第13讲二次函数(二)课件2025年中考数学人教版（内蒙古）一轮复习

第13讲二次函数(二)教材整合夯实基础考向导引考点突破知识点1二次函数的最值的确定方法1.配方法:将y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式,当自变量x=

时,y有最大(小)值

.

hk知识点2二次函数的实际应用应用二次函数模型解决实际问题的步骤(1)根据题意确定二次函数的表达式;(2)根据已知条件确定自变量的取值范围;(3)利用二次函数的性质和自变量的范围确定最大(小)值,注意二次函数的最大值不一定是实际问题的最大值,要结合自变量取值范围确定最值.考点突破考点1二次函数在生产销售问题中的实际应用例1某企业设计了一款工艺品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场进行试销.据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,现要求销售单价不得低于成本且不再升高.规范解答:(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数表达式.规范解答:解:(2)y=-5x2+800x-27500=-5(x-80)2+4500.∵a=-5<0,∴抛物线开口向下.∵50≤x≤100,对称轴是直线x=80,∴当x=80时,y最大=4500.即当销售单价为80元时,每天的销售利润最大,最大利润为4500元.(2)销售单价为多少元时,每天的销售利润最大最大利润是多少规范解答:(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元,且每天的总成本不超过7000元,那么销售单价应控制在什么范围内(每天的总成本=每件的成本×每天的销售量)②二次函数图象的顶点横坐标不一定符合自变量的取值范围.注意:①求出表达式后需要化为一般形式;解:(1)180考向训练1-1某景区商店销售一种纪念品,每件的进货价为40元.经市场调查,当该纪念品每件的销售价为50元时(不降低),每天可销售200件;当每件的销售价每增加1元,每天的销售数量将减少10件.(1)当每件的销售价为52元时,该纪念品每天的销售数量为

件.

解:(2)由题意,得y=(x-40)[200-10(x-50)]=-10x2+1100x-28000=-10(x-55)2+2250.∴当每件的销售价x为55元时,销售该纪念品每天获得的利润y最大,最大利润为2250元.(2)当每件的销售价x为多少时,销售该纪念品每天获得的利润y最大并求出最大利润.考向训练1-2(2023无锡)某景区旅游商店以20元/千克的价格采购一款旅游食品加工后出售,销售价格不低于22元/千克,不高于45元/千克,经市场调查发现每天的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)之间的函数关系如图所示.(1)求y关于x的函数表达式.解:(2)设商店销售这款食品每天获得的销售利润为w元,则①当22≤x≤30时,w=(x-20)(-x+70)=-x2+90x-1400=-(x-45)2+625.∵在22≤x≤30范围内,w随着x的增大而增大,∴当x=30时,w取得最大值为400.(2)当销售价格定为多少时,该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大最大销售利润是多少[销售利润=(销售价格-采购价格)×销售量]②当30<x≤45时,w=(x-20)(-2x+100)=-2x2+140x-2000=-2(x-35)2+450.∴当x=35时,w取得最大值为450.∵450>400,∴当销售价格为35元/千克时,利润最大,最大为450元.考向训练1-3(2024南充)2024年“五一”假期期间,某特产店销售A,B两类特产.A类特产进价为50元/件,B类特产进价为60元/件.已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元,购买3件A类特产和5件B类特产需540元.(1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元解:(1)设每件A类特产的售价为x元,则每件B类特产的售价为(132-x)元.∴3x+5(132-x)=540.∴x=60.∴每件B类特产的售价为132-60=72(元).答:A类特产的售价为60元/件,B类特产的售价为72元/件.(2)A类特产供货充足,按原价销售每天可售出60件.市场调查反映,若每降价1元,每天可多售出10件(每件售价不低于进价).设每件A类特产降价x元,每天的销售量为y件,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.解:(2)由题意,得∵每件A类特产降价x元,且每降价1元,每天可多售出10件,∴y=60+10x=10x+60(0≤x≤10).(3)在(2)的条件下,由于B类特产供货紧张,每天只能购进100件且能按原价售完.设该店每天销售这两类特产的总利润为w元,求w与x的函数关系式,并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大,最大利润是多少元(利润=售价-进价)解:(3)由题意,得∵w=(60-50-x)(10x+60)+100×(72-60)=-10x2+40x+1800=-10(x-2)2+1840.∵-10<0,∴当x=2时,w有最大值1840.∴A类特产每件售价降价2元时,每天销售利润最大,最大利润为1840元.(2)当成本最低时,销售产品所获利润是多少(3)当销售量是多少吨时,可获得最大利润最大利润是多少(注:利润=销售额-成本)考点2二次函数在面积问题中的应用例2(包头样题)如图所示,有长为36m的篱笆,一面利用墙(墙的最大长度为20m),围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃.设花圃的宽AB为xm,面积为Sm2.(1)求S与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.(2)若要围成面积为96m2的花圃,则AB的长是多少解:(2)∵S=96,∴-3x2+36x=96,解得x1=4(舍去),x2=8.∴若要围成面积为96m2的花圃,AB的长是8m.(3)能围成面积比96m2更大的花圃吗为什么考向训练2-1如图所示,在Rt△EBF的内部作一个矩形ABCD,其中AB和BC分别在两直角边上,设AB=xm,矩形的面积为ym2,要使矩形的面积最大,则x应为()A.2 B.3 C.1.5 D.2.5D考向训练2-2某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为30m的篱笆围成,已知墙长为18m(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为xm.(1)若苗圃园的面积为72m2,求x的值.解:(1)根据题意,得(30-2x)x=72,解得x1=3,x2=12.∵30-2x≤18,∴x≥6.∴x=12.(2)若平行于墙的一边长不小于8m,这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗如果有,求出最大值和最小值;如果没有,请说明理由.(3)当这个苗圃园的面积不小于100m2时,求出x的取值范围.解:(3)由题意,得-2x2+30x≥100,解得5≤x≤10.∵6≤x≤11,∴6≤x≤10.考点3应用二次函数解决抛物线型实际问题例3(2024兰州)在校园科技节期间,科普员为同学们进行了水火箭的发射表演,水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线.为了解水火箭的相关性能,同学们进一步展开研究.如图所示建立直角坐标系.水火箭发射后落在水平地面A处.科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时,从发射到着陆过程中,水火箭距离地面OA的竖直高度y(m)与离发射点O的水平距离x(m)的几组关系数据如下:水平距离x/m0341015202227竖直高度y/m03.244.168987.043.24(1)根据表中数据,请确定抛物线的表达式;(2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为5m时,水火箭距离地面的竖直高度.B考向训练3-2竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度,v0(m/s)是物体抛出时的速度.某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出,小球达到的离地面的最大高度为()A.23.5m B.22.5mC.21.5m D.20.5mC10(1)①m=

