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文档简介

2023届石家庄市第八十一中学高三下学期期中考数学试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件2.已知为实数集,,,则()A. B. C. D.3.数列{an}是等差数列,a1=1,公差d∈[1,2],且a4+λa10+a16=15,则实数λ的最大值为()A. B. C. D.4.()A. B. C.1 D.5.将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后,得到函数的图象,则“”是“是偶函数”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果,哥德巴赫猜想的内容是:每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和,例如:,,,那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数,其和等于16的概率为()A. B. C. D.7.下列函数中,图象关于轴对称的为()A. B.,C. D.8.下图为一个正四面体的侧面展开图,为的中点,则在原正四面体中,直线与直线所成角的余弦值为()A. B.C. D.9.将函数图象向右平移个单位长度后,得到函数的图象关于直线对称,则函数在上的值域是()A. B. C. D.10.设等比数列的前项和为,则“”是“”的()A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要11.设函数,若函数有三个零点,则()A.12 B.11 C.6 D.312.某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查,利用列联表,由计算得,参照下表:0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828得到正确结论是()A.有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”B.有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C.在犯错误的概率不超过0.5%的前提下,认为“学生性别与中学生追星无关”D.在犯错误的概率不超过0.5%的前提下,认为“学生性别与中学生追星有关”二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.(5分)在长方体中,已知棱长,体对角线,两异面直线与所成的角为,则该长方体的表面积是____________.14.函数过定点________.15.若实数满足约束条件,设的最大值与最小值分别为,则_____.16.记为数列的前项和.若,则______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在世界读书日期间,某地区调查组对居民阅读情况进行了调查,获得了一个容量为200的样本,其中城镇居民140人,农村居民60人.在这些居民中,经常阅读的城镇居民有100人,农村居民有30人.(1)填写下面列联表,并判断能否有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关?城镇居民农村居民合计经常阅读10030不经常阅读合计200(2)调查组从该样本的城镇居民中按分层抽样抽取出7人,参加一次阅读交流活动,若活动主办方从这7位居民中随机选取2人作交流发言,求被选中的2位居民都是经常阅读居民的概率.附:,其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82818.(12分)已知椭圆与抛物线有共同的焦点,且离心率为,设分别是为椭圆的上下顶点(1)求椭圆的方程;(2)过点与轴不垂直的直线与椭圆交于不同的两点,当弦的中点落在四边形内(含边界)时,求直线的斜率的取值范围.19.(12分)在本题中,我们把具体如下性质的函数叫做区间上的闭函数:①的定义域和值域都是;②在上是增函数或者减函数.(1)若在区间上是闭函数,求常数的值;(2)找出所有形如的函数(都是常数),使其在区间上是闭函数.20.(12分)已知函数(其中是自然对数的底数)(1)若在R上单调递增,求正数a的取值范围;(2)若f(x)在处导数相等,证明:;(3)当时,证明:对于任意,若,则直线与曲线有唯一公共点(注:当时,直线与曲线的交点在y轴两侧).21.(12分)在平面直角坐标系中,有一个微型智能机器人(大小不计)只能沿着坐标轴的正方向或负方向行进,且每一步只能行进1个单位长度,例如:该机器人在点处时,下一步可行进到、、、这四个点中的任一位置.记该机器人从坐标原点出发、行进步后落在轴上的不同走法的种数为.(1)分别求、、的值;(2)求的表达式.22.(10分)某企业为了了解该企业工人组装某产品所用时间,对每个工人组装一个该产品的用时作了记录,得到大量统计数据.从这些统计数据中随机抽取了个数据作为样本,得到如图所示的茎叶图(单位:分钟).若用时不超过(分钟),则称这个工人为优秀员工.(1)求这个样本数据的中位数和众数;(2)以这个样本数据中优秀员工的频率作为概率,任意调查名工人,求被调查的名工人中优秀员工的数量分布列和数学期望.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】

首先利用二倍角正切公式由,求出,再根据充分条件、必要条件的定义判断即可;【详解】解:∵,∴可解得或,∴“”是“”的充分不必要条件.故选:A【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,二倍角正切公式的应用是解决本题的关键,属于基础题.2.C【解析】

