最值问题：平面图形的认识（二）（巩固篇）

平面图形的认识（二）（最值问题）（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．凸边形中有且仅有两个内角为钝角，则的最大值是（）A．4 B．5 C．6 D．72．一个n边形的内角和比它的外角和至少大120°，则n的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．73．一个多边形的内角和超过640°，则此多边形边数的最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．84．一个三角形的两边长分别为3和7，第三边长为整数，则第三边长度的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．75．已知△ABC的两条中线的长分别为5、10，若第三条中线的长也是整数，则第三条中线长的最大值（

）A．7 B．8 C．14 D．156．有四根长度分别为3，4，5，x（x为正整数）的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形则组成的三角形的周长（

）A．最小值是11 B．最小值是12 C．最大值是14 D．最大值是157．如图，在中，有一点P在直线上移动，若，则的最小值为（

）A． B．5 C．4.8 D．48．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，P为直线AB上一动点，连PC，则线段PC的最小值是（）A．6 B．2.4 C．8 D．4.89．如图，在△ABC中，AB=5，AC=8，CD=3BD，点E是AC的中点，BE、AD交于点F，则四边形DCEF的面积的最大值是（）A．10cm2 B．9cm2 C．8cm2 D．7cm210．如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；……；与的平分线交于点，要使的度数为整数，则的最大值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7二、填空题11．已知，点P为平面内一点，且BP为定长，，Q为射线BC上一动点，连接PQ，当的值最小值，______．12．如图，在△ABC中，AB=AC=8，∠ABC=30°，点M，N分别在边，上，将△AMN沿MN翻折，点A落到点A’处，则线段BA’长度的最小值为________．13．我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，已知三角形的任一条中位线都平行于第三边，并且等于第三边的一半．如图，在中，，将平移5个单位长度得到，点P、Q分别是AB、的中点，PQ的最小值等于_________．14．如图，点A、点B是直线l上两点，AB＝10，点M在直线l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若点P为直线l上一动点，连接MP，则线段MP的最小值是_______．15．如图，点A、B分别是x轴和y轴正半轴上的两个动点，点P是第一象限内一点，且PA＝PB＝4，则四边形OAPB面积的最大值为________．16．如图，在△ABC中，AB=5，AC=8，CD=3BD，点E是AC的中点，BE、AD交于点F，则四边形DCEF的面积的最大值是______．17．如图，点为直线外一动点，，连接、，点、分别是、的中点，连接、交于点，当四边形的面积为时，线段的长度的最小值为________．18．如图，已知，一条光线从点出发后射向边．若光线与边垂直，则光线沿原路返回到点，此时．当时，光线射到边上的点后，经反射到线段上的点，易知若，光线又会沿原路返回到点，此时______°．若光线从点出发后，经若干次反射能沿原路返回到点，则锐角的最小值______°．三、解答题19．如图，直线，点A，D在直线b上，射线AB交直线a于点B，于点C，交射线AB于点E，，，P为射线AB上一动点，P从A点出发沿射线AB方向运动，速度为1cm/s，设点P运动时间为t，M为直线a上一定点，连接PC，PD．（1）当时，有最小值，求m的值；（2）当（m为（1）中的取值）时，探究、与的关系，并说明理由；（3）当（m为（1）中的取值）时，直接写出、与的关系．20．