梯上升5米记作米，下降3米记作米。

(4)王淼向东走5米，记作+5米，则他走了米，则表示他向西走了8

米。

(5)足球竞赛胜2场记作场，负1场记作场。

(6)海拔_______米，相当于海面上高度100米，海拔_______米相当于海面

下300米。

(二)推断正误：

(1)全部的整数都是正数。()

(2)正数和负数统称有理数。()

(3)零不是正数，也不是负数，但是整数。()

(4)没有最大的正整数，也没有最大的负整数。()

(5)在有理数中，不是正数的数确定是负数。()

(6)任何一个有理数都可以在数轴上找到和它对应的点。()

(7)数轴上随意一点都表示一个有理数.()

(8)-3>-2()

1

(9)iooo>-100()

(10)a为有理数，则3a确定大于2a。()

(三)填空：

(D正整数集合与负整数集合合并在一起构成的集合是集合。

(2)既不是正数，也不是负数的数是;是正数而不是整数的数是

(3)最大的负整数是,最小的正整数是o

(4)大于-3.1的负整数是，小于4.3的正整数是

(5)大于-5而不大于2的全部的整数是o

(6)写出满意条件-3<x<1.5的x的全部整数值o

(7)字母a表示一个有理数，则a可能是o

(8)当"时，7-33,)2的值最大，这个值是o

(9)规定了,和的叫做数轴。

1215665

(10)比较大小：①，—-203；②-$—0；③五—H；@-7-6.

练习参考答案：

(-)用正数，负数填空：

⑴700;+150(2)+800;-600(3)+5;-3(4)-8(5)+2;7

(6)+100;-300

(二)推断正误(1)X(2)X⑶J(4)X⑸X(6)V(7)X

(8)X(9)V(10)X

(三)填空:

(1)非零整数(2)0；正分数(3)-1；1

⑷1,2,3,4(5)-4,-3,-2,-1,0,1,2

(6)0,1

(7)正数，负数或0(留意：我们在考虑字母取值时确定要留意考虑周到，在

没有其它约束条件时，应考虑一个字母可能表示正数，也可能表示负数，还可能表

小-----rE本f=i；

(8)J;7

(9)正方向；原点；单位长度；直线

(10)①〉②<③<@<.

北京四中

正数与负数

中考考点:

1.了解有理数的意义，会用正数与负数表示相反意义的量。

2.能按要求把给出的有理数归类。

考点讲解：

1.正数与负数的概念：（1）了解正数与负数是怎样产生的。数是随着生活实

际的须要、生产发展的须要而产生的。比如一些具有相反意义的量，高于海平面800

米与低于海平面500米，温度上升5℃和温度下降3℃等，用我们小学学过的数已

不能很好地表达，若我们把一种意义规定为正的，另一种规定为负的，就能解决了

这个问题，这就产生了新的数：正数和负数。（2）会推断一个数是正数还是负数，

大于0的数是正数，也即是我们小学里学过的自然数和分数。在正数的前面加上

号的数叫做负数。正数前面的号可以加上，也可省略不写。要留意，带

正号的数不确定是正数，带负号的数不确定是负数，尤其是字母表示的数，在后面

的内容里将看到这点。（3）会用正数和负数表示两个具有相反意义的量。（4）理解

0既不是正数也不是负数，是正数与负数的分界。

2,有理数有以下两种分类方法：

（D按整数分数关系分类（2）按正数、负数与0的关系分类

但整数

明。

件整数

［负整数正有理数（工分数

有理数,；正分数

有理数40

分数,负整数

负有理数

负分数负分数

考题例析:

1.甲、乙、丙三地的海拔高度分别为20米，75米和70米，则最高的地方

比最低的地方高（）.

（A）10米（B）25米（C）35米（D）5米

考点：负数的应用，有理数的运算。

评析：依据负数与正数的实际应用，找出最高点与最低点的数值，再计算求出

即可，故选（C）o

2.（湖南长沙）下表是我国四个城市某年一月份的平均气温.把它们按从高到

低的依次排列：.

