2023版人教版初中数学同步讲义练习8年级下册第十六章 二次根式 专题16.2 二次根式的乘除（教师版）

2023版人教版初中数学同步讲义练习八年级下册

专题16.2二次根式的乘除1.掌握二次根式的乘法（除法）法则，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简；2.理解最简二次根式的概念，会进行二次根式的乘除法混合运算，并能将二次根式化为最简形式。知识点01二次根式的乘除法【知识点】二次根式的乘法法则及逆用：；二次根式的除法法则及逆用：；二次根式的乘法法则的推广：，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。【知识拓展1】二次根式乘除的运算例1．（1）（2022·浙江杭州·八年级期中）（1）_____；（2）_____．【答案】

【分析】（1）利用二次根式的乘法进行计算即可；（2）利用二次根式的除法进行计算即可．【详解】解：（1）；（2）；故答案为：（1）；（2）；【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法则是关键．（2）（2022·河南周口·八年级期中）计算：(1)(2)．【答案】(1)(2)7【分析】（1）先根据乘法分配律和二次根式的乘法运算法则进行计算，再化为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可；（2）先根据二次根式的除法运算法则和逆用积的乘方运算进行计算，再利用平方差公式计算乘法，化简后合并同类项即可．（1）解：原式==；（2）解：原式===8-1=7．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则．【即学即练1】1．（2022·湖北武汉·八年级期中）下列各式计算正确的是（）A．8 B．3 C．（）2＝10 D．（）2＝﹣3【答案】B【分析】根据二次根式的乘除法法则，乘方法则依次计算判断．【详解】解：A、，故该选项错误；B、3，故该选项正确；C、（）2＝5，故该选项错误；D、（）2＝3，故该选项错误；故选：B．【点睛】此题考查了二次根式的计算，正确掌握二次根式乘除法计算法则，乘方法则是解题的关键．2．（2022·全国·八年级期末）计算:(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用二次根式的性质计算得出答案；（2）利用二次根式的乘除运算法则及分母有理化计算得出答案．（1）解：；（2）解：．【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，涉及到二次根式的性质、加减乘除相关运算及分母有理化，正确掌握相关运算法则是解题关键．【知识拓展2】二次根式的化简例2．（2022·河南信阳·八年级期中）化简=_____________________．【答案】【分析】利用二次根式的性质化简即可．【详解】解：根据题意得b≥0，所以=．故答案为：．【点睛】本题考查二次根式的化简，熟知二次根式的性质是解题的关键．【即学即练2】2．（2021·上海市刘行新华实验学校八年级阶段练习）化简二次根式：______（）．【答案】【分析】根据二次根式有意义的条件判断得出，然后利用二次根式的性质化简即可得出答案．【详解】解：，，，原式；故答案为：．【点睛】本题考查二次根式的性质以及化简，理解二次根式有意义的条件和二次根式的性质是解题关键．【知识拓展3】分母有理化例3．（2022·河北保定·八年级期中）化简的结果为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将分子分母同时乘以，将分母有理化，即可得到答案．【详解】原式==故选：A．【点睛】本题考查分母有理化，正确计算是解题的关键．【即学即练3】3．（2022·四川·成都实外八年级期中）材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：；．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：；．根据上述知识，请你完成下列问题：（1）运用分母有理化，化简：=；（2）运用分子有理化，比较大小：；（3）计算：的值．【答案】（1）2；（2）＜；（3）9【分析】（1）先分母有理化，然后合并即可；（2）先利用分母有理化比较它们的倒数的大小，从而得到它们的大小关系；（3）先分母有理化，然后合并即可．【详解】解：（1）原式＝﹣＝+2﹣＝2；（2）﹣＜﹣．理由：，∵>∴＜∴﹣＜﹣．（3）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣＝﹣1＝10﹣1＝9．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算和比较大小，解答关键是按照相关法则进行计算．【知识拓展4】二次根式的乘除的实际应用例4．（2022·江苏江苏·八年级期中）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约等于．小丽站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求的值为_____km．【答案】【分析】根据，，，由此即求解．【详解】解：根据题意得，，，，∴，故答案是：．【点睛】本题主要考查的是代数式的求值计算，理解代数式中相应字母的值是解题的关键．【即学即练4】4．（2022·四川省绵阳南山中学双语学校八年级阶段练习）某直角三角形的面积为，其中一条直角边长为，则其中另一直角边长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角形的面积公式列式计算即可．【详解】解：由题意得，其中另一直角边长为：，故选：B．【点睛】此题考查二次根式的除法，掌握三角形的面积公式是解决问题的关键．【知识拓展5】二次根式中的探究规律问题例5．（2022·河南·安阳县八年级阶段练习）已知数列，…，则是它的（