已知a、b、c为△ABC的三边长；①b、c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|a﹣4|＝2的解，求出该三角形的周长，并判断△ABC的形状．②若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值和最小值．21．如图，∠l=∠C，∠2+∠D=90°，BE⊥FD，垂足为G．（1）证明：AB//CD．（2）已知CF=3，FD=4，CD=5，点P是线段CD上的动点，连接FP，求FP的最小值．22．已知三角形的两边长为5和7，第三边的边长a．(1)求a的取值范围；(2)若a为整数，当a为何值时，组成的三角形的周长最大，最大值是多少？23．如图，直线a∥b，点A，点D在直线b上，射线AB交直线a于点B，CD⊥a于点C，交射线AB于点E，AB＝12cm，AE：BE＝1：2，P为射线AB上一动点，P从A点开始沿射线AB方向运动，速度为1cm/s，设点P运动时间为t，M为直线a上一定点，连接PC，PD．（1）当t＝m为何值时，PC+PD有最小值，求m的值；（2）当t＜m（m为（1）中的取值）时探究∠PCM、∠PDA与∠CPD的关系，并说明理由；（3）当t＞m（m为（1）中的取值）时，直接写出∠PCM、∠PDA与∠CPD的关系．24．如图，欢欢和乐乐分别站在正方形的顶点和顶点处，欢欢以的速度走向终点，途中位置记为点；乐乐以的速度走向终点，途中位置记为.假设两人同时出发，两人都到达终点时结束运动.已知正方形边长为，点在上，.记三角形的面积为，三角形的面积为.设出发时间为：（1）如图情况，用含的代数式表示下列线段的长度：______；______；______；______；（2）如图情况，他们出发多少秒后？（3）是否存在这样的时刻，使得？若存在，请求出的最小值，若不存在，请说明理由.参考答案1．B【分析】根据凸多边形的外角和等于，内角与外角互为邻补角即可得出答案．解：凸边形中有且仅有两个内角为钝角其外角中有且仅有两个锐角，两个锐角之和剩余的外角之和，其剩余的外角均则剩余的外角越接近，n就越大因此，剩余的外角最多有3个即n的最大值为故选：B．【点拨】本题考查了多边形的外角和、外角的定义等知识点，将内角问题转化为外角问题是解题关键．2．B解：试题分析：（n﹣2）•180°﹣360°≥120°，解得n≥，所以n的最小值为5．故选B．考点：多边形内角与外角．3．B【分析】设多边形的边数为n，可得(n-2)·180>640，即可求出n的取值范围，根据n为正整数，即可得答案.解：设此多边形的边数为n，∴(n-2)·180>640，解得n>，∵n是正整数，∴其最小值是6，故选B.【点拨】本题考查根据多边形内角和公式求边数，熟记多边形内角和公式是解题关键.4．B【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得第三边长的最小值．解：设第三边为a，根据三角形的三边关系，得：7﹣3＜a＜3+7，即4＜a＜10．∵a为整数，∴a的最小值为5．故选B．【点拨】本题考查了三角形的三边关系，关键知道三角形的任何一边大于其他两边之差，小于两边之和，满足此关系的可组成三角形．5．C【分析】如图，角A、B、C对应的中点分别是D、E、F，且三条中线交点是O，将OD延长到G，使OD=DG，连接BG，设BE=5,CF=10，AD则为第三条中线长，根据三角形的三边关系和中线的性质列出不等式组，即可求出第三条中线长的最大值．解：如图，角A、B、C对应的中点分别是D、E、F，且三条中线交点是O，将OD延长到G，使OD=DG，连接BG，设BE=5,CF=10，AD则为第三条中线长∵角A、B、C对应的中点分别是D、E、F，且三条中线交点是O∴，∵OD=DG∴∴∴∴∵第三条中线的长也是整数∴第三条中线长的最大值为14故答案为：C．【点拨】本题考查了三角形中线的长度问题，掌握三角形的三边关系和中线的性质是解题的关键．6．D【分析】首先写出所有的组合情况，再进一步根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．解：∵3，4，5，x从中任取三根，都能组成一个三角形，∴3，4，x和3，5，x都能组成三角形，∴，即：∵x为正整数，∴x取3或4或5或6，要组成三角形的周长最小，即：x=4时，三边为3，4，3，其最小周长为3+4+3=10，要组成的三角形的周长最大，即：x=6，三边为4，5，6，其周长最大值为4+5+6=15，综上所述，正确的只有D选项.故选：D．【点拨】本题考查的是三角形三边关系，利用了分类讨论的思想．掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答本题的关键．7．C【分析】根据点到直线的连线中，垂线段最短，得到当BP垂直于AC时，BP的长最小，过A作等腰三角形底边上的高AD，利用三线合一得到D为BC的中点，在直角三角形ADC中，利用勾股定理求出AD的长，进而利用面积法即可求出此时BP的长．解：根据垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短，过A作AD⊥BC，交BC于点D，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴D为BC的中点，又BC＝6，∴BD＝CD＝3，在Rt△ADC中，AC＝5，CD＝3，根据勾股定理得：AD＝=＝4，又∵S△ABC＝BC•AD＝BP•AC，∴BP＝＝＝4.8．故选：C．【点拨】此题考查了勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，三角形的面积求法，以及垂线段最短；熟练掌握勾股定理是解本题的关键．8．D【分析】根据垂线段最短的性质可知当PC⊥AB时，PC的值最小，利用三角形的面积进行求解即可.解：如图，当PC⊥AB时，PC的值最小，∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，∴AC•BC=AB•PC，即×6×8=×10PC，∴PC=4.8，故选D.【点拨】本题考查了垂线段最短，解题的关键是会利用面积法求三角形的高.9．B【分析】连接CF，设S△BFD=a，根据CD=3BD，点E是AC的中点，得出S△CFD=3a，S△ABF=S△CBF=4a，S△ABD=5a，即可得出S△ADC=15a，S△AFC=12a，S△ABC=20a，进而得出S四边形DCEF=9a，从而得出S四边形DCEF=S△ABC，当△ABC的面积取最大值时，四边形DCEF的面积的最大，求得△ABC的面积的最大值，即可求得结果．解：连接CF，设S△BFD=a，∵CD=3BD，∴S△CFD=3a，S△ADC=3S△ABD，∵点E是AC的中点，∴S△ABE=S△CBE，S△AFE=S△CFE，∴S△ABF=S△CBF=4a，∴S△ABD=5a，∴S△ADC=15a，∴S△AFC=12a，S△ABC=20a，∴S△EFC=6a，∴S四边形DCEF=9a，∴S四边形DCEF=S△ABC，∵在△ABC中，AB=5，AC=8，∴S△ABC的最大值为：×5×8=20，∴四边形DCEF的面积的最大值是9(cm2)，故选：B．【点拨】本题考查了三角形的面积，根据等高的三角形面积的比等于它们底的比，得出S四边形DCEF=S△ABC是解题的关键．10．C【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，根据角平分线的定义可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，然后整理得到∠A1=∠A，由∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，于是有∠A=2∠A1，同理可得∠A1=2∠A2，即∠A=22∠A2，因此找出规律．解：由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，∴∠A1+∠A1BC=（∠A+∠ABC）=∠A+∠A1BC，∴∠A1=∠A=×64°=32°；∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，而∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠A1，∴∠A1=∠A，同理可得∠A1=2∠A2，∴∠A2=∠A，∴∠A=2n∠An，∴∠An=()n∠A=，∵∠An的度数为整数，∵n=6．故选C.【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的是解题的关键．11．50°或10°【分析】分点P在的内部和外部两种情况讨论，当BP+PQ的值最小时，PQ最小，此时PQ⊥BC，据此解答即可．解：①当点P在的内部，如图1，∵BP为定长，∴当BP+PQ的值最小时，PQ最小，此时PQ⊥BC，∴∠PQB=90°，∵∠ABC=60°，∠ABP=20°，∴∠PBQ=40°，∴∠BPQ=90°-40°=50°，②当点P在的外部，如图2，同理可得，∠PBQ=80°，∴∠BPQ=90°-80°=10°，故答案为：50°或10°．