2023届高考数学一轮复习作业立体几何新人教B版

立体几何

一、选择题

1.（2019•全国卷H）设。，万为两个平面，则。〃尸的充要条件是（）

A.。内有无数条直线与£平行

B.。内有两条相交直线与£平行

C.a,£平行于同一条直线

D.a,6垂直于同一平面

B［由面面平行的判定定理知：。内两条相交直线都与£平行是。〃方的充分条件：由

面面平行性质定理知，若。〃£,则。内任意一条直线都与£平行，所以。内两条相交直线

都与尸平行是。的必要条件，因此B中条件是a〃£的充要条件，故选B.］

2.（2021•全国新高考I卷）三知圆锥的底面半径为、尼，其侧面展开图为一个半圆，则

该圆锥的母线长为（）

A.2B.2^2C.4D.4-72

B［设圆锥的母线长为因为该圆锥的底面半径为乖，所以2nxm=兀/,

解得/=2蛆，故选B.］

3.（2021•全国甲卷）已知4,B,。是半径为1的球0的球面上的三个点，且4aL6C,

AC=BC=1,则三棱锥%的体积为（）

也必理立

八.I?n-12J44

A［如图所示，因为他L8C,所以48为截面圆。的直径，且四----

=木.连接的，则纵，平面/阳oa=yj1-（野=41-（乎/,、0

=乎,所以三棱锥的体积亚X阳=：x4x1X1柒-一~三

亚］

12,J

4.（2021•浙江高考）如图，已知正方体力8aM由G4,M川分别为4248的中点，

则（）

D'^--------,Ci

A.直线4〃与直线〃8垂直，直线MV〃平面力颇

B.直线4〃与直线平行，直线柳VJ_平面的台

C.直线4〃与直线〃8相交，直线〃平面力发力

D.直线4。与直线48异面，直线」邠J_平面及股笈

A[法一：连接力〃，则易得点必在H〃上，且力〃_L4〃.因为协

_L平面44心〃，所以ABLM,所以4〃_L平面AB队,所以4〃与B队

异面且垂直.在△力能中，由中位线定理可得.拗〃力其所以」相〃平面

AI3CD.易知直线力。与平面阴〃〃成45°角，所以」那与平面能〃〃不

垂直.所以选项A正确.故选A.

法二：以点〃为坐标原点，DA,DC,9所在直线分别为筋必z轴建立空间直角坐标

系(图略).设四=2,则4(2,0,2),2)(0,0,0),ZA(0,0,2),8(2,2,0),所以:(1,0,1),耿1,1,1),

所以淳=(一2,0,-2),而=(2,2,—2),就三(0,1,0),所以蕊•日=-4+0+4=0,

所以又由图易知直线4〃与〃8是异面直线，所以4。与48异面且垂直.因为平

面力发力的一个法向量为〃=(0,0,1),所以加・〃=0,所以物V〃平面48s设直线劭V与平

面能〃〃所成的角为。,因为平面B04A的一个法向量为a=(―1,1,0),所以sin^=|cos

―I就「•o|1A/Q

〈厥a)|=—~==7=4，所以直线松，与平面能〃〃不垂直.故选A.]

I诵・|a|小，

5.(2020•全国卷I)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个

正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其

侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()

A.用B.与1C.早D.早

C[设正四棱锥的高为方，底面正方形的边长为2a,斜高为力，依题意得#=：X2aX办

1+小,

即li=an®,易知力2+才=■②，由①②得加=上9^君，所以萨=—=三声.故选C.]

6.(2020•全国卷HD如图为某儿何体的三视图，则该几何体的表面积是()

A.6+472

C.6+273D.4+2镉

C［由三视图可知该几何体为三棱锥，记为三棱锥A4%；将其放入正方体中，如图,

易知为=4Q力仁2,PB=PC=BC=^,故其表面积为心.+8加+8函+加儆=；X2X2

乙

+/X2X2+Jx2X2+：X2班X2$X乎=6+2小，故选C.］

乙乙乙乙

7.如图，在四面体抽力中"DLBD,截面血眦是矩形，则下列结论不一定正确的是（）

A.平面即C_L平面4〃C

B.然〃平面

C.平面力加，平面1如

I）./〃_!_平面BDC

D［由。〃楸；柳匕平面力比；欧平面力凿得沟〃平面4抬

又性平面力比；平面力比n平面力加=然，

：,PQ//AC

同理QM〃即，因为&LLQ”,

:"CLBD,又BDLAD,ACC\AD=A,

，做_L平面ADC,

，平面BDC上平面ADC,平面仍〃J_平面ADC,

・・・A和C选项均正确.