北京长沙哈尔滨南京

-4.6℃3.8℃-19.4℃2.4℃

考点：有理数大小的比较

评析：把表格内的数表示在数轴上，依据“右大左小”的推断方法可以判定，

所以该题从高到低的依次应为3.8℃>2.4℃>-4.6℃>-19,4℃

真题实战：

1.下列各数中，负数是（）

A.（-3）0B.-卜耳c.（-3）2D.3-2

答案：B

数轴

考点分析：

1.了解数轴的概念和数轴的画法。

2.会以刻度尺为工具用数轴上的点表示整数或分数。

3.驾驭用数轴比较有理数大小的方法，会用不等号连接两个或两个以上不同

的有理数c

考点讲解：

1.数轴能够把我们所学过的数直观地、形象地表示出来，这是探讨数学的一

种“数形结合”的重要方法。画数轴一般先取向右为正方向，原点和单位长度则由

我们详细状况敏捷选定它们位置和大小。规定了原点，正方向和单位长度的直线才

叫做数轴，数轴的三要素缺一不行。

2.数轴的应用（1）驾驭数轴的画法，要求规范、美观。（2）能将已知数在数

轴上表示出来，能说出数轴上已知点所表示的数。（3）会利用数轴比较有理数的大

小，并理解和熟记有理数大小比较的法则：正数都大于0;负数都小于0;正数大

于一切负数。这些是以后进一步学习其他学问的重要基础。

考题例析：

1.一家三人（父亲、母亲、女儿）打算参与旅行团外出旅游，甲旅行社告知:

“父母买全票，女儿按半价实惠”.乙旅行团告知：“家庭旅游可按团体票计价，

A

即每人均按全价的5收费”，若这两家旅行社每人的原票价相同，贝%实惠条件是

（）

（A）甲比乙更实惠（B）乙比甲更实惠（C）甲与乙相同（D）与原

票价有关

考点：有理数大小的比较

512

评析：本题干脆运算比较，易知甲用钱为原票价的3乙用钱为原票价的

512

将，与了比较易知大小，即可作出判定，从而选出正确选项。

答案：B

2、在数轴上表示数2的点与表示数-5的点之间的距离是o

考点：数轴

评析：距离为正的，在数轴上表示的两个数2与-5,距原点的距离分别为2和

5,所以所求距离为2i5=7

答案：7。

3、在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数o

考点：数轴

答案:大o0_b

4、数a、b在数轴上的位置如图,则ba（填或）o

考点：利用数轴比较大小

评析：因为数轴上原点左边的数小于o,・・・a<0,原点右边的数大于0,所以b>0,

/.b>a?

答案：》

5.（杭州市）-5的相反数是（）

££

A、-5B\5C、5D\5

考点：相反数的求法

评析：只有符号不同的两个数互为相反数，即数a的相反数是-a,可知-5的

相反数是5.

真题实战：

2

1.（河北省）一4的相反数是.

2.（江苏南京）-2的相反数是（）.

££

A、-2B、2C、-2D、2

3.（扬州市）3的相反数是:的倒数是

4.（厦门市）；的相反数是.

5.（益阳市）假如"3,则-a=

6.（黑龙江省）-2001的倒数的相反数是.

1

7.（福建龙岩市）的相反数是.

8,（北京崇文区）-6的相反数是（）

Av6B、-6C\6D\-6

9.（陕西省）假如2（x+3）的值与3（1-x）的值互为相反数，则x等于（）

A、-8B、8C、-9D、9

答案：

2£_J_

1v32、B3、-3,34、-55、-36、而I7、28、

A

9.D（提示：由相反数的几何意义可知应为相反数的两数之和是0,所以可列方

程2（x+3）+3（1-x）=0,运用前面学过的解方程的方法，解此方程得：x=9.所以

选D,也可以将给出的四个选项代入验证：分别代入两个代数式看求得的值是否互

为相反数）.

10.若a<b<0,将1,1-a,1-b这三个数按由小到大的依次用Y连接起

来：。

答案：1<1七<1-2.