【点拨】本题考查了直角三角形的性质，正确理解点到直线上所有连线中垂线段最短是解题的关键．12．【分析】如图，当点N与点C重合时，A’点落在BC上时，BA’长度的最小，求出BA’即可.解：如图，当点N与点C重合时，A’点落在BC上时，BA’长度的最小，∵AB=AC=8，∠ABC=30°，∴BC=，∵将△AMN沿MN翻折得△A’MN，∴AC=A’C=8，∴BA’=BC-A’C=.【点拨】此题主要考查折叠变换问题.13．【分析】取AC的中点M，的中点N，连接PM，MQ，NQ，PN，先求出BC=3，PN=5，再利用平移的性质及三角形三边的关系得出结果．解：取AC的中点M，的中点N，连接PM，MQ，NQ，PN，∵将ΔABC平移5个单位长度得到，∴=BC=3，PN=5，∵点P、Q分别是的中点，∴NQ是的中位线，NQ==，∴5-≤PQ≤5+即≤PQ≤，∴PQ的最小值等于．故答案为．【点拨】本题考查了平移的性质及三角形三边的关系，熟练掌握平移的性质是解题的关键．14．4.8【分析】根据垂线段最短可知：当MP⊥AB时，MP有最小值，利用三角形的面积可列式计算求解MP的最小值．解：当MP⊥AB时，MP有最小值，∵AB＝10，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，∴AB•MP＝AM•BM，即10MP＝6×8，解得MP＝4.8．故答案为：4.8．【点拨】本题主要考查垂线段最短，三角形的面积，找到MP最小时的P点位置是解题的关键．15．16【分析】连接OP，作PD⊥OB于D，PE⊥OA于E，由S△POB＝OB•PD，S△POA＝OA•PE可知当PD、PE取到最大值时，△POB和△POA的面积最大，即四边形OAPB的面积最大，根据点到直线之间垂线段最短可得PD≤PB，PE≤PA，从而得到四边形OAPD是正方形，根据正方形的面积公式即可求得．解：连接OP，作PD⊥OB于D，PE⊥OA于E，∵S△POB＝OB•PD，S△POA＝OA•PE，∴S四边形OAPB＝S△POB+S△POA＝OB•PD+OA•PE，∵PD⊥OB，PE⊥OA，∴PD≤PB，PE≤PA．当PB⊥OB，PA⊥OA时，PB与PD重合，PA与PE重合，此时PD、PE取得最大值4，△POB的面积和△POA的面积也就取到最大值，此时，四边形OAPB是正方形，最大值为4×4＝16，故答案为：16．【点拨】本题主要考查了三角形的面积、垂线段最短等知识，证得当PB与PD重合，PA与PE重合时，四边形OAPB的面积最大是解决本题的关键．16．9【分析】连接设利用CD=3BD及中点，分别表示四边形的面积与的面积，利用的面积最大，四边形的面积最大，从而可得答案．解：连接CD=3BD设则为的中点，四边形的面积，的面积最大，四边形的面积最大，当时，的面积最大，四边形的面积最大，此时四边形的面积故答案为：9．【点拨】本题考查的三角形的中线与三角形的面积之间的关系，考查了底不等而高相同的两个三角形的面积关系，掌握以上知识点是解题的关键．17．6【分析】如图所示，连接BF，过点C作CH垂直于直线AB于H，根据三角形中线的性质只需要求出从而求出CH=6，即可利用点到直线的距离垂线段最短求解．解：如图所示，连接BF，过点C作CH垂直于直线AB于H，∵D、E分别是AB、BC的中点，∴，，∴，，∴，∴，∴，∴，又∵点到直线的距离垂线段最短，∴，∴AC的最小值为6，故答案为：6．【点拨】本题主要考查了三角形中线的性质，点到直线的距离垂线段最短，正确作出辅助线是解题的关键．18．

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6【分析】根据入射角等于反射角得出，再由是的外角即可得度数；如图，当时，光线沿原路返回，分别根据入射角等于反射角和外角性质求出、的度数，从而得出与具有相同位置的角的度数变化规律，即可解决问题．解：，，，，如图：当时，光线沿原路返回，，，，，由以上规律可知，，当时，取得最小值，最小度数为，故答案为：，．【点拨】本题主要考查直角三角形的性质和三角形的外角性质及入射角等于反射角，根据三角形的外角性质及入射角等于反射角得出与具有相同位置的角的度数变化规律是解题的关键．19．