,n=

;

②小球的落点是A,则点A的坐标为

.

(2)小球飞行高度y(m)与飞行时间t(s)满足关系:y=-5t2+vt.①小球飞行的最大高度为

m;

②求v的值.(2)求抛物线最高点的坐标;(3)斜坡上点B处有一棵树,点B是OA的三等分点,小球恰好越过树的顶端C,求这棵树的高度.(2)若以生产该产品2小时获得利润1800元的速度进行生产,则1天(按8小时计算)可生产该产品多少千克(3)要使生产680千克该产品获得的利润最大,问:该厂应该选取何种生产速度并求此最大利润.2.(2022鄂尔多斯)某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件,第一批花了6600元,第二批花了8000元,第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍,且第二批比第一批多购进50个.(1)求第二批每个挂件的进价.(2)两批挂件售完后,该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件,经市场调查发现,当售价为每个60元时,每周能卖出40个,若每降价1元,每周多卖10个,由于货源紧缺,每周最多能卖90个,求每个挂件售价定为多少元时,每周可获得最大利润,最大利润是多少解:(2)设每个售价定为y元,每周所获利润为w元,根据题意可知,w=(y-40)[40+10(60-y)]=-10(y-52)2+1440,∵-10<0,∴当y≥52时,w随y的增大而减小.∵40+10(60-y)≤90,∴y≥55.∴当y=55时,w取最大值,此时w=-10(55-52)2+1440=1350.∴当每个挂件售价定为55元时,每周可获得最大利润,最大利润是1350元.3.(2023包头)随着科技的发展,扫地机器人已广泛应用于生活中.某公司推出一款新型扫地机器人,经统计该产品2023年每个月的销售情况发现,每台的销售价格随销售月份的变化而变化.设该产品2023年第x(x为整数)个月每台的销售价格为y(单位:元),y与x的函数关系如图所示(图中ABC为一折线).(1)当1≤x≤10时,求每台的销售价格y与x之间的函数关系式.4.(2024赤峰)某公园有一种水上滑道娱乐项目.数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究.下面是该小组绘制的水滑道截面图,如图(1)所示,人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池.以地面所在的水平线为x轴,过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴,O为坐标原点,建立平面直角坐标系.他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分.根据测量和调查得到的数据和信息,设计了以下三个问题,请你解决.(2)腾空点B与对面水池边缘的水平距离OE=12m,人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离DE不少于3m.若某人腾空后的路径形成的抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称.①请写出此人腾空后的最大高度和抛物线BD的表达式.②此人腾空飞出后