11.-3与-7的大小关系是o

考点：利用数轴比较大小

评析：因为-3与-7表示在数轴上，-3在-7的右边，数轴上右边的数总比：左

边的大，所以-3>-7。

12.n与3.14的大小关系是n3.14.

答案：》

13.下列说法正确的是（）

A全部的有理数都可以用数轴上的点表示；

B数轴上的每一个点都表示一个整数；

C规定了正方向和单位长度的一条直线叫做数轴；

D在同一数轴上，单位长度可以不统一。

答案：A

14.下列说法正确的是（）

A没有最大的正数，但有最大的负数;B没有最小的负数，但有最小的

正数；

C有最大的负整数，也有最小的正整数；D有最小的有理数是0。

答案：C

反馈练习

北京四中

1.下列说法中，正确的是（）

（A）正整数和正分数统称正有理数（B）正整数和负整数统称整数

⑹正整数、正分数、负整数、负分数统称有理数（D）零不是整数

2.关于数“0”,以下各种说法中，错误的是（）

（A）0是整数（B）0是偶数（00是正整数（D）0既不是正数也

不是负数

3.下列各语句中，正确的一个是（）

（A）整数就是自然数和零（B）正整数和负整数统称整数

（C）整数不能分成奇数和偶数两类（D）整数和分数统称有理数

4.假如规定前进、收入、盈利、公元后为正，则下列各语句中错误的是（）

（A）前进78米的意义是后退18米（B）收入-4万元的意义是削减4万元

（0盈利的相反意义是亏损（D）公元-300年的意义是公元后300年

5.下列各推断句中，错误的一个是（）

（A）有限小数和无限循环小数都是有理数（B）圆周率n不是有理数

（0正有理数和负有理数统称有理数（D）随意一个有理数都可以写成

分数形式

6.若有理数m>n,在数轴上的点M表示数叫点N表示数n,则（）

（A）点M在点N右边（B）点M在点N左边

（C）点M在原点的右边，点N在原点左边（D）点M和点N都在原点的右边，

且点M更右一些

7.一辆汽车从甲站动身向东行驶50千米，然后再向西行驶20千米，此时汽车

的位置是()

(A)甲站的东边70千米处(B)甲站的西边20千米处(C)甲站的东边

30千米处(D)甲站的西边30千米处

8.在数轴上A点和B点所表示的数分别为-2和1、若使A点表示的数是B点表

示的数的3倍，应将A点()

(A)向左移动5个单位(B)向右移动5个单位

(0向右移动4个单位(D)向左移动1个单位或向右移动5个单位

9.比较7,-0.5,0,0.01的大小,正确的是()o

(A)-1<-0,5<0<0.01(B)-0.5<-1<0<0.01

(0-1<-0.5<0,01<0(D)0<-0.5<-1<0.01

10.如图所示，依据有理数a,b,c在数轴上的位置，下列关系正确的是()o

bac

-4-----------J-----------1----1-------------

07

(A)b>a>0>c(B)a<b<0<c(C)b<a<0<c(D)a<b<c<0

答案：

1.A2.C3.D4.D5.C6.A7.C8.B9.A10.C

北京四中

有理数之二：相反数、确定值、有理数大小的比较(一)

撰稿：宋建生审稿：谷丹

责编：张杨

一、重点：是相反数、确定值的概念，这是很重要的两个概念，要求驾驭。要

能进行有理数的相反数、确定值的一些初步计算及有理数大小的比较。

难点：是对确定值意义的理解。

二、学问要点：

1.相反数：只有性质符号不同的两个数，才互为相反数。如彳和-彳；-3和3；

7和-7都是互为相反数。。的相反数是0,由定义知相反数是成对出现的(但-3和

5不叫相反数)，数轴上表示它们的点分别在原点的两侧且与原点的距离相等。如下

图，5；与-5；互为相反数，

5gt单位氏个电位长

J一一一一：一

"55-5-4-3-27012345/6

一般地，数a的相反数是-a,记作-(a)=-a；-a的相反数是a,即-Qa)=a,这

里a可表示正数，负数和0,

正数的相反数是负数；0的相反数还是0;负数的相反数是正数。例如：-(+5)