由PQ〃AC,得〃*〃平面收梆，

・・・B选项正确.

,/不能得到或ADLBC,

,不能得到力。_1_平面BDC,故选项D不一定正确.

故选D.]

8.在棱长为1的正方体力呼■力心G。中，E,F,G,〃分别为48,G〃,AB,勿的中

点，点户从G出发，沿折线6阅V匀速运动，同时点。从〃出发，沿折线例G匀速运动，且

点。与点0运动的速度相等，记以区F,P,。四点为顶点的三棱锥的体积为匕点夕运动

的路程为当0W/W2时，表示，与*关系的图象为（）

4

C[因为点尸与点0运动的速度相等，设底面力顺的中心为0,连接第0F,则平面

筋把几何体小印分割为体积相等的两部分.

⑴当时，点P在比上，Q在HD上,如图①所示，1X1=-,易知点

11X

户到平面庞F的距离为必故「=2/好=2X[X/=f

图①图②

⑵当云舄时，点夕在比'上，。在力〃上，点。到平面呼的距离为/见阪=/1

1，…，c1111d1士

X1=5,^=2,为定值.

NoZZ0

3]]

⑶当尸后2时，点尸在仍.上，。在/G上，如图②所示，8华二炉IX1=5,尸到平

乙乙乙

II2—x

面庞尸的距离为2一筋故『=2以魁=2><鼻乂5乂（2—才）=不一.

x1

于OWf,

113

综上所述，v=<故选c.]

6*

2-x3-c

―,5<KW2,

lJ乙

二、填空题

9.（2021•全国甲卷）已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30元，则该圆锥的侧面

积为.

15

39n[设该圆锥的高为力，则由已知条件可得冗X6?X力=3C/，解得力=予则圆

锥的母线长为后时=\/务36号，故该圆锥的侧面积为nX6X+39n.]

10.（2021•江苏南京师大附中高三期末）直三榜柱力跖48G中，若/BAC=90°,AB

=AC=y12t皿=2,则点力到平面48G的距离为.

挛[法一：・.・G4_L4以64_1_44,・・・G4_L平面力488,

XV6^iC平面G46,.••平面平面AABB.

又・・・48=平面G48n平面力归归，

，过力作AGLM,则力。的长为点A到平面MCx的距离，

A”，…“ABXAA12X/2^3

在Rt^/145中，AG—j-7—«—=.

4B邓o3

法二：由等体积法可知府-4刈=陟/1/1£,解得点力到平面48G的距离为平.]

11.正方体切■/!由G〃的棱长为1,线段笈〃上有两个动点£F,且

密平，则下列结论中正确的有.（填序号）

①AC1BE；

②三棱锥4颇的体积为定值；

③二面角4跖8的大小为定值；

④异面直线力反即所成角为定值.

①©③[易知力C_L平面板，所以NCL即三棱锥并比F的高就是点力到平面跖〃〃

的距离且为一定值，△戚为一定值，故三棱锥力戚的体积为定值；二面角4环8的平

面角与二面角4笈如8的平面角相等，故为一定值.]

12.三棱锥力比力的顶点都在同一个球面上，满足切过球心0,且放=24,则三棱

锥小8切体积的最大值为；三棱锥4筋体积最大时，平面四C截球所得的截面圆

的面积为.

平斗[依题意可知，3是球的直径，所以当0C1BD,0A1BD,即0C=0A=y[2^,

JJ

三棱锥4式）体积取得最大值为

6M=1X|X2V2X72X^2=^2.此时尻=/仁力8=2,即三角形48。是等

OJ乙O

22

边三角形，设其外接圆半径为人由正弦定理得——f=2?=r=F，所以等边三角形力优

sin—

的外接圆的面积，也即平面力比'截球所得的截面圆的面积为nF=JIx（泉）=券.J

三、解答题

13.（2020•江苏高考）在三棱柱力阮45G中，ABA.AC,8cL平面/8GE,尸分别是

ACt4c的中点.

⑴求证：仔〃平面仍G；

⑵求证：平面仍C_L平面力心.

［证明］(1)因为£尸分别是dC,AC的中点，

所以EF〃A&,

因为的平面力区G,平面mG,

所以哥'〃平面ABC.

⑵因为6C_L平面ABC,ABc平面ABC,

所以8CJ_49,

又因为［①ACCAC=C,平面第乙名归平面阳4

所以仍_L平面仍G

因为ABC：平面ABBi,

所以平面仍UL平面ABBi.

