北师大版九年级上册数学期末复习：各章节题型练习题汇编（含答案解析）

北师大版九年级上册数学期末复习：各章节题型练习题汇编目 录第一章一元二次方程 1【题型1：一元二次方程的求解】 1【题型2：一元二次方程求参问题】 1【题型3：一元二次方程应用题】 2第二章概率与统计 4【题型1：概率求值】 4【题型2：数据分析综合】 6第三章图形的相似 【题型1：成比例线段】 11【题型2：相似模型】 11【题型3：图形的位似】 14【题型4：相似的实际应用】 15【题型5：相似的简单证明】 18【题型6：三角形相似的综合】 19第四章 反比例函数 22【题型1：反比例函数基本性质】 22【题型2：反比例函数几何意义】 23【题型3：反比例函数求k】 24【题型4：反比例函数图象共存问题】 25【题型5：反比例函数实际应用】 27【题型6：反比例函数综合】 30第五章 二次函数 34【题型1：二次函数基本性质】 34【题型2：二次函数图象与系数的关系】 35【题型3：二次函数新定义问题】 37【题型4：二次函数应用题】 38【题型5：二次函数与方程的关系】 41【题型6：二次函数综合】 41第六章三角函数 46【题型1：三角函数基本性质】 46【题型2：解直角三角形】 47【题型3：网格点求三角函数】 48【题型4：三角函数应用】 49【题型5：三角函数计算】 52第七章圆 53【题型1：圆中的基本定理应用】 53【题型2：圆中的面积计算】 55【题型3：线段最值问题】 56【题型4：圆综合】 57PAGEPAGE10第一章一元二次方程【题型1：一元二次方程的求解】【2023-2024学年山东省济南市济阳区九年级（上）24分】方程4x24x10的根的情况是()A．有一个实数根C．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根D．无实数根【2023-2024学年山东省济南市历城区九年级（上）54分】已知关于x的一元二次方程x2mx30的一个根是1，则方程的另一个根是( )A．3 B．2 C．3 D．4【2023-2024学年山东省济南市历城区九年级（上）186分】解方程：x22x150．【2023-2024（上173分】解方程：x26x80．【题型2：一元二次方程求参问题】【2023-2024学年山东省济南市槐荫区九年级（上）114分】已知关于x的一元二次方程x24xa0有两个不相等的实数根则a的取值范围是 ．【2023-2024学年山东省济南市历下区甸柳一中九年级（上）74分】已知函数y(k3)x22x1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( )k4

k4

k4k

k4k3【2023-2024学年山东省济南市商河县九年级（上）44分】将一元二次方程(xa)2b，化成x28x50的形式，则a，b的值分别是()A．4，21 B．4，11 C．4，21 D．8，69【题型3：一元二次方程应用题】【2023-2024学年山东省济南市槐荫区九年级（上）44分】1086块金牌，展现了（每两队之间都进行两场比赛380x支，则可列方程为()A．1x(x2

B．x(x1)

C．2x(x1)

D．x2380【2023-2024学年山东省济南市槐荫区九年级（上）228分】“”200生产288万个．试回答下列问题：已知每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率；600万个/1线的最大产能将减少20万个/季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增（应该再增加几条生产线？【2023-2024学年山东省济南市济阳区九年级（上）2310分】20229（墙的最大可用长度15米30，已知矩形的边CDAD和BCABxm．当围成的矩形养殖园面积为100m2BC的长；2，该学校打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道篱笆100m2AB的长；若不能，请说明理由．【2022-2023学年山东省济南市长清区九年级（上）2310分】某商店准备进一批季节性小家电，单价40元，经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个．现在采取提高商品定价减少销售量的办法增加利润，定价每增加1元，销售量净减少10个；2000元，则定价应增加多少元？若商店要获得最大利润，则定价应增加多少元？最大利润是多少？1：

第二章概率与统计【2023-2024学年山东省济南市高新区九年级（上）34分】某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如统计图由此可估计这种树苗移植成活的概率约为( )A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80【2023-2024学年山东省济南市济阳区九年级（上）218分】小颖设计了一个“配紫色”ABA转盘被分成了面积12B．转动B转盘一次，指针指向红色的概率是 ；请利用画树状图或列表的方法求游戏者获胜的概率是多少？【2023-2024学年山东省济南市历城区九年级（上）124分】在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试0.25左右，则袋子中黄球的个数可能是个．【2023-2024学年山东省济南市平阴县九年级（上）84分】41批向全国中小学生推荐优秀影片()12

13

16

19【题型2：数据分析综合】【2023-2024学年山东省济南市历城区九年级（上）208分】m名学生的竞答成绩，对成绩（百分制）A（90≤x≤100），B（80≤x＜90），C（70≤x＜80），D（60≤x＜70），四个等级，并制作出不完整的统计图，如图所示．已知：B等级数据（单位：分）:80、80、81、82、85、86、86、87、88、89．根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：m，n；补全条形统计图；抽取的m名学生中，成绩的中位数是 分，在扇形统计图中，C等级扇形圆心角的度数是 ；2100B等级及以上的学生人数．【2023-2024学年山东省济南市平阴县九年级（上）218分】某校举办“”1（类别劳动时间xA0≤x＜1B1≤x＜2C2≤x＜3D3≤x＜4E4≤x1班的学生共有人，补全条形统计图；E23名男生，现从中抽取两名学生做劳动交流，请用列表或画树状图的方法，求所抽的两名学生恰好是一男一女的概率．【2023-2024学年山东省济南市章丘区九年级（上）2310分】第31届世界大学生运动会将于2023年7月28日至8月8日在成都举行，某校开展了“爱成”1500（每人限选一项参加问卷调查的同学共 名，补全条形统计图；1500名同学中喜爱篮球运动的人数；学校准备组建一支校篮球队，某班甲，乙，丙，丁四名同学平时都很喜欢篮球运动，【2023-2024学年山东省济南市天桥区九年级（上）208分】A支CD其他），某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查，根据查结果，绘制成如图统计图．根据统计图表中的信息，解答下列问题：a，b，在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为 度；2名男性，其余都是女性，现从该种支付方式中随机选2名居民参加线上支付方式培训，求恰好都是女性的概率．【2022-2023学年山东省济南市章丘区九年级（上）2310分】（请根据以上信息，解答下列问题这次被调查的学生共有多少名？请将条形统计图补充完整；3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．1：