二-5,-0=0,-(-7)=7等等。

2.确定值：

(1)几何意义：一个数a的确定值就是数轴上表示a的点与原点的距离。

数a的确定值记作|a|,例如-3在数轴上表示它的点与原点的距离是3个单位

长度，如图，

,3个单位长度

一

-3-2-11

・•,-3的确定值是3,即|-3|二3。

(2)代数意义：一个正数的确定值是它本身；一个负数的确定值是它的相反

数；0的确定值是0。

用式子表示为：若a是有理数，则

a(a>0)

0(a^O)fa(a>0){a(a>0)

|a|二「。8<。)或|aI二>。或|a|二人。)

这几种表示法是等价的。例如：|5|=5,|0>0,6|二6等等。

由确定值的概念可知：

①一个数确定值是非负数，即|a|20。

②互为相反数的两个数的确定值相等。

例如：|-7|=7,|7|=7o反之，若|m|=8,则m=±8,在这里要考虑到m的两种状

况，建立分类的思想。

3.有理数大小比较的法则如下：

（1）利用数轴比较有理数的方法；即在数轴上表示的两个数，右边的数总比

左边的数大。

（2）比较有理数的一般方法；即正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切

负数。

（3）两个负数比较大小的方法和步骤：

①先求出两个负数的确定值，比较两个确定值的大小。

②用法则推断：确定值大的反而小。

1311331313

例如，试比较与一百的大小，因为|-，|=口而彳＞氏所以一彳＜一百。

三、例题：

例1.推断正误

（1）符号相反的数叫相反数；（2）数轴上原点两旁的数叫相反数；

（3）-a是相反数，（4）-a和a都是相反数。

分析：（1）不正确。例如，-8和7的符号相反，但它们不互为相反数。（说明:

当我们否定一件事情时，只需举出一个反例。）

（2）不正确。例如，-9和5在数轴上表示它们的点一个在原点左侧，一个在

原点右侧，但它们不互为相反数。

（3）不正确。因为相反数指的是两个数之间的关系，只有一个数时，不能说

是相反数。例如-4是4的相反数，而不能说-4是相反数。

（4）不正确。应说成：-a和a互为相反数。

例2.

（D用相反数的概念化简-[-（，）]

（2）一个数的倒数是♦求这个数的相反数。

1

（3）一个数的相反数的倒数是3"求这个数。

解：（1）-（-3表示，的相反数，，的相反数是1

11

11111

同样一［刃二一3・・・一［-（一『］=一［刃二一鼠

922

（2）・・・5的倒数是久・・.这个数是"

・•・-（：）―，・,.这个数的相反数是

留意：要弄清晰倒数与相反数两个名词的区分，不要弄混淆。

11010333

（3）V33xT,，的倒数是而，血的相反数是-市，

3

J这个数是-而。

我们还可以利用方程的方法来解（3）小题：

设这个数为x,依题意得：

1

io£

_X-3,3x-1,X--10o

当然在没有学习有理数运算的同学做起来会有一些困难，但对于学有余力的同

学不妨试一试。

2

例3,比较-5彳和-5.6的大小。

22

解：|-5月|二54二5.X,|-5.61=5.6,

2

|-53|>|-5.61

A-53<-5.6O（两个负数比较大小，确定值大的反而小）o

例4.比较m与|m|的大小。

分析：・・.|m|20,而m为有理数，它可能为正数，负数或0,因此我们必需分

三种状况进行探讨，数学上称这种思想方法为“分类探讨”。

解：当m2。时，|m|二m,/.m=|m|,

当m<0时，|m|=-m>0,/.m<|m|o

综上所述，当m20时,m=|m|；当m<0时,m<|m|o

例5.若|x|二8,|y|=5,求x+y的值。

解：・・.|x|=8,，x二±8(留意x可取两个值)