14.(2021•重庆巴蜀中学高二期中)如图1所示，在等腰梯形力物中，BELAD,BC=l,

止5,BE=y［3,把△力跳'沿跖折起，使得力仁2m,得到四棱锥4比物.如图2所示.

(1)求证：4E上平面BQ)；

(2)求平面力比'与平面力切所成锐二面角的余弦值.

［解］(1)证明：在等腰梯形中，BC=1,AD=5tBELAD,可知力£=2,DE=%

由施工况可得g2.又AC=2®则/=密+公，则力£L£C,

又BE1AE,BECEC=E,可得/反1平面腼.

(2)因为力反L平面以4又BELED,则以点后为原点，以做ED,用所在直线分别为必

y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

4(0,0,2),B/,0,0),(76/3,1,0),和即,0,-2),四(0,1,0),

设平面4%的法向量为n=(x,y,z),则卜2Z，=n=(2,0,^3),

注意到，平面力成的法向量小=(1,0,0),

设平面力比与平面4口所成锐二面角的平面角为G,

如。22^7

故cos0-cos5,n>fF——Z-•

V4+37

15.(2020•全国卷H)如图，已知三棱柱/把4劣G的底面是正三角形，侧面能GC是

矩形，MN分别为BC,%G的中点，2为用/上一点，过当G和P的平面交力4于2,交AC

于尸.

(1)证明：44〃』加；且平面的工平面即G色

⑵设。为△44G的中心，若力0〃平面陷G"，KAO=AB,求直线区/与平面44"V所

成角的正弦值.

［解］(1)证明：因为M川分别为优；合G的中点，

所以於r〃CG.

又由已知得力4〃制，故AAJ/MN.

因为△45。是正三角形，所以AG_L4M

又BxCIMN,

故台GJ■平面AAMN.

所以平面44MVJ_平面EBCF.

⑵由已知得力ML密

以"为坐标原点，质的方向为才轴正方向，I砺为单位长，建立如图所示的空间直角坐

标系J-xyz,则4Q2,4IU小.

连接,伊，则四边形加如为平行四边形，故网=乎，/(乎，0

由⑴知平面44%归_平面ABC.

作AQL4W,垂足为。，则ML平面力必

又〃=(0,—1,0)是平面44MM的法向量，故

所以直线8石与平面44捌,所成角的正弦值为鸣.

16.请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.

QAB1BC,②％与平面力四所成的角为白③/ABC=j

OO

如图，在四棱锥2力质中，底面力倒是菱形，处JL平面力比〃且为=4Q2,即的

中点为人.

(1)在线段46上是否存在一点G,使得力勿平面打右？若存在，指出G在46上的位置

并给以证明；若不存在，请说明理由；

(2)若,求二面角六力C〃的余弦值.

［解］(1)在线段48上存在中点£使得力尸〃平面RX.

证明如下：如图所示：

设尸。的中点为从连接力，HG,

YFHHCD,FH=^CD,AG"CD,AG=^CD,

:.FH〃AG,FH=AG,，四边形力面为平行四边形，除心"GH.

又面匕平面尸GG力尺平面0%,

二力尸〃平面PGC.

⑵选择①力比1_4G

•・・Rf_L平面ABCD,

：.PALBC,

由题意知力〃，川，彼此两两垂直，

以熊,AD,/P分别为尤必z轴，建立空间直角坐标系，

VPA=AB=2,

则力(0,0,0),M2,0,0),(7(2,2,0),Z?(0,2,0),/(0,1,1),尸(0,0,2),

・••港=(0,1,1),*=(-2,-1,1),

〃•AF=y+z=0,

设平面£4。的一个法向量为〃=(x,y,z),・'J

,〃•CF=-2x—y-\-z=Qt

取y=l,得〃=(一1,1,-1),

平面儿刀的一个法向量为v=(0,0,1),

设二面角片4C〃的平面角为

则36=.>|=坐'

・•・二面角产4G〃的余弦值为乎.

选择②尸。与平面力以力所成论角为《：

O

•・•丹_!_平面力809,取中点区连接力区取力〃的中点机连接寓CM,贝ijFM〃PA,

且用/=1,

・・・£月_平面ABCD,

FC与平面伸⑼所成角为NFCM"FCM=三,

6

在Rt△此V中，阳小,

又CM=AE,AE+B彦=A#,・'・BOLAE,

:・AE,AD,IP彼此两两垂直，

以四,AD,/P分别为必力z轴，建立空间直角坐标