第三章图形的相似【2021-2022学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷第2题4分】如图，练习本中的横格线都平行且相邻两条横格线间的距离都相等同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段AB＝6，则线段AC的长为（ ）A．12 B．18 C．24 D．30【2021-2022（上）154如图，a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、B、F．若AB＝3，BC＝5，DE＝4，则EF的长为 ．【题型2：相似模型】【2021-2022学年山东省济南市高新区九年级（上）74分】如图所示，△ADE∽△ABC，若AD＝1，AB＝2，则△ADE与△ABC的相似比是（ ）A．1：2 B．1：3 C．2：1 D．3：2【2021-2022学年山东省济南市高新区九年级（上）104分】如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上的点，AF＝2FD，直线BF交AC于点E，交CD的延长线于点G，则的值为（ ）B．C．D．【2021-2022学年山东省济南市高新区九年级（上）144分】如图，D为△ABC的边AC上的一点，若要使△ABD与△ACB相似，可添加一个条件： ．【2021-2022学年山东省济南市槐荫区九年级（上）94分】如图，已知△ABC∽△ACP，∠A＝70°，∠APC＝65°，则∠B的度数为（ ）A．45° B．50° C．55° D．60°【2021-2022学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷第17题4分】如图，在△ABC中点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为 ．【2022-2023学年山东省济南市高新区九年级（上）238分】如图，△ABCBC＝120mmAD＝80mm，要把它加工成矩形PQMNBCAB、AC上．当点P恰好为AB中点时，PQ＝ ．PQ＝40mmPN的长度．PN：PQ＝1：27．【题型3：图形的位似】【2021-2022学年山东省济南市市中区九年级（上）144分】如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，O为位似中心若△ABC与△A′B′C′的面积之比为1：4，则CO：C′O的值为 ．【2022-2023学年山东省济南市高新区九年级（上）54分】如图，在平面直角坐标系中△AOB与△CODOAC＝2OA，B点坐标为（4，2），则点D的坐标为（ ）A．（8，4） B．（8，6） C．（12，4） D．（12，6）【2021-2022学年山东省济南市槐荫区九年级（上）206分】如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，1），B（1，2），C（4，3）．O△ABC2倍得到△A1B1C1，写出A1，B1，C1的坐标；四边形AA1B1B的面积为 ．【题型4：相似的实际应用】【2021-2022（上）84如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB＝12m，则旗杆AB的高为（ ）A．7m B．8m C．6m D．9m【2021-2022（上）2410E来测量学校EB＝20ED＝2米时，1.61.5米，求学校旗杆的高度是多少米．在计算过程中C，D之间的距离应是 米．AB的高度．【2021-2022（上）2510POOAA2cm/sQBBOO1cm/sP、Q同时出发，t（s）表示移动的时间（0≤t≤5），用含t的代数式表示：线段PO＝ cm；OQ＝ cm．t为何值时△POQ6cm2？当△POQ与△AOBt的值．【题型5：相似的简单证明】【2021-2022学年山东省济南市槐荫区九年级（上）216分】如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，F为CE上一点，且∠DFE＝∠A．求证：△DCF∽△CEB．【2021-2022（上206E分别是△ABCACAB∠ADE＝∠BAE＝1.5，AC＝2，BC＝3，DE的长．【题型6：三角形相似的综合】【2021-2022学年山东省济南市高新区九年级（上）2612分】如图，Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ACB＝∠ADE＝90°，∠ABC＝∠AED＝α．（1）当α＝30°时，①当点D，E分别落在边AC，AB上，猜想BE和CD的数量关系是 ；②当△ADEA2的位置时（45°＜∠CAD＜90°）CD，BE，则①的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立．请说明理由．（2）当α＝45°时，将△ADE绕点A旋转到∠DEB＝90°，若AC＝10，AD＝2，直接CD的长．【2021-2022学年山东省济南市历下区九年级（上）2612分】△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝3，BC＝4PABP作射PD⊥PEAC、BCD，E．问题产生若P为AB中点，当PD⊥AC，PE⊥BC时，＝ ；问题延伸在（1）的情况下，将若∠DPE绕着点P旋转到图2的位置，的值是否会发生改变？如果不变，请证明；如果改变，请说明理由；问题解决如图3，连接DE，若△PDE与△ABC相似，求BP的值．【2021-2022学年山东省济南市市中区九年级（上）2612分】△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝30°BE，CD交于点F．则＝ ；∠BFC＝ ．如图2，在矩形ABCD和△DEF中，AD＝CD，∠EDF＝90°，∠DEF＝60°，连接AF交CE的延长线于点G．求的值及∠AGC的度数，并说明理由；在（2）的条件下，将△DEFD在平面内旋转，AF，CEG，若DE＝1，AD＝，当点G与点E重合时，直接写出AF的长．秋秋PAGEPAGE22第四章 反例函数【题型1：反比例函数基本性质】【2023-2024学年山东省济南市济阳区九年级（上）44分】已知反比例函数yk的图象经过点2)，则k的值是( )x3

2

C．3 D．32【2023-2024学年山东省济南市历下区九年级（上）74分】关于反比例函数y2，下列结论正确的是( )xA．图象位于第二、四象限 B．当x0时，y随x的增大而减小x2y1

图象与坐标轴有交点【2023-2024学年山东省济南市平阴县九年级（上）34分】下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是( )y6x