\'|y|=5,y=±5o(同上)

由此可知x,y共有四组不同的取值，下面分别进行探讨(即分类探讨)：

当x=8,y=5时，x+y=8+5=13；

当x=8,y=-5时，x+y=8+(-5)=3；

当x=-8,y=5时，x+y=(-8)+5=-3；

当x=-8,y=-5时，x+y=(-8)+(-5)=-13；

Jx+y的值为±13或士3。

留意：此题应用到了有理数的加减法，未学加减法的同学可留意理解解题思路。

四、练习：

(-)推断正误：

(1)任何一个数的相反数都是负数。()

(2)a确定是正数。()

(3)-a确定是负数。()

(4)|n|确定是正数。()

(5)|a|=|b|,.'.a=bo()

(6)|a|=|b|,二b或a二-b。()

(7)|-m|=4,.0.m=-4o()

(8)若|a|二2，，则a=±2获()

(9)只有两个数相等，它们的确定值才能相等。()

(10)互为相反数的两个数的确定值相等。()

(二八化简下列各数：

⑴一(+8(2)-(-5)(3)-[-(-7)](4)-[+(-8)]⑸

一[一(+6)](6)+[-(-9)]

(三)、计算：

13

(1)|0|+|-27|(2)|-33|+|43|(3)|2.46|+|-5.54|(4)

1

|-9|-|44-2.25|+|-5|

(四)、填空：

(1)24是的相反数，是的倒数，是的确定值。

(2)73和+13互为,|-13|=,|13|=,它们的确定值o

(3)把-7；,-7,|-5|,3.5,0.7填入下列适当的位置：

<<<<<O

(4)若-2〉0,则a0o

(5)任何一个数的相反数都是正数，的相反数是0,任何一个

数的相反数都是负数。

(6)任何一个有理数的确定值都是数。

⑺的相反数是它本身；数的确定值是它本身；的倒

数是它本身。

(8)的相反数大于它本身；的相反数小于它本身；

的确定值大于它本身。

(9)若|x+5|=0,则x=o

(10)若|-7|=6,则y=o

(11)若X为整数，则满意条件|x|<4的X值为o(可借助于数轴找寻)

(12)任何数的确定值都不是数。

练习参考答案：

(-)推断正误：

(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)V(7)X(8)V

(9)X(10)V

⑴二(2)5

(二)化简下列各数:(3)-7(4)8(5)6

(6)9

(三)计算：(1)27(2)8(3)8(4)12

(四)填空：

1I

(1)-24；24-±24⑵相反数；13；13；相等(3)-72<-7<0<3.5<|-5|<7

(4)a<0

(5)负，0,正(6)非负(7)0；非负数；±1(8)负数；正

数；负数(9)-5(10)±6

(11)-3,-2,-1,0,1,2,3(12)负

相反数，确定值、有理数大小的比较(二)

确定值与相反数的意义是本章的重点之一，也是难点，是我们今后学习有理数运算

及根式等内容的基础，因此应引起我们的足够重视，多练习，勤思索，细致总结它

们的性质，才能较深刻地相识这两个概念。本讲我们将对相反数、确定值的性质接

着进行探讨。主要探讨下列几点：

1、任何数的确定值都是一个非负数。

即若a为有理数,则|a|2如卜7|=7,|0|二0,|5|二5等等。

2、互为相反数的两个数的确定值相等。

即，若a+b=0,则|a|二|b|。如，|7|二7,|-7|=7,A|-7|=|7|o又如，若|a|二5,

则a二±5。反之，若两个数的确定值相等，则这两个数相等或互为相反数。即，若

|a|=|b|,则"b或a=-b。例如，若上|二卜5|,则x=5或

x=-5o

3、假如几个非负数的和为零，则每个非负数都要等于零。

用式子表示为:若|a|十|b|二0,贝lj|a|二0且|b|=0,二.a=0且b二0。

例如：|x+1|+|y-3|=0,则x+1=0且y-3=0,且y=3。

一、例题：

例1、依据下列条件求X：

(1)|x-2|=5,

(2)已知数轴上表示x的点与3的距离为3,求X。

(3)|x|W2(4)|x|>3(5)1<|x|W3

解：(1)・・,|x-2|二5,把x-2看作一个整体,则有x-2=5或x-2=-5,

・・,x=7或x-3o(留意一个数的确定值等于5,则这个数是±5,不要丢掉一个)