）A．第23项 B．第24项 C．第19项 D．第25项【答案】D【分析】通过观察，得出第项：，再根据，得出方程，解出即可得出答案．【详解】解：∵数列，…，∴通过观察，可得：第项为：，∵，∴，解得：，∴是它的第项．故选：D【点睛】本题考查了数字规律问题、二次根式的乘法，解本题的关键在正确找出已知数列的规律．【即学即练5】5．（1）（2022·浙江衢州·七年级期中）如图，将，三个数按图中方式排列，若规定表示第排第列的数，为第3排第2列的数为，则与表示的两个数的积是_____．【答案】【分析】根据题意和图形中的数据，可以发现数字的变化规律，从而可以得到与表示的两个数，进而与表示的两个数的积，本题得以解决．【详解】解：由题意可得：每三个数一循环，，在数列中是第个，，表示的数正好是第轮的最后一个，即表示的数是，由题意可得：每三个数一循环，，在数列中是第个，，表示的数正好是第轮的第一个，即表示的数是1，故（与表示的两个数的积是：．故答案为．【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出相应的两个数的乘积．（2）（2022·北京昌平·八年级期中）观察下面的规律：．（1）______；（2）若则______．【答案】

【分析】（1）根据二次根式的乘法进行计算即可求解；（2）根据二次根式的除法进行计算即可求解．【详解】解：（1），，故答案为：，（2），，故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，掌握二次根式的乘除运算是解题的关键．知识点02最简二次根式【知识点】我们把满足①被开方数不含分母且分母中不含根式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．【知识拓展1】最简二次根式的概念例1．（2022·湖北襄阳·八年级期中）下列二次根式是最简二次根式的是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据二次根式的性质进行化简，再根据最简二次根式的定义逐项判断即可．【详解】解∶A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D、是最简二次根式，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的性质及最简二次根式的定义，满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的每个因数都是整数，因式都是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．【即学即练1】1．（2022·河北保定·八年级期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意.B、是最简二次根式，符合题意.C、，不是最简二次根式，不符合题意.D、不是最简二次根式，不符合题意.故选：B.【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，注意：满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．【知识拓展2】化简最简二次根式例2．（2022·山东滨州·八年级期末）与化为最简二次根式后结果相同的是（

）A． B． C．边长为3的等边三角形的高D．【答案】C【分析】利用求算术平方根化简二次根式即可，利用勾股定理求三角形的高并化简．【详解】，A.，B.，C.，D.，∴只有C选项符合题意．故选：C．【点睛】考查了二次根式的化简，求等边三角形一边上的高，关键要掌握二次根式的性质和利用勾股定理求三角形的高．【即学即练2】2．（2022·四川广安·八年级期中）化简：_______．【答案】##【分析】现将带分数化为假分数，在进行分母有理化即可得出结果．【详解】解：原式故答案为：．【点睛】本题考查二次根式的化简，熟练掌握分母有理化的法则是解题的关键．【知识拓展3】已知最简二次根式求参数例3．（2022·河南·信阳八年级期末）若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为__________．【答案】2【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【详解】解：当时，，不是最简二次根式，当时，，是最简二次根式，∴二次根式是最简二次根式，最小的正整数a为2，故答案为：2．【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．【即学即练3】3．（2022·辽宁·八年级期中）已知：最简二次根式与的被开方数相同，则_______．【答案】12【分析】由题意列出方程组求解即可得到答案.【详解】由题意得，解得，∴7+5=12，故答案为：12.【点睛】此题考查最简二次根式的定义，解二元一次方程组，正确理解题意列出方程组是解题的关键.【知识拓展4】二次根式的符号化简例4．（2022·山东菏泽·八年级期中）把中根号外面的因式移到根号内的结果是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二次根式的性质直接化简得出即可．【详解】解：由题意可知a<0，∴．故选：A．【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，正确确定二次根式的符号是解题关键．【即学即练4】4．（2022·黑龙江·八年级期末）把中根号前的（m－1）移到根号内得（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先判断出m-1的符号，然后解答即可．【详解】∵被开方数，分母.∴，∴.∴原式．故选D．【点睛】本题考查二次根式的性质与化简：|a|．考查二次根式的成立的条件以及二次根式的乘法．5．（2022·山东泰安·八年级期中）已知，化简二次根式的正确结果________．【答案】【分析】根据二次根式有意义的条件求出-≥0，求出x、y的范围，再根据二根式的性质进行化简即可．【详解】解：要使有意义，必须≥0，解得：，∵，即，∴故答案是：．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简和二次根式有意义的条件，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．题组A基础过关练1．（2022·四川蒲江县八年级期中）设，则可以表示为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次根式的乘法计算法则求解即可．【详解】解：∵，∴，故选D．【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法计算法则是解题的关键．2．（2022·广东·丰顺县八年级阶段练习）已知的积是一个整数，则正整数的最小值是（）A．7 B．2 C．1 D．5【答案】A【分析】根据二次根式的乘法法则计算得到，再根据条件确定正整数a的最小值即可．【详解】解：∵的积是一个整数，且，∴正整数的最小值是7．故选：A【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的化简等知识，解题的关键是理解题意，灵活应用二次根式的乘法法则化简．3．（2022·河南驻马店·八年级期中）的倒数是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用倒数的概念计算二次根式除法即可．【详解】解：的倒数是：．故选：A．【点睛】本题主要考查二次根式的除法，能够熟练运用公式计算是解题关键．4．（2022·云南楚雄·八年级期末）下列式子中，是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．【详解】解：A、是最简二次根式，故此选项符合题意；B、，故此选项不符合题意；C、，故此选项不符合题意；D、，故此选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．5．（2022·河南·鹤壁市外国语中学九年级期中）将化为最简二次根式，其结果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次根式的化简方法即可得．【详解】解：原式，故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握化简方法是解题关键．6．（2022·河北廊坊·八年级阶段练习）若，则化简（