y6x

y6x

y6x【2022-2023学年山东省济南市长清区九年级（上）64分】若点（﹣1，y1），（1，y2），（2，y3）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则下列结论中正确的是（ ）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1PAGEPAGE23【题型2：反比例函数几何意义】【2023-2024学年山东省济南市高新区九年级（上）134分】如图，A是反比例函数yk的图象上一点，ABy轴于点B，若ABO的面积为2，则kx的值为 ．【2022-2023学年山东省济南市历下区九年级（上）144分】如图，点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点C在反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象上，且BC∥y轴，AB⊥BC，垂足为点B，交y轴于点A，则△ABC的面积为 ．【2022-2023学年山东省济南市历城区九年级（上）94分】如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数与的图象上，点C、D在x轴上，AB、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于（ ）B．2 C． D．PAGEPAGE24【2022-2023学年山东省济南市槐荫区九年级（上）144分】如图是反比例函数y＝和y＝（k＞3）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条双曲线于A、B两点，若S△AOB＝4，则k＝ ．【题型3：反比例函数求k】【2023-2024学年山东省济南市济阳区九年级（上）164分】BykAACx轴于点COBD，x若BD2DO，AOD的面积为1，则k的值为 ．【2023-2024学年山东省济南市历城区九年级（上）154分】Ayk(x0)AABxBDx轴xDO2BOADy轴于点CBC．若CODk的值为 ．PAGEPAGE25【2023-2024学年山东省济南市天桥区九年级（上）154分】如图，在RtAOB中，AOB90，tanBAO2，顶点A，B分别在反比例函数y3(x0)x和反比例函数yk(x0)的图象上，则k的值为 ．x【2022-2023学年山东省济南市历下区九年级（上）74分】如图，点A（2，m）在双曲线y＝（k是常数）位于第一象限的图象上，AB⊥x轴，B为垂足，tan∠AOB＝2，则k的值是（ ）A．1 B．2 C．4 D．8【题型4：反比例函数图象共存问题】【2023-2024学年山东省济南市市中区九年级（上）94分】yaxbyab(ab为常数且均不等于0在同一坐标系内的图象x可能是()B．C．D．秋秋PAGEPAGE26【2023-2024学年山东省济南市章丘区九年级（上）74分】如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数yaxb(ab0)的图像与反比例函数yab(ab0)的图像大致可以是( )xB．C． D．【题型5：反比例函数实际应用】【2023-2024学年山东省济南市槐荫区九年级（上）2410分】【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器L（RL2)

亮度的实验（如图），已知串联RRLI

UR

，通过实验得出如下数据：R/1a346I/A432.42b（1）a，b；【探究】根据以上实验，构建出函数y

12(x0)，结合表格信息，探究函数x2y12(x0)的图象与性质．x2①y

12(x0)的图象；x2②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是 ．【拓展】结合（2）中函数图象分析，当x0时，123x6的解集为 ．x2 2【2023-2024学年山东省济南市商河县九年级（上）2310分】我校的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10C，加热到100C，停(C与开机后用时(min20C20Cy(C和时间x(min)的关系如图所示．（1）a，b．yx的函数表达式．饮水机有多少时间能使水温保持在50C及以上？若某天上午70020C，问学生上午第一节下课时(840能喝到50C以上的水吗？请说明理由．4.【2023-2024学年山东省济南市市中县九年级（上）期末数学试卷第24题10分】在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线yk(x0)经过点A(2,2)，在第一象限内存在一点B(m,n)，满足mn4．xk的值；1Bxyyk(x0)于点CD，x记线段BC、BD、双曲线所围成的区域为W（含边界），①当mn4时，区域W的整点个数为11 ；②直线yax5a4(a0)过一个定点，若点B为此定点，这条直线将W分成两部分，直线上方（不包含直线）的区域记为W1，直线下方（不包含直线）的区域记为W2，当W1与W2的整点个数之差不超过2时，请求出a的取值范围．【题型6：反比例函数综合】【2023-2024学年山东省济南市历城区九年级（上）2410分】如图1，直线y2x1与y轴交于点B，与反比例函数yk(x0)的图象交于点A(1,a)．x求反比例函数表达式．ABm个单位长度(m0，得到对应线段CDACBD．①如图2，当点D恰好落在反比例函数图象上时，过点C作CFx轴于点F，交反比例函数图象于点E，求CE的值；EF②在①NADCN为顶点的四边形是N点的坐标；若不存在，请说明理由．【2023-2024学年山东省济南市章丘区九年级（上）2410分】

kxb(k0y2

m(m0)x的图象相交于第一、三象限内的A(3,5)，B(a,3)两点，与x轴交于点C．求该反比例函数和一次函数的解析式；y2x的取值范围；yPPBPCPBPCP的坐标．PAGEPAGE32【2023-2024学年山东省济南市长清区九年级（上）2410分】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l:y3xb与x轴、y轴分别交于点A、B，与双4曲线H:yk交于点P(2,9)，直线xm分别与直线l和双曲线H交于点E、D．x 2k和b的值；EABEDBOm的值；点CyBCDEC的坐标．PAGEPAGE33【2022-2023学年山东省济南市历城区九年级（上）2410分】1OABCA、Cx轴、yB（6，3），反比例函数的图象与ABBC分别交于E两点点P是线段OA一动点．E的坐标；2DE、PE、PD，求△PDE周长的最小值；3，当∠PDO＝45°OP的长．五章 二函数【题型1：二次函数基本性质】【2023-2024学年山东省济南市济阳区九年级（上）54分】抛物线y(x2)21的顶点坐标是( )A．(2,

B．(2,1)

C．(2,

D．(2,1)【2023-2024学年山东省济南市商河县九年级（上）186分】二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示，根据图象回答下列问题：（1）点B的坐标为 0)；当x 时，y随x的增大而减小；不等式ax2bxc0的解集为 ．【2022-2023学年山东省济南市长清区九年级（上）144分】将抛物线向右移3单位上移2单位所得到的新抛物线解析式为 ．【2022-2023学年山东省济南市历下区九年级（上）64分】已知二次函数y＝（x﹣2）2+2，当点（3，y1）、（2.5，y2）、（4，y3）在函数图象上时，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（ ）A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y2＜y3【题型2：二次函数图象与系数的关系】【2023-2024学年山东省济南市历下区九年级（上）84分】已知二次函数yax22xc，其中ac0，则它的图象可能是( )B．C．D．【2023-2024学年山东省济南市长清区九年级（上）84分】在同一平面直角坐标系中，二次函数yax2与一次函数ybxc的图象如图所示，则二次函数yax2bxc的图象可能是( )B．C． D．【2022-2023学年山东省济南市长清区九年级（上）104分】y＝axbxc与x10＝1xax2+bx+c+1＝0一定有两个不相等的实数根；④a＞．其中正确的个数有（ ）个 B．2个 C．3个 D．4个【2022-2023学年山东省济南市高新区九年级（上）104分】y＝ax2+bx+c（a≠0）x＝﹣1，则下列结论：①abc＞0，②a+b＜﹣c，③4a﹣2b+c＞0，④3b+2c＜0，⑤a﹣b＞m（am+b）（其中m为任意实数）．中正确的个数是（ ）个 B．3个 C．4个 D．5个PAGEPAGE37【题型3：二次函数新定义问题】【2023-2024学年山东省济南市槐荫区九年级（上）104分】360)等都是“三倍点”．在3x1yx2xc的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是( )A．1c4