（1）10；（2），见分析；（3）或【分析】（1）根据P、C、D三点共线时，即点P与点E重合时PC+PD的值最小，解答即可；（2）当t＜m时，过P在AE上，过点P作PH∥a∥b，根据平行线的性质可得结论；（3）分两种情况讨论，当点P在线段BE上时，当点P在线段AB的延长线上时，然后仿照第（2）问的证明方法，作出辅助线，根据平行线的性质可得结论．解：（1）当点P与E不重合时，在中，，当点P与E重合时，此时最小，∴．∵，，∴．∴．故时，值最小；（2），理由如下：如图，当即时，点P在AE上，过点P作，∵，∴．∴，，∴．∵，∴；（3）当m＜t≤15即10＜t≤15时，点P在线段BE上，过点P作PHa，如图：又∵ab，∴PHab，∴∠PCM+∠CPH＝180°，∠PDA+∠DPH＝180°，∴∠PCM+∠CPH+∠PDA+∠DPH＝360°，又∵∠CPD＝∠CPH+∠DPH，∴∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°，即当10＜t≤15时，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°；当t＞15时，点P在线段AB的延长线上，过点P作PGa，如图：又∵ab，∴PGab，∴∠PCM+∠CPG＝180°，∠PDA+∠DPG＝180°，∴∠CPG＝180°－∠PCM，∠DPG＝180°－∠PDA，又∵∠CPD＝∠DPG－∠CPG，∴∠CPD＝（180°－∠PDA）－（180°－∠PCM）＝180°－∠PDA－180°＋∠PCM＝∠PCM－∠PDA，∴∠PCM＝∠CPD+∠PDA．综上所述，当t＞10时，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°或∠PCM＝∠CPD+∠PDA．【点拨】本题主要考查平行线的性质及平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质及正确作出辅助线是解题的关键．20．①△ABC是等腰三角形；周长为7；②△ABC的周长的最大值13，最小值11．【分析】①利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b，c的值，进而利用三角形三边关系得出a的值，进而求出△ABC的周长进而判断出其形状．②利用三角形三边关系得出c的取值范围，进而求出△ABC的周长最大值和最小值．解：①∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，∴b﹣2＝0，c﹣3＝0，解得：b＝2，c＝3，∵a为方程|a﹣4|＝2的解，∴a﹣4＝±2，解得：a＝6或2，∵a、b、c为△ABC的三边长，b+c＜6，∴a＝6不合题意舍去，∴a＝2，∴△ABC的周长为：2+2+3＝7，∴△ABC是等腰三角形．②∵a＝5，b＝2，c为整数，∴5﹣2＜c＜2+5，∴c的最小值为4，c的最大值为6，∴△ABC的周长的最大值＝5+2+6＝13，最小值＝5+2+4＝11．【点拨】此题主要考查三角形的三边关系，解题的关键是正确理解三角形的三边关系．21．（1）证明见分析；（2）．【分析】（1）先证明CF∥BE，得到，进而证明，得到即可证明AB∥CD；（2）先确定的最小值是点F到直线CD的垂线段的长度，过点F作，垂足为P，再由等面积法即可计算出FP的值．解：（1）证明：∵，∴CF∥BE，∴．∵，垂足为G，∴，∴．∵，∴，∵，∴，∴AB∥CD．（2）根据题意，可知的最小值是点F到直线CD的垂线段的长度．过点F作，垂足为P．因为，所以．因为，，，所以，所以．故FP的最小值为．【点拨】本题考查了平行线的性质及判定、三角形的等面积法的运用，解题的关键是熟悉平行线的性质以及判定．22．(1) (2)当时，三角形的周长最大为【分析】（1）根据三角形三边关系求解即可得到答案；（2）由（1）取最大值即可得到答案．解：（1）解：由三角形的三边关系可知，即，∴a的取值范围是；（2）解：由（1）知，a的取值范围是，a是整数，∴当时，三角形的周长最大，此时周长为：，∴周长的最大值是23．【点拨】本题考查三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．23．（1）m＝4时，PC+PD有最小值；（2）当t＜4时，∠PCM+∠PDA＝∠CPD，理由见分析；（3）当t＞4时，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°．【分析】（1）根据P、C、D三点共线时，即点P与点E重合时PC+PD的值最小，解答即可；（2）当t＜m时，点P在AE上，过点P作PH∥a∥b，根