）A．m B．-m C．n D．-n【答案】B【分析】先由已知条件得到m、n的符号，再根据二次根式的乘除法则化简计算即可．【详解】解：由已知条件可得：m<0，n<0，∴原式====|m|=-m，故选：B．【点睛】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的乘除法是解题关键．7．（2022·山东烟台·八年级期中）如果，，那么下列各式：①；②；③；④．其中正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】先根据，得到a＜0，b＜0，然后利用二次根式的性质和二次根式的乘除运算法则逐个作出判断即可．【详解】解：∵ab＞0，a＋b＜0，∴a＜0，b＜0．∴，无意义，①错误；，②正确；，③正确；，④错误；正确的有2个，故选：B．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．8．（2021·山东泰安·八年级期中）下列各式中，是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．【详解】解：A、，故A不符合题意；B、，故B不符合题意；C、是最简二次根式，故C符合题意；D、，故D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．9．（2022·山东青岛·八年级期中）下列运算中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次根式的乘除法法则逐一计算即可得答案．【详解】解：A、，故该选项计算错误，不符合题意；B、，故该选项计算错误，不符合题意；C、，故该选项计算正确，符合题意；D、，故该选项计算错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．10．（2022·湖北恩施·八年级期中）计算：______．【答案】-4【分析】根据二次根式的乘法计算即可．【详解】故答案为：-4【点睛】本题考查二次根式的乘法．掌握其运算法则是解题关键．11．（2022·辽宁抚顺·八年级期末）计算：(1)(2)【答案】(1)2﹣2(2)【分析】（1）先进行二次根式的乘法与除法运算，再化简运算，再进行加减运算即可；（2）先进行二次根式的乘法，再化简运算，再进行加减运算即可．（1）（2）===【点睛】本题考查二次根式的混合运算，对相应的运算法则熟练掌握是关键．题组B能力提升练1．（2022·广东佛山·八年级期中）在如图的方格中，若要使横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则空格中代表的实数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据第一行和第三行列式进行计算即可得．【详解】解：由题意得：，故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的乘法与除法的应用，理解题意，正确列出运算式子是解题关键．2．（2021·山东泰安·八年级期中）已知xy＞0，化简二次根式的正确结果（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二沉池根式有意义的条件求出≥0，求出x、y的范围，再根据二根式的性质进行化简即可．【详解】解：由二次根式有意义的条件可得，∵xy＞0，∴x＜0，y＜0，∴．故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简和二次根式有意义的条件，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．3．（2022·全国·八年级课时练习）若二次根式是最简二次根式，则最小的整数______.【答案】－1.【分析】先确定a的范围，再根据最简二次根式的概念即可得出答案.【详解】解：∵，∴.当a取最小整数－1时，，是最简二次根式，所以最小的整数－1.故答案为－1.【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和最简二次根式的定义，熟知概念是解题的关键.4．（2022·辽宁·沈阳市八年级阶段练习）已知，，聪明的同学你能不用计算器得出：______；【答案】12.60【分析】根据二次根式的乘法法则解决此题．【详解】解：．故答案为：12.60．【点睛】本题主要考查二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解决本题的关键．5.（2022·山东泰安·八年级期中）化简：________．【答案】【分析】根据二次根式的性质化简即可求解．【详解】】解：∵x＞0，y＞0，∴故答案为：．【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质．6．（2022·重庆市九年级期中）已知，则有（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先将m进行化简得到，再确定的取值范围，即可求出答案．【详解】∵∴∴故选：D【点睛】本题考查了二次根式的乘法以及二次根式取值估算，解题关键是掌握二次根式乘法运算法则以及利用平方数确定二次根式范围取值范围．7．（2022·辽宁沈阳·八年级期中）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)1(3)(4)1【分析】（1）先用乘法分配律，再利用二次根式的乘法法则，最后合并同类二次根式即可；（2）利用平方差公式计算即可；（3）先算二次根式的乘除法，再算加减法即可；（4）先算乘方和绝对值，再化简各个二次根式最后算加减法即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算以及二次根式的性质，掌握二次根式混合运算法则是关键．8．（2022·山东烟台·八年级期中）已知与满足，求代数式的值．【答案】【分析】根据二次根式有意义的条件求出，进一步求出，再将其代入代数式进行求解即可．【详解】解：由题意得：，解得：，，，∴．【点睛】本题考查了代数式求值、二次根式有意义的条件，分母有理化，解题的关键是根据二次根式有意义的条件求出．9．（2022·山东烟台·八年级期中）计算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先计算二次根式的除法，再将每个二次根式化为最简二次根式，最后合并同类二次根式；（2）利用二次根式的性质化简，再计算乘除法，最后合并同类二次根式；（3）先化为最简二次根式，分母有理化，再计算二次根式的加减法．（1）解：原式===；（2）原式===；（3）原式==．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，涉及分母有理化、最简二次根式等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．10．（2022·全国·八年级课时练习）先阅读，后解答：，；像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．(1)的有理化因式是______；的有理化因式是______．(2)（4）分将下列式子进行分母有理化：①______；