B．4c

C．1c4

D．4c5【2023-2024学年山东省济南市商河县九年级（上）104分】yx24|x|2xx0部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论：①函数图象关于y轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当x2时，y随x的增大而减小；④当6a2时，关于x的方程x24|x|a有4个实数根．其中正确的结论个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4秋秋PAGEPAGE38【2023-2024学年山东省济南市天桥九年级（上）104分】10．（4分）对于任意的实数m、n，定义符号max(m,n)的含义为m，n之间的最大值，如max(3,2)3，max(1,2)2．定义一个新函数：ymax(1x2x9,|x|)，则y3时，4 4x的取值范围为( A．x3或x1

Bx或1x

C．1x

D．x3或x3【2022-2023学年山东省济南市南山区九年级（上）104分】在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为雅系点．已知二次函数y＝ax2﹣4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个雅系点（，），且当m≤x≤0时，函数y＝ax2﹣4x+c+（a≠0）的最小值为﹣6，最大值为﹣2，则m的取值范围是（）A．﹣1≤m≤0 B．﹣＜m≤﹣2C．﹣4≤m≤﹣2 D．﹣≤m＜﹣【题型4：二次函数应用题】【2023-2024学年山东省济南市高新区九年级（上）2310分】2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装饰，如图1所示，他在会场的两墙ABCD之间悬挂一条近似抛物线yax24x32AB与CDAB、CD之间的水平距离5BD为8米．2AB、CD的高度是3米，抛物线的顶点坐标为；M3所示MAB3AB22米M到地面的距离．【2023-2024学年山东省济南市历下区九年级（上）2310分】2，将喷灌架置于坡度为15的坡地底部点O处（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）120米时，达到最大高度（与喷灌架底部所在水平面的距离）9米．2中抛物线表达式；AB的长；3.5米，求水流与喷水头的水平距离．【2022-2023学年山东省济南市历下区九年级（上）2410分】x/m00.411.52x/m00.411.522.53y/m2.53.33.93.853.32.250.7yxyx的变化而变化的规律进行了探究，如图，他首先通过描点法画出了函数图象．OC为myx的函数表达式为，水流达到最高点时与池中心水管的水平距离为m；OC，使OA3m，请求出降低后的水管高度是多少米？【题型5：二次函数与方程的关系】1.【2023-2024学年山东省济南市市中区九年级（上）期末数学试卷第14题4分】如图抛物线yax2bxc的对称轴是直线x1，与x轴的一个交点为(5,0)，则不等式ax2bxc0的解集为 ．6：二次函数综合】【2023-2024学年山东省济南市济阳区九年级（上）104分】yx23x4xACyB，PxQ(02)PQPC

2PQ的最小值是( )62A．6 B．8 C．2 D．462【2023-2024学年山东省济南市历下区九年级（上）104分】已知二次函数ymx24mx1，其中m0，若当0x4时，对应的y的整数值有6个，则m的取值范围为( )A．1m2

B．1m4

C．5m4

D．5m34 2【2023-2024学年山东省济南市历下区九年级（上）2612分】抛物线yx2mxm1与y轴交于点A，顶点为D．B(32DA坐标；如图，在（1）ABNAB下方抛物线上一点，求ABN面积的最大值；P(2m2)m2PQm的取值范围．【2023-2024学年山东省济南市天桥区九年级（上）2612分】如图1，抛物线yax2bx3(a0)与x轴交于A(3,0)和B(1,0)两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）PACPPDACDP坐标PD最大，并求出最大值；如图2yM，NHA，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．【2022-2023学年山东省济南市市中区九年级（上）2612分】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象经过点C，交x轴于点A（﹣1，0）、B（4，0）（A点在B点左侧），顶点为D．求抛物线的解析式；PBCPyBCQPxyQxyPQEF的周长最大值；M，使∠BMC＝45°M的纵坐标；若不存在，请说明理由．【2022-2023学年山东省济南市高新区九年级（上）2612分】如图，在平面直角坐标系中．抛物线与x轴交于A两点，与y轴交于点C，A的坐标为（﹣1，0）C的坐标为（0，﹣2）E（m，0）AB上的动点（EA，B重合）EPE⊥xPBCF．求该抛物线的表达式；EF：PF＝1：2m的值；BEP与△ABCmEMxNC、E、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若不存在，请说明M的坐标．1：

第六章三角函数【2023-2024学年山东省济南市历下区甸柳一中九年级（上）期末数学试卷第4题4分】在ABC中，A120，B45，C15，则cosB等于( ) 2

1 C．323

D．2【2023-2024学年山东省济南市商河县九年级（上）期末数学试卷第2题4分】如图，在RtABC中，C90，AC4，BC3，则A的正切值是( )35

43

34

45【2023-2024学年山东省济南市天桥区九年级（上）14分】tan45的相反数是( )B．1

2

2【2022-2023学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷（A卷）24分】下列三角函数中，值为的是（ ）A．cos30° B．tan30° C．sin5° D．cos60°【题型2：解直角三角形】【2023-2024学年山东省济南市槐荫区九年级（上）54分】如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，AB18cm，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为30时，杯中水的最大深度为( )33A．9 B．15 C．6 D．933【2023-2024学年山东省济南市历下区九年级（上）94分】济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”AB的142mPA的俯角为37210m到达QA的45AB的高度约为()（参考数据：tan373，sin373，cos374)4 5 5A．48m B．50m C．52m D．54m【2022-2023学年山东省济南市章丘区九年级（上）144分】如图某地修建一座高BC＝5m的天桥已知天桥斜面AB的坡度为则斜坡AB长度为 ．【题型3：网格点求三角函数】【2023-2024学年山东省济南市高新区九年级（上）24分】如图，在由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，则tanB的值为( )34

43

35

45【2023-2024学年山东省济南市济阳区九年级（上）84分】如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则BAC的正切值是( )B．2555

12【2023-2024学年山东省济南市历城区九年级（上）44分】在正方形网格中，以格点OABAB右侧圆弧上取一点CACBC，则ACB的度数为()A60 B50 C45 D．不确定【2022-2023学年山东省济南市南山区九年级（上）84分】如图，△ABCsinA的值为（）B．C．D．【题型4：三角函数应用】【2023-2024学年山东省济南市商河县九年级（上）84分】AD与水平方向的夹角为90CD3()B． 3cos