求出集合,,,由此能求出.【详解】为实数集,,,或,.故选:.【点睛】本题考查交集、补集的求法,考查交集、补集的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.3.D【解析】

利用等差数列通项公式推导出λ,由d∈[1,2],能求出实数λ取最大值.【详解】∵数列{an}是等差数列,a1=1,公差d∈[1,2],且a4+λa10+a16=15,∴1+3d+λ(1+9d)+1+15d=15,解得λ,∵d∈[1,2],λ2是减函数,∴d=1时,实数λ取最大值为λ.故选D.【点睛】本题考查实数值的最大值的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.4.A【解析】

利用复数的乘方和除法法则将复数化为一般形式,结合复数的模长公式可求得结果.【详解】,,因此,.故选:A.【点睛】本题考查复数模长的计算,同时也考查了复数的乘方和除法法则的应用,考查计算能力,属于基础题.5.A【解析】

求出函数的解析式,由函数为偶函数得出的表达式,然后利用充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】将函数的图象沿轴向左平移个单位长度,得到的图象对应函数的解析式为,若函数为偶函数,则,解得,当时,.因此,“”是“是偶函数”的充分不必要条件.故选:A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断,同时也考查了利用图象变换求三角函数解析式以及利用三角函数的奇偶性求参数,考查运算求解能力与推理能力,属于中等题.6.B【解析】

先求出从不超过18的素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果,然后再求出其和等于16的结果,根据等可能事件的概率公式可求.【详解】解:不超过18的素数有2,3,5,7,11,13,17共7个,从中随机选取两个不同的数共有,其和等于16的结果,共2种等可能的结果,故概率.故选:B.【点睛】古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数,本题不可以列举出所有事件但可以用分步计数得到,属于基础题.7.D【解析】

图象关于轴对称的函数为偶函数,用偶函数的定义及性质对选项进行判断可解.【详解】图象关于轴对称的函数为偶函数;A中,,,故为奇函数;B中,的定义域为,不关于原点对称,故为非奇非偶函数;C中,由正弦函数性质可知,为奇函数;D中,且,,故为偶函数.故选:D.【点睛】本题考查判断函数奇偶性.判断函数奇偶性的两种方法:(1)定义法:对于函数的定义域内任意一个都有,则函数是奇函数;都有,则函数是偶函数(2)图象法:函数是奇(偶)函数函数图象关于原点(轴)对称.8.C【解析】

将正四面体的展开图还原为空间几何体,三点重合,记作,取中点,连接,即为与直线所成的角,表示出三角形的三条边长,用余弦定理即可求得.【详解】将展开的正四面体折叠,可得原正四面体如下图所示,其中三点重合,记作:则为中点,取中点,连接,设正四面体的棱长均为,由中位线定理可得且,所以即为与直线所成的角,,由余弦定理可得,所以直线与直线所成角的余弦值为,故选:C.【点睛】本题考查了空间几何体中异面直线的夹角,将展开图折叠成空间几何体,余弦定理解三角形的应用,属于中档题.9.D【解析】

由题意利用函数的图象变换规律,三角函数的图象的对称性,余弦函数的值域,求得结果.【详解】解:把函数图象向右平移个单位长度后,可得的图象;再根据得到函数的图象关于直线对称,,,,函数.在上,,,故,即的值域是,故选:D.【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律,三角函数的图象的对称性,余弦函数的值域,属于中档题.10.A【解析】

首先根据等比数列分别求出满足,的基本量,根据基本量的范围即可确定答案.【详解】为等比数列,若成立,有,因为恒成立,故可以推出且,若成立,当时,有,当时,有,因为恒成立,所以有,故可以推出,,所以“”是“”的充分不必要条件.故选:A.【点睛】本题主要考查了等比数列基本量的求解,充分必要条件的集合关系,属于基础题.11.B【解析】

画出函数的图象,利用函数的图象判断函数的零点个数,然后转化求解,即可得出结果.【详解】作出函数的图象如图所示,令,由图可得关于的方程的解有两个或三个(时有三个,时有两个),所以关于的方程只能有一个根(若有两个根,则关于的方程有四个或五个根),由,可得的值分别为,则故选B.【点睛】本题考查数形结合以及函数与方程的应用,考查转化思想以及计算能力,属于常考题型.12.B【解析】

