第4章　第4讲　三角函数的图象与性质

第四章第四章三角函数、解三角形第四讲三角函数的图象与性质知识梳理·双基自测名师讲坛·素养提升考点突破·互动探究提能训练练案[26]知识梳理·双基自测知

识

梳

理知识点一周期函数的定义及周期的概念1．对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做____________.非零常数T叫做这个函数的________.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小__________.2．正弦函数、余弦函数都是周期函数，_______________________都是它们的周期，最小正周期是________.周期函数周期正周期2kπ(k∈Z，k≠0)2π知识点二正弦、余弦、正切函数的图象与性质{y|－1≤y≤1}{y|－1≤y≤1}R[(2k－1)π，2kπ][2kπ，(2k＋1)π]函数性质y＝sinxy＝cosxy＝tanx最值

x＝__________________时，ymax＝1；

x＝__________________时，ymin＝－1x＝_______________时，ymax＝1；x＝_______________时，ymin＝－1无最值奇偶性__________________2kπ(k∈Z)π＋2kπ(k∈Z)奇偶奇函数性质y＝sinxy＝cosxy＝tanx对称性对称中心_______________

_________________

_______________对称轴

______________________________无对称轴最小正周期______________________(kπ，0)，k∈Zx＝kπ，k∈Z2π2ππ归

纳

拓

展1．关于周期性(3)正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．2．关于奇偶性若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则：(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．3．关于单调性双

基

自

测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y＝sinx在第一象限内单调递增．(

)(2)正切函数y＝tanx在定义域内是增函数．(

)(3)余弦函数y＝cosx的对称轴是y轴．(

)(4)已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1．(

)(5)y＝|sinx|与y＝sin|x|都是周期为π的偶函数．(

)×××××(3)余弦函数y＝cosx的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条．(4)当k>0时，ymax＝k＋1；当k<0时，ymax＝－k＋1.(5)y＝sin|x|是偶函数，但不是周期函数．题组二走进教材C3．(必修1P207T3改编)下列关于函数y＝4sinx，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是(

)A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B5题组三走向高考5．(2022·北京卷)已知函数f(x)＝cos2

x－sin2x，则(

)CC考点突破·互动探究三角函数的定义域、值域——自主练透名师点拨：三角函数定义域、值域的求解策略1．求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：(1)形如y＝asinωx＋bcosωx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值).三角函数的单调性——师生共研1．求下列函数的单调区间：名师点拨：三角函数单调性问题的解题策略1．求三角函数单调区间的两种方法：(1)代换法：求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式进行化简．化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式．求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)图解法：若函数的图象能够容易画出，可利用图象直观迅速求解．如某些含绝对值的三角函数．注：正、余弦型单调区间长度为半周期．2．已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．C2．若f(x)＝cosx－sinx在[0，a]上是减函数，则实数a的最大值是(

)C三角函数的周期性、奇偶性、对称性——多维探究角度1周期性求下列函数的最小正周期：(3)画出y＝|tanx|的图象．如图所示．由图象易知T＝π.∴y＝|tanx|的最小正周期与y＝tanx的最小正周期相同.角度2奇偶性A2．(多选题)已知f(x)＝sin(x＋φ)＋cos(x＋φ)为奇函数，则φ的一个取值可以是(

)CD角度3对称性A3．求函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题．(1)∵y＝sinx的对称中心是(kπ，0)(k∈Z)，(3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A≠0)图象的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数图象的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．【变式训练】A．①②③

B．①③④C．②④

D．①③B③由函数图象知y＝|sinx|的最小正周期为π；④y＝cos|2x|＝cos2x，最小正周期为π.故选B．2．(角度2)(2022·威海三模)已知函数f(x)＝sinxcos(2x＋φ)(φ∈[0，π])为偶函数，则φ＝(

)CA．最小正周期为πB．最大值为1，最小值为－1C．函数图象关于直线x＝0对称C名师讲坛·素养提升三角函数的值域与最值A名师点拨：求三角函数值域或最值的方法1．y＝asinx＋b(或y＝acosx＋b)的值域为[－|a|＋b，|a|＋