C．3sin D．3cosa【2023-2024学年山东省济南市高新区九年级（上）208分】23P的南偏东30100A7P的北偏东45B20海里，问轮船能否在台风到来前赶到避23B处？（

1.414

1.732)【2023-2024学年山东省济南市槐荫区九年级（上）218分】祖冲之发明的水碓duì（如图2是碓杆与支柱的示意图，支柱OM4AB16尺，OBAAOM60BA108.2，BB．（1）求点A位于最低点时与地面的垂直距离；（2）求最低点B与地面的垂直距离．（参考数据：sin18.20.31，cos18.20.95，tan18.20.33)【2023-2024（上196分A俯角为30F点处有疑似飞机残骸的物体（该物体视为静止）800B点FB俯角为60F点的正上方点C时（点ABC在同一直线上竖直高度CF31.7)【2023-2024学年山东省济南市天桥区九年级（上）218分】AE的仰角GAE50.2AB26AB的坡度i512BE的仰角EBF63.4，则BAG的距离为多少米？EF约为多少米？（参考数据：tan50.21.20，tan63.42.00，sin50.20.77，sin63.40.89)【2022-2023学年山东省济南市长清区九年级（上）228分】（OOP（如（∠OBC）（∠OAC）B为1.4OCsn61°≈0.8，cos61°≈0.48，tan61°≈1.8，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）【题型5：三角函数计算】8【2023-2024学年山东省济南市高新区九年级（上）176分】8

(tan602023)0(1)20232sin45．【2023-2024学年山东省济南市槐荫区九年级（上）176分】tan452sin30cos245cos60【2023-2024学年山东省济南市济阳区九年级（上）176分】计算：(1)04sin6012|3|．1：

第七章圆【2023-2024学年山东省济南市高新区九年级（上）64分】AB、C在OACB30，则AOB的度数是()A．30 B．40 C．60 D．65【2023-2024学年山东省济南市槐荫区九年级（上）94分】（即圆弧），ABAB的两条切线相交于点C，列车在从AB行驶的过程中转角60．若圆曲线的半径OA1.5km，则这段圆曲线AB的长为( )km4

km248【2022-2023学年山东省济南市历下区九年级（上）期末数学试卷第4题4分】已知⊙O的半径为6，点P在⊙O外部，则OP需要满足的条件是（ ）A．OP＞6 B．0≤OP＜6 C．OP＞3 D．0≤OP＜3【2022-2023学年山东省济南市历下区九年级（上）84分】如图为⊙O的直径为⊙O上的两点若则∠DAB的度数（ ）A．34° B．36° C．46° D．54°【2022-2023学年山东省济南市南山区九年级（上）94分】AB为⊙O的直径延长AB到点过点P作⊙O的切线切点为连接AC，∠P＝40°，D为圆上一点，则∠D的度数为（ ）A．20° B．25° C．30° D．40°【2022-2023学年山东省济南市市中区九年级（上）期末数学试卷第8题4分】如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠ACB＝120°，则∠α的度数为（ ）A．120° B．130° C．100° D．110°【2023-2024学年山东省济南市槐荫区九年级（上）154分】只用一张矩形纸条和刻度尺如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法如图将纸条拉直紧贴杯口上纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点利用刻度尺量得该纸条宽MN为7cm，AB6cm，CD8cm请你帮忙计算纸杯的直径为 cm．【题型2：圆中的面积计算】【2023-2024（上）94如图，点O为ABC的AB边上的一点， O经过点B且恰好与边AC相切于点C，若B30，AC3，?则阴影部分的面积为( )A．32 2

B．332 2

C．332

D．32【2022-2023（上）94图，在矩形中，以点B为圆心为半径画弧交矩形的边于（）A． B． C． D．【2023-2024（上）154如图将半径为2cm的圆形纸片翻折使得AB，BC恰好都经过圆心O折痕为AB，BC，则阴影部分的面积为 cm2．【2022-2023（上）154如图是的切线为切点与交于点以点为圆心以的长为半径作，分别交于点若则图中阴影部分的面积为 ．【题型3：线段最值问题】1．【2023-2024学年山东省济南市天桥区九年级（上）期末数学试卷第16题4分】3ABCDAB2AD3

，动点P从点A出发向终点D运动，连BP，并73过点C作CHBP，垂足为H．①ABP∽HCB；②AH的最小值为 在运动73BP扫过的面积始终等于CHH的运动路径的长为2其中正确的有 （填写序号）3【题型4：圆综合】【2023-2024学年山东省济南市高新区九年级（上）228分】独轮车（1）俗称“手推车”2所示为从独轮车中抽ABCABCAB为直径作OACP是O的切线，且PDBC，垂足为点D．（1）求证：AC；（2）若PD2BD4，求O的半径．【2023-2024学年山东省济南市槐荫区九年级（上）2310分】如图，AB为O的直径，D、E是O上两点，延长AB至C，连接CD，BDCA．CD是O的切线；若tanBED3AC8，求O的半径．4【2023-2024学年山东省济南市济阳区九年级（上）228分】如图在ABC中，ABAC，以AB为直径的O交BC于点D，过点D作O的切线交AB的延长线于点F，交AC于E．DEAC；AE6FB4，求O的半径．【2022-2023学年山东省济南市高新新航实验九年级（上）2310分】是⊙OC在⊙O是⊙O的延长线与⊙OE．求证：∠ABE＝2∠A；tanA＝ ，BD＝2BE的长．11秋秋22【2022-2023学年山东省济南市市中区九年级（上）228分】如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作⊙O的切线交AB的延长线于E，交BC于F．求证：DF⊥BC；DE＝6，BE＝3，求⊙O的半径．第一章一元二次方程【题型1：一元二次方程的求解】【2023-2024学年山东省济南市济阳区九年级（上）24分】方程4x24x10的根的情况是( )A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根 D．无实数根【分析】计算出判别式的值即可判断．【解答】解：△(4)244116160，方程4x24x10有两个相等的实数根．故选：C．【2023-2024学年山东省济南市历城区九年级（上）54分】已知关于x的一元二次方程x2mx30的一个根是1，则方程的另一个根是( )A．3 B．2 C．3 D．4【分析】设方程的一个根x11，另一个根为x2，再根据根与系数的关系进行解答即可．【解答】解：设方程的一个根x11，另一个根为x2，根据题意得：x1x23，将x11代入，得x23．故选：C．【2023-2024学年山东省济南市历城区九年级（上）186分】解方程：x22x150．【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．【解答】解：x22x150，(x3)(x5)0，x30或x50，3，x25．【2023-2024（上173分】解方程：x26x80．【分析】先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．【解答】解：x26x80，(x4)(x2)0，x40或x20，4x22PAGEPAGE13秋秋PAGEPAGE10【题型2：一元二次方程求参问题】【2023-2024学年山东省济南市槐荫区九年级（上）114分】已知关于x的一元二次方程x24xa0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是a4 ．【分析】根据判别式的意义得到△(4)241(a)0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得△(4)241(a)0，解得a4．故答案为：a4．【2023-2024学年山东省济南市历下区甸柳一中九年级（上）74分】已知函数y(k3)x22x1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( )k4

