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文档简介

一、无穷小运算法则定理1.

有限个无穷小的和还是无穷小.Note:

无限个无穷小之和不一定是无穷小!例如,类似可证:有限个无穷小之和仍为无穷小.定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1

.

常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2.

有限个无穷小的乘积是无穷小.二、极限的四则运算法则则有定理3.若推论:若且则定理4.若则有Hint:

利用极限与无穷小关系定理及本节定理2证明.Note:

定理4可推广到有限个函数相乘的情形.推论1.(C

为常数)推论2.(n

为正整数)定理5.若且B≠0,则有一般有如下结果:为非负常数)(如P47例5)(如P47例6)(如P47例7)定理7.

设且x

满足时,又则有极限存在准则有定理1.有定义且有Note:此定理常用于判断函数极限不存在.法1

找一个数列不存在.法2

找两个趋于的不同数列及使不存在.二、导数(derivative)的定义切线方程:法线方程:注意:

函数在点x连续未必可导.反例:在

x=0处连续,

但不可导.定理1.在闭区间[a,b]上可导定理3.

函数例.函数y=|x|在x=0处连续但不可导。注意:?一、四则运算求导法则

定理1.的和、差、商(除分母为0的点外)都在点x

可导,积、在点x

可导,三、复合函数求导法则(ChainRule)定理3.在点可导复合函数且在点x

可导,关键:

搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.思考题四、初等函数的求导问题1.常数和基本初等函数的导数(P94)2.有限次四则运算的求导法则(C为常数)3.复合函数求导法则4.初等函数在定义区间内可导,由定义证,说明:最基本的公式其它公式用求导法则推出.且导数仍为初等函数二、高阶导数的运算法则都有n

阶导数,则(C为常数)莱布尼兹(Leibniz)公式及设函数高阶导数的基本公式隐函数求导方法:

两边对

x

求导(含导数的方程)定理:函数在点可微的充要条件是在点处可导,二、微分运算法则设u(x),v(x)均可微,则(C

为常数)分别可微,的微分为微分形式不变5.复合函数的微分则复合函数(Hospital’srule)(洛必达法则)

常用函数的麦克劳林公式定义.

设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称图形是凹的;(2)若恒有则称连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点

.图形是凸的.二、曲线的凹凸与拐点Conclusions1.可导函数单调性判别在I

上单调递增在I

上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别+–拐点—连续曲线上有切线的凹凸分界点注意:为极大点为极小点不是极值点2)对常见函数,极值可能出现在导数为

0

或不存在的点.1)函数的极值是函数的局部性质.定理1(极值第一判别法)且在空心邻域内有导数,(1)“左正右负”,(2)“左负右正”,(自证)点击图中任意处动画播放\暂停定理2(极值第二判别法)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.定理3(判别法的推广)则:数,且1)当为偶数时,是极小点;是极大点.2)当为奇数时,为极值点,且不是极值点.特别:

当在内只有一个极值可疑点时,

当在上单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大值,则也是最大值.(小)

对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.(小)1.水平(HorizontalAsymptotes)与铅直渐近线(VerticalAsymptotes)若则曲线有水平渐近线若则曲线有垂直渐近线例1.

求曲线的渐近线.解:为水平渐近线;为垂直渐近线.2.斜渐近线(Slantasymptotes)斜渐近线若(P75题13)二、函数图形的描绘步骤:1.Domain:确定函数的定义域,及周期性

;2.求并求出及3.列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点;4.求渐近线;5.确定某些特殊点,描绘函数图形.为0和不存在的点;并考察其对称性则弧长微分公式为或若曲线由参数方程表示:弧长微分故曲率计算公式为Remark:

直线上任意点处的曲率为0!可见:R

愈小,则K

愈大,圆弧弯曲得愈厉害;一元函数积分学

存在原函数

.简言之:连续函数一定有原函数.初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数定理2.原函数都在函数族(C为任意常数)内.三、不定积分的性质二、基本积分表(P186)利用逆向思维(k

为常数)或或换元积分法第二类换元法第一类换元法分部积分法分部积分公式解题技巧:把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”的顺序,前者为后者为反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数一、有理函数的积分有理函数:时,为假分式;时,为真分式有理函数相除多项式+真分式分解其中部分分式的形式为若干部分分式之和四种典型部分分式的积分:

变分子为再分项积分定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和定理1.定理2.且只有有限个间断点可积的充分条件:三、定积分的性质(设所列定积分都存在)(k为常数)机动目录上页下页返回结束其中a,b,c

的相对位置任意时,例如6.

若在[a,b]上则机动目录上页下页返回结束推论2.推论1.

若在[a,b]上则7.

设则8.

积分中值定理则至少存在一点使则变上限函数定理1.

若积分上限的函数及其导数说明:1)定理1证明了连续函数的原函数是存在的.2)变限积分求导:同时为通过原函数计算定积分开辟了道路.机动目录上页下页返回结束三、牛顿–莱布尼兹公式(牛顿-莱布尼兹公式)

机动目录上页下页返回结束定理2.函数,则三、定积分的换元法

说明:1)当

<

,即区间换为定理1仍成立.2)必需注意换元必换限

,原函数中的变量不必代回.3)换元公式也可反过来使用,即或配元配元不换限例3.(1)若(2)若偶倍奇零二、定积分的分部积分法定理2.

n

为偶数

n

为奇数定义1.

设若存在,则称此极限为

f(x)的无穷限反常积分,记作这时称反常积分收敛

;如果上述极限不存在,就称反常积分发散

.类似地,若则定义则定义(c

为任意取定的常数)只要有一个极限不存在,就称发散.无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.并非不定型,说明:

上述定义中若出现它表明该反常积分发散.引入记号则有类似牛–莱公式的计算表达式:例2.

证明第一类p

积分证:当p=1时有当p≠1时有当p>1时收敛;p≤1

时发散.因此,当p>1

时,反常积分收敛,其值为当p≤1

时,反常积分发散.1、字体安装与设置如果您对PPT模板中的字体风格不满意,可进行批量替换,一次性更改各页面字体。在“开始”选项卡中,点击“替换”按钮右侧箭头,选择“替换字体”。(如下图)在图“替换”下拉列表中选择要更改字体。(如下图)在“替换

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