通过与表中的数据6.635的比较,可以得出正确的选项.【详解】解:,可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”,故选B.【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.10【解析】

作出长方体如图所示,由于,则就是异面直线与所成的角,且,在等腰直角三角形中,由,得,又,则,从而长方体的表面积为.14.【解析】

令,,与参数无关,即可得到定点.【详解】由指数函数的性质,可得,函数值与参数无关,所有过定点.故答案为:【点睛】此题考查函数的定点问题,关键在于找出自变量的取值使函数值与参数无关,熟记常见函数的定点可以节省解题时间.15.【解析】

画出可行域,平移基准直线到可行域边界位置,由此求得最大值以及最小值,进而求得的比值.【详解】画出可行域如下图所示,由图可知,当直线过点时,取得最大值7;过点时,取得最小值2,所以.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最值.这种类型题目的主要思路是:首先根据题目所给的约束条件,画出可行域;其次是求得线性目标函数的基准函数;接着画出基准函数对应的基准直线;然后通过平移基准直线到可行域边界的位置;最后求出所求的最值.属于基础题.16.1【解析】

由已知数列递推式可得数列是以16为首项,以为公比的等比数列,再由等比数列的前项和公式求解.【详解】由,得,.且,则,即.数列是以16为首项,以为公比的等比数列,则.故答案为:1.【点睛】本题主要考查数列递推式,考查等比数列的前项和,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)见解析,有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.(2)【解析】

(1)根据题中数据得到列联表,然后计算出,与临界值表中的数据对照后可得结论;(2)由题意得概率为古典概型,根据古典概型概率公式计算可得所求.【详解】(1)由题意可得:城镇居民农村居民合计经常阅读10030130不经常阅读403070合计14060200则,所以有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.(2)在城镇居民140人中,经常阅读的有100人,不经常阅读的有40人.采取分层抽样抽取7人,则其中经常阅读的有5人,记为、、、、;不经常阅读的有2人,记为、.从这7人中随机选取2人作交流发言,所有可能的情况为,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共21种,被选中的位居民都是经常阅读居民的情况有种,所求概率为.【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算,以及独立性检验的应用,利用列举法是解决本题的关键,考查学生的计算能力.对于古典概型,要求事件总数是可数的,满足条件的事件个数可数,使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可,属于中档题.18.(1)(2)或【解析】

(1)由已知条件得到方程组,解得即可;(2)由题意得直线的斜率存在,设直线方程为,联立直线与椭圆方程,消元、列出韦达定理,由得到的范围,设弦中点坐标为则,所以在轴上方,只需位于内(含边界)就可以,即满足,得到不等式组,解得即可;【详解】解:(1)由已知椭圆右焦点坐标为,离心率为,,,所以椭圆的标准方程为;(2)由题意得直线的斜率存在,设直线方程为联立,消元整理得,,由,解得设弦中点坐标为,所以在轴上方,只需位于内(含边界)就可以,即满足,即,解得或【点睛】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质,直线与椭圆的综合应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.19.(1);(2).【解析】

(1)依据新定义,的定义域和值域都是,且在上单调,建立方程求解;(2)依据新定义,讨论的单调性,列出方程求解即可。【详解】(1)当时,由复合函数单调性知,在区间上是增函数,即有,解得;同理,当时,有,解得,综上,。(2)若在上是闭函数,则在上是单调函数,①当在上是单调增函数,则,解得,检验符合;②当在上是单调减函数,则,解得,在上不是单调函数,不符合题意。故满足在区间上是闭函数只有。【点睛】本题主要考查学生的应用意识,利用所学知识分析解决新定义问题。20.(1);(2)见解析;(3)见解析【解析】

(1)需满足恒成立,只需即可;(2)根据的单调性,构造新函数,并令,根据的单调性即可得证;(3)将问题转化为证明有唯一实数解,对求导,判断其单调性,结合题目条件与不等式的放缩,即可得证.【详解】;令,则恒成立;,;的取值范围是;(2)证明:由(1)知,在上单调递减,在上单调递增;;令,;则;令,则;;;(3)证明:,,要证明有唯一实数解;当时,;当时,;即对于任意实数,一定有解;;当时,有两个极值点;函数在,,上单

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