k4k3k3①当k30(k)x22x10△b24ac4k10的解集即可；②当k30时，得到一次函数y2x1，与x轴有交点；即可得到答案．【解答】解：①当k30时，(k3)x22x10，△b24ac224(k14k，k4；②k30y2x1x轴有交点．B．【2023-2024学年山东省济南市商河县九年级（上）期末数学试卷第4题4分】将一元二次方程(xa)2b，化成x28x50的形式，则a，b的值分别是( A．4，21 B．4，11 C．4，21 D．8，69【分析】根据完全平方公式、移项法则把原方程化为一般形式，根据题意列出方程，解方程得到答案．【解答】解：(xa)2b，则x22axa2b，x22axa2b0，2a8a2b5，a4b21A．【题型3：一元二次方程应用题】【2023-2024学年山东省济南市槐荫区九年级（上）44分】1086块金牌，展现了（每两队之间都进行两场比赛380x支，则可列方程为()A．1x(x3802

B．x(x1)380

C．2x(x1)

D．x2380【分析】利用比赛的总场数参赛队伍数（参赛队伍数1)，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：根据题意得：x(x1)380．故选：B．【2023-2024学年山东省济南市槐荫区九年级（上）228分】“”200生产288万个．试回答下列问题：已知每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率；600万个/1线的最大产能将减少20万个/季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增（应该再增加几条生产线？【分析】（1）x，利用第三季度的生产量第一季度的生产量前三季度生产量的平均增长率）2x正值即可得出结论；（2）m条生产线，则每条生产线的最大产能为(60020m万个/季度，根据2600mm4条生产线．【解答】解：（1）设前三季度生产量的平均增长率为x，依题意得：200(1x)2288，0.220%x22.2（不符合题意，舍去）．20．（2）设应该再增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为(60020m)万个/季度，依题意得：(m1)(60020m)2600，m229m10004m225，又在增加产能同时又要节省投入成本，m4．答：应该再增加4条生产线．【2023-2024学年山东省济南市济阳区九年级（上）2310分】20229（墙的最大可用长度15米30，已知矩形的边CDAD和BCABxm．当围成的矩形养殖园面积为100m2BC的长；2，该学校打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道篱笆100m2AB的长；若不能，请说明理由．【分析】（1）设AB的长为xm，根据篱笆的总长及AB的长，可得出BC的长，利用矩形的面积公式，可列出关于x的一元二次方程，解之即可求出结论；（2）假设养殖园的面积能达到100m2，设AB的长为ym，则BC的长为30ym，利用4y的一元二次方程，由根的判别式7000，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即养殖园的面积不能达到100m2．【解答】解：（1）设AB的长为xm，则矩形的宽BC1(30x)m，2由题意得：x1(30x)100，2解得x110．x220，墙的最大可用长度为15米，0x15，x10，即BC的长为10m；（2）养殖园的面积不能达到100m2，理由如下：假设养殖园的面积能达到100m2，设AB的长为ym，则BC的长为30ym，4根据题意得：y30y100，4整理得：y230y4000，△(30)2414000，原方程没有实数根，假设不成立，即养殖园的面积不能达到100m2．．【2022-2023学年山东省济南市长清区九年级（上）2310分】4052元时，可售出180个．现在采取提高商品定价减少销售量的办法增加利润，定价每增加1元，销售量净减少10个；2000元，则定价应增加多少元？若商店要获得最大利润，则定价应增加多少元？最大利润是多少？【分析】（1）利用销售利润2000＝售价﹣进价，进而求出即可；（2）利用销售利润＝售价﹣进价，根据题中条件可以列出利润与x的关系式，求出即可．【解答】（1）解：设定价应增加x元，（52﹣40+x）（180﹣10x）＝2000，解得x1＝8，...（3分）x2＝﹣2，∵采取提高商品定价减少销售量的办法增加利润，∴x2＝﹣2不合题意舍去，∴x＝8，答：定价应增加8元；（2）设定价增加x元时获利y元，y＝（52﹣40+x）（180﹣10x）＝﹣10x2+60x+2160，当x＝3时，y有最大值，为2250元，答：若商店要获得最大利润，则定价应增加3元，最大利润是2250元．【题型1：概率求值】

第二章概率与统计【2023-2024学年山东省济南市高新区九年级（上）34分】某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如统计图由此可估计这种树苗移植成活的概率约为( )A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80【分析】由图可知，成活概率在0.9上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值为0.9．【解答】0.90.90．B．【2023-2024学年山东省济南市济阳区九年级（上）218分】小颖设计了一个“配紫色”ABA转盘被分成了面积12B．转动B转盘一次指针指向红色的概率是 1 ；3请利用画树状图或列表的方法求游戏者获胜的概率是多少？【分析】（1）根据几何概率的意义求解即可；（2）用列表法同时转动两个转盘，指针指向区域所有可能出现的结果情况，进而求出相应的概率．【解答】解：（1）B转盘被分成了面积相等的三个扇形，且红色区域占一个扇形，1红色区域占整体的，3转动A转盘一次，指针指向红色的概率是1；3故答案为：1；3（2）B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120，A盘红色扇形区域所占的圆心角是360120240，在A盘中，S红色扇形2S蓝色扇形，用列表法表示同时转动两个转盘，指针指向区域所有可能出现的结果情况如下：红红蓝红（红，红）（红，红）（红，蓝）蓝（蓝，红）（蓝，红）（蓝，蓝）蓝（蓝，红）（蓝，红）（蓝，蓝）共有9种等可能出现的结果，其中“能配成紫色”的有5种，“能配成紫色”的概率为5，95答：游戏者获胜的概率是．9【2023-2024学年山东省济南市历城区九年级（上）124分】在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中黄球的个数可能是 15 个．【分析】根据摸出红球的频率稳定在0.25左右可得摸出黄球的概率约为10.250.75，再利用概率公式计算．【解答】解：设袋子中黄球的个数为x个，x10.25，20解得x15，即袋子中黄球的个数可能是15个．故答案为：15．【2023-2024学年山东省济南市平阴县九年级（上）84分】41批向全国中小学生推荐优秀影片()12