⑵这个问题可借助于数轴来思索,即用数形结合的方法。

由上图可看出。和6与3的距离都为3,/.X的值为。或6。

这个问题用式子来表示为：k-3|二3。

x-3-3或x_3--3

.0.x=6或x=0

明显这与⑴小题是类似的问题。

(3)・・•|x|<2。此类问题可借助于数轴来帮助我们解决，即用数形结合的方法,

视察在数轴上哪些点与原点的距离小于等于2。

・2WxW2

-----11IJ——1---->

~:4012--h

・,「2WxW2。

(4)・・・|x|>3,我们同样借助于数轴来解：

x<-3x>3

-3-2~H012§>

.,.x<-3或x>3o

留意:从(3),⑷题的图上可看出，属于包括的端点要用小黑圆点”・”表示,

不包括的则用小圈…”表示。

⑸・.・1<|x|W3,同样利用数轴

1<XW3

n~f

,,「3Wx<-1或1<x^3o

例2.已知|a|二7,|b|=4,且a>b,求竽的值。

解：・・・|a|=7,Aa=±7；|b|=4,Ab=±4,

又•.•a>b。

・・,只有当"7时,b=4或当a=7时，b=-4这两种状况。

ab7x(-4)2$

・■,当a=7,b二一4时,3=3=-3

ab7x428

当a=7,b=4时，可二亍二3■(异号两数的积为负数)

ab282$

・・,可的值为+7或-3\

例3.已知|a+b|+|a-b|二0求a,b的值。

解：・・,|a+b|+1a-b|=0依据非负数的性质知

卜+同二0且|2七|二0(留意这里的“且”字不要误写成“或”)

a+b-0且a-b-0

a=-b且a=b

.■.a=b=0o

例4.若|x-3|+|2x-y|+|2z+3|=0,求2x+y+z的值。

解：・・・|x-31+12x-y|+12z+31=0依据非负数的性质。

J|x-31=0且12x-y|二0且12z+31=0

/.x3=0且2x-y=0且2z+3=0

3

-'.x=3且y=2x=6且z=-5

31

2x+y+z=2X3+6+(-5)=102

例5.若|x-21=3,14y+21=4,且x|y|<0,求13y-x|

解:|x-21=3,「.x-2=3或x-2=-3

••x-5RJCx——1o

:|4y+2|=4,/.4y+2M或4y+2=-4。

£3

Jy矢或y=-5o

又•「xly|<0,-'-x<0o

13

・・,只取当x=-1时,y=5,或当x=-1时,y二。两种状况。

111

当x=-1,y=204,|3y-x|=|3X2-(-1)|=22O

33I

当x=-1,y="时,13y-x|=13X(-5)-(-1)|=35O

11

・・.|3y-x|等于25或3工

"-IHx1<1

例6.若x芋0,求①,的值，②而：的值。

Ii-|x||x-i|

解:①当x>0时，二k二0

1x||i+-2JT

当x<0时，-—=x=~=-2

U-|x|

・•・若xHO,则一1的值当x>0时为0,当x<0时为-2。

上一亘xX

②当x>0时，国二丁，=1-k0。

xhlx-x

当x<0时，百~=~"T=(-1)-(-1)=0

<_hl

.•・若x=#0,贝iJlM*=0o

二.练习：

(一)填空：

⑴在有理数范围内，最小的整数是_____,最大的负整数是,最小的非

负整数是,最大的正整数是,确定值最小的数是0

⑵-x=6,则x=；的相反数是2.1。

⑶当|x|=5时,3x=o

⑷若I-X|二|-81,贝ljx二