②______．(3)类比（2）中②的计算结果，计算：．【答案】(1)，；(2)，；(3)【分析】（1）根据有理化因式的定义，仿照阅读中例子，得到、的有理化因式；（2）分子和分母都乘以各自分母的有理化因式，化去分母中的根号即可；（3）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可．（1）解：（1）的有理化因式是，的有理化因式是；故答案为：，；（2）①，②；故答案为：，；（3．【点睛】此题考查了分母有理化，掌握分母有理化的概念及准确找出二次根式的有理化因式是解答问题的关键．题组C培优拔尖练1．（2022·山东临沂·八年级期末）化简二次根式的正确结果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据二次根式有意义的条件及二次根式的性质与化简进行计算即可得．【详解】解：由题意得，，，故选A．【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，解题的关键是掌握二次根式的性质和化简．2．（2022·山东威海·八年级期中）观察下列式子：①；②；③；④；…．请你按照规律写出第n（）个式子是(

)A．B．C．D．【答案】C【分析】观察等式，找出规律，写出第n个式子即可．【详解】解：由规律可得，第n个式子为：．故选项A、B、D错误，选项C正确故选：C．【点睛】本题主要考查了二次根式，解题的关键是观察等式，找出规律．3．（2022·山东济宁·八年级期中）观察下列等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，按照上述规律，计算：（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根据题意，可得，，，⋯⋯，再相加即可得解．【详解】解：第个等式：，

第个等式：，第个等式：，

第个等式：，……第n个等式：，∴=，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了数字的变化规律以及分母有理化，首先要理解题意，找到规律，并进行推导得到答案．4．（2022·浙江杭州·八年级期中）设，求不超过的最大整数______．【答案】【分析】首先将化简，可得，然后再代入原式求出，即可得出答案．【详解】解：，，不超过的最大整数．故答案为：．【点睛】本题主要考查完全平方公式、二次根式的化简，能正确化简是解题的关键．5．（2022·河南·九年级阶段练习）已知的面积为，底边为，则底边上的高为

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三角形的面积公式列出运算式子，再根据二次根式的除法法则即可得．【详解】解：的面积为，底边为，底边上的高为，故选：B．【点睛】本题考查了二次根式除法的应用，熟练掌握二次根式除法的运算法则是解题关键．6．（2022·河南·方城