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19【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中七、八年级选择的影片相同的结果有3种，再由概率公式求解即可．【解答】AB、C，画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中七、八年级选择的影片相同的结果有3种，这两个年级选择的影片相同的概率为31，9 3故选：B．【题型2：数据分析综合】【2023-2024学年山东省济南市历城区九年级（上）208分】m名学生的竞答成绩，对成绩（百分制）A（90≤x≤100），B（80≤x＜90），C（70≤x＜80），D（60≤x＜70），四个等级，并制作出不完整的统计图，如图所示．已知：B等级数据（单位：分）:80、80、81、82、85、86、86、87、88、89．根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：m，n；补全条形统计图；抽取的m名学生中，成绩的中位数是 分，在扇形统计图中，C等级扇形圆心角的度数是 ；2100B等级及以上的学生人数．【分析】（1）用D组的人数和所占的百分比求出m，用B组的人数除以m求出n；ABD组的人数求出C组的人数，补全统计图即可；m的值和各组的人数求出中位数，用360乘以C等级所占的百分比即可；用样本估计总体即可．【解答】解：（1）学校随机抽取的学生数m510%50，n%105020%，n20．故答案为：50，20；（2）C502010515（人，补全条形统计图如图：（3）5025268586，50858685.5，236015108，50即在扇形统计图中，C等级扇形圆心角的度数是108．故答案为：85.5，108；（3）210020)1260（人，50答：成绩能达到B等级及以上的学生人数约为1260名．【2023-2024学年山东省济南市平阴县九年级（上）218分】某校举办“”1（类别劳动时间xA0≤x＜1B1≤x＜2C2≤x＜3D3≤x＜4E4≤x九年级1班的学生共有50 人，补全条形统计图；E23名男生，现从中抽取两名学生做劳动交流，请用列表或画树状图的方法，求所抽的两名学生恰好是一男一女的概率．【分析】（1）C150B的人14D8人，再补全条形统计图；（2）列树状图用概率公式可得答案．【解答】解：（1）1530%50（人)，九年级1班的学生共有50人；B的人数为5028%14（人)，D的人数为508141558（人，补全条形统计图如下：故答案为：50；（2）列树状图如下：由图可知，一共有20中等可能的情况，其中恰为一男一女的情况有12种，所抽的两名学生恰好是一男一女的概率是P123．20 5【2023-2024学年山东省济南市章丘区九年级（上）2310分】第31届世界大学生运动会将于2023年7月28日至8月8日在成都举行，某校开展了“爱成”1500（每人限选一项参加问卷调查的同学共60名，补全条形统计图；1500名同学中喜爱篮球运动的人数；学校准备组建一支校篮球队，某班甲，乙，丙，丁四名同学平时都很喜欢篮球运动，【分析】（1）用喜爱足球的人数除以其所占的百分比可得参加问卷调查的同学的人数；用参加问卷调查的同学的人数分别减去喜爱篮球、足球、射击的人数，求出喜爱柔道的人数，补全条形统计图即可．1500乘以参加问卷调查的同学中喜爱篮球运动的人数的百分比，即可得出答案．画树状图得出所有等可能的结果数和恰好选中甲、乙两名同学的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）参加问卷调查的同学的人数为1220%60（名)．故答案为：60．喜爱柔道的人数为6018121416（名．补全条形统计图如图所示．（2）150018450（人)．60该校1500名同学中喜爱篮球活动的人数大约450人．（3）画树状图如下：由图可知，共有12种等可能结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种，恰好选中甲、乙两名同学的概率为21．12 6【2023-2024学年山东省济南市天桥区九年级（上）208分】A支CD其他），某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查，根据查结果，绘制成如图统计图．根据统计图表中的信息，解答下列问题：a20人 ，b，在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为 度；2名男性，其余都是女性，现从该种支付方式中随机选2名居民参加线上支付方式培训，求恰好都是女性的概率．【分析】（1）根据统计图中的信息列式计算即可；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到1个男生和1个女生的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）a714%40%20（人b714572018（人，在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为360故答案为：20人，18人，36；（2）设男生为A，女生为B，画树状图得：

5714%

36，共有20种等可能的结果，恰好抽到都是女性的有6种情况，恰好都是女性的概率63．20 10【2022-2023学年山东省济南市章丘区九年级（上）2310分】（请根据以上信息，解答下列问题这次被调查的学生共有多少名？请将条形统计图补充完整；3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．【分析】（1）根据动画类人数及其百分比求得总人数；总人数减去其他类型人数可得体育类人数，据此补全图形即可；用样本估计总体的思想解决问题；根据题意先画出列表，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）这次被调查的学生人数为15÷30%＝50（名）；（2）喜爱“体育”的人数为50﹣（4+15+18+3）＝10（名），补全图形如下：估计全校学生中喜欢体育节目的约有3000×＝600（名）；列表如下：甲乙丙丁甲﹣﹣﹣（乙，甲）（丙，甲）（丁，甲）乙（甲，乙）﹣﹣﹣（丙，乙）（丁，乙）丙（甲，丙）（乙，丙）﹣﹣﹣（丁，丙）丁（甲，丁）（乙，丁）（丙，丁）﹣﹣﹣所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果，所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为 ＝ ．1

第三章图形的相似【2021-2022（上24如图B，CAB＝6AC的长为（）A．12 B．18 C．24 D．30【分析】根据已知图形构造相似三角形，进而得出△ABD∽△ACE，即可求出AC的长．【解答】解：如图所示：过点A作平行线的垂线，交点分别为D，E，∵BD∥CE，，，解得：AC＝24，故选：C．【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．【2021-2022学年山东省济南市市中区九年级（上）154分】如图直线mn与abc分别相交于点ABC和点DB若AB＝3，BC＝5，DE＝4，则EF的长为 ．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．【解答】解：∵a∥b∥c，AB＝3，BC＝5，DE＝4，，即，得，EF＝，故答案为：．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．【题型2：相似模型】【2021-2022学年山东省济南市高新区九年级（上）74分】如图所示，△ADE∽△ABC，若AD＝1，AB＝2，则△ADE与△ABC的相似比（ ）A．1：2 B．1：3 C．2：1 D．3：2【分析】根据相似三角形对应边的比等于相似比求解．【解答】解：∵△ADE∽△ABC，∴△ADE与△ABC的相似比为AD：AB＝1：2．故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．【2021-2022学年山东省济南市高新区九年级（上）104分】如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上的点，AF＝2FD，直线BF交AC于点E，交CD的延长线于点G，则的值为（ ）B．C．D．【分析】由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，证明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．【解答】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC＝3k，＝＝，＝＝故选：C．【点评】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．【2021-2022学年山东省济南市高新区九年级（上）144分】如图，D为△ABC的边AC上的一点，若要使△ABD与△ACB相似，可添加一个条件：∠ABD＝∠C（答案不唯一） ．【分析】两组对应角相等，两三角形相似．在本题中，两三角形共用一个角，因此再添一组对应角即可．【解答】解：要使△ABC与△ABD相似，还需具备的一个条件是∠ABD＝∠C或∠ADB＝∠ABC等．故答案为：∠ABD＝∠C（答案不唯一）．【点评】此题考查了相似三角形的判定．注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用．【2021-2022学年山东省济南市槐荫区九年级（上）94分】如图，已知△ABC∽△ACP，∠A＝70°，∠APC＝65°，则∠B的度数为（ ）A．45° B．50° C．55° D．60°【分析】根据相似三角形对应角相等可得∠ACB＝∠APC＝65°，再根据三角形内角和定理即可求解．【解答】解：∵△ABC∽△ACP，∴∠ACB＝∠APC＝65°，∵∠A＝70°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣65°＝45°．故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形对应角相等是解题的关键．也考查了三角形内角和定理．【2021-2022学年山东省济南市槐荫区九年级（上）174分】如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为4 ．【分析】通过证明△ADC∽△ACB，可得AC2＝AB×AD＝16，即可求AC的长．【解答】解：∵AD＝2，BD＝6，∴AB＝AD+DB＝8，∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，∴△ADC∽△ACB，，∴AC2＝AB×AD＝16∴AC＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明△ADC∽△ACB是本题的关键．【2022-2023学年山东省济南市高新区九年级（上）238分】BC＝120mmPQMNBCAB、AC上．当点P恰好为AB中点时，PQ＝60mm ．PQ＝40mmPN的长度．PN：PQ＝1：27．【分析】（1）根据三角形中位线定理即可得到结论；BC∥PQ，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可．xmm2xmm，根据相似三角形的性质求解即可．【解答】解：（1）∵四边形PNQM为矩形，∴MN∥PQ，即PQ∥BC，∵点P恰好为AB中点时，∴AP＝BP，∴AQ＝CQ，∴PQ＝BC＝120＝60（mm），故答案为：60mm；∵PNMQ为矩形，∴PQ∥BC，∵AD⊥BC，∴PQ⊥AD，∴△APQ∽△ABC，＝，＝，∴AH＝，∴PN＝HD＝（mm）；xmm2xmm，∵四边形PNMQ为矩形，∴PQ∥BC，∵AD⊥BC，∴PQ⊥AD，∵PN：PQ＝1：2，∴PQ为长，PN为宽，∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，，由题意知PQ＝2xmm，AD＝80mm，BC＝120mm，PN＝xmm，＝ ，解得x＝．答：矩形的长mm，宽为mm答：矩形的长mm，宽为【题型3：图形的位似】【2021-2022学年山东省济南市市中区九年级（上）144分】如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，O为位似中心若△ABC与△A′B′C′的面积之比为1：4，则CO：C′O的值为1：2 ．△BCO∽△B′C′O′，根据该相似三角形的对应边成比例得到答案．【解答】解：如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，O是位似中心，∵△ABC与△A′B′C′的面积之比为1：4，∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2．∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，∴△BCO∽△B′C′O′．∴CO：C′O＝BC：B′C′＝1：2．故答案为：1：2．【点评】本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的性质：两个图形的对应边平行，面积的比等于位似比的平方是解题的关键．【2022-2023学年山东省济南市高新区九年级（上）54分】如图，在平面直角坐标系中△AOB与△COD是位似图形，以原点O为位似中心，若AC＝2OA，B点坐标为（4，2），则点D的坐标为（ ）A．（8，4） B．（8，6） C．（12，4） D．（12，6）【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．【解答】解：∵AC＝2OA，∴OA：OC＝1：3．∴△AOB与△COD的位似比为．∵B点坐标为（4，2），∴D的坐标为（4×3，2×3）D（12，6）．故选：D．【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．【2021-2022学年山东省济南市槐荫区九年级（上）206分】如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，1），B（1，2），C（4，3）．O为位似中心，在第一象限内将△ABC2倍得到△A1B1C1，作出△A1B1C1A1，B1，C1的坐标；四边形AA1B1B的面积为7.5 ．【分析】（1）根据位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）把四边形面积看成矩形面积减去周围四个三角形面积即可．（1△1C1A（6224（6；（2）AA1B1B的面积＝3×5﹣×1×2﹣×1×3﹣×2×4﹣×1×2＝7.5．故答案为：7.5【点评】本题考查作图﹣位似变换，四边形的面积等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型．【题型4：相似的实际应用】【2021-2022学年山东省济南市市中区九年级（上）84分】如图小明用长为3m的竹竿CD做测量工具测量学校旗杆AB的高度移动竹竿使竹竿与旗杆的距离DB＝12m，则旗杆AB的高为（ ）A．7m B．8m C．6m D．9m【分析】先证明△OCD∽△OAB，则根据相似三角形的性质得到＝，然后利用AB即可．【解答】解：∵CD∥AB，∴△OCD∽△OAB，，即，∴AB＝9，AB故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．【2021-2022学年山东省济南市高新区九年级（上）2410分】某“综合与实践”E来测量学校旗EB＝20ED＝21.61.5米，求学校旗杆的高度是多少米．C，D之间的距离应是1.5米．根据以上测量结果，请你帮助“综合与实践”AB的高度．该“综