第7章　第2讲　空间点、直线、平面之间的位置关系

第七章立体几何第二讲空间点、直线、平面之间的位置关系知识梳理·双基自测名师讲坛·素养提升考点突破·互动探究提能训练练案[41]知识梳理·双基自测知

识

梳

理知识点一平面的基本性质基本事实1.__________的三点确定一个平面．基本事实2.如果一条直线上的__________在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．基本事实3.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且__________________的公共直线．不共线两个点只有一条过该点推论1.经过一条直线和__________________，有且只有一个平面．推论2.经过两条________直线，有且只有一个平面．推论3.经过两条________直线，有且只有一个平面．注：1.基本事实1、基本事实2和三个推论是判断点、线共面的依据；2．基本事实3是判断两个平面相交及三点共线及三线共点的依据。这条直线外一点相交平行知识点二空间点、直线、平面之间的位置关系

直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a∥ba∥αα∥β特征共面，无公共点无公共点无公共点

直线与直线直线与平面平面与平面相交关系图形语言符号语言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l特征共面，有唯一公共点有唯一公共点有无数个共线公共点

直线与直线直线与平面平面与平面独有关系图形语言

符号语言a，b是异面直线a⊂α

知识点三异面直线所成角、基本事实4及等角定理1．异面直线(1)定义：异面直线——不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．两直线既不平行也不相交的直线是异面直线．(2)异面直线的画法画异面直线时，为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托．(3)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的______________叫做异面直线a与b所成的角．锐角或直角2．基本事实4.(平行公理)平行于同一条直线的两条直线________.3．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角______________.平行相等或互补归

纳

拓

展异面直线的判定定理过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．用符号可表示为：若l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l，则直线AB与l是异面直线(如图)．双

基

自

测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.()(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．()(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．()(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面．()√××√(5)两两相交的三条直线共面．()(6)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线．()××题组二走进教材2．(必修2P147例1)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为()A．30° B．45°C．60° D．90°C[解析]

连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C为等边三角形，∴∠D1B1C＝60°.故选C.3．(必修2P134例1)如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA上的点．共面(2)若E、F、G、H分别为棱AB、BC、CD、DA的中点，①当AC，BD满足条件______________时，四边形EFGH为菱形；②当AC，BD满足条件________________________时，四边形EFGH为正方形．AC＝BDAC＝BD且AC⊥BD题组三走向高考4．(2019·新课标Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A.BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线B[解析]

连接BD、BE，则BD过点N，∵点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，M是线段ED的中点，∴BM⊂平面BDE，EN⊂平面BDE，∵BM是△BDE中DE边上的中线，EN是△BDE中BD边上的中线，∴直线BM，EN是相交直线，∴BM≠EN，故选B.5．(2021·全国高考)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为()D[解析]

解法一：如图，连接BC1，PC1，因为AD1∥BC1，所以∠PBC1或其补角为直线PB与AD1所成的角，因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥PC1，又PC1⊥B1D1，BB1∩B1D1＝B1，所以PC1⊥平面PBB1，所以PC1⊥PB，考点突破·互动探究平面基本性质的应用——自主练透

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．(3)若DC1∩D1C＝P，AB1∩EF＝Q，DB1交平面ECD1F于R，则P，Q，R三点共线．[证明]

(1)如图，连接EF，CD1，A1B.因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EF∥A1B.又A1B∥CD1，所以EF∥CD1，所以E，C，D1，F四点共面．(2)因为EF∥CD1，EF<CD1，所以CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，所以P∈直线DA.所以CE，D1F，DA三线共点．(3)由DC1∩D1C＝P，AB1∩EF＝Q知平面ECD1F∩平面AB1C1D＝PQ，∵R∈DB1，DB1⊂平面AB1C1D，∴R∈平面AB1C1D，又R∈ECD1F，∴R∈PQ，即P，Q，R共线．名师点拨：1．证明空间点共线问题的方法(1)基本事实法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本事实3证明这些点都在这两个平面的交线上．(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．2．点、线共面的常用判定方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．3．证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．【变式训练】(多选题)如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点共面的是()ABC[解析]

在A图中分别连接PS，QR，易证PS∥QR，∴P，Q，R，S共面；在C图中分别连接PQ，RS，易证PQ∥RS，∴P，Q，R，S共面；如图所示，在B图中过P，Q，R，S可作一正六边形，故四点共面；D图中PS与QR为异面直线，∴四点不共面，故选ABC.空间两条直线的位置关系——师生共研1.(多选题)在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形是()BD[解析]

图A中，直线GH∥MN；图B中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，N∉HG，因此直线GH与MN异面；图C中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图D中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，G∉MN因此GH与MN异面，故选BD.2．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为__________(注：把你认为正确的结论序号都填上)．③④[解析]

因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以AM与CC1是异面直线，故①错；取DD1中点E，连接AE，则BN∥AE，但AE与AM相交，故②错；因为B1与BN都在平面BCC1B1内，M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故③正确；同理④正确，故填③④.名师点拨：1．异面直线的判定方法(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．(2)判定定理法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．2．判定平行直线的常用方法(1)三角形中位线的性质．(2)平行四边形的对边平行．(3)平行线分线段成比例定理．(4)公理：若a∥b，b∥c，则a∥c.【变式训练】(多选题)如图为正方体表面的一种展开图，则在原正方体中，下列说法正确的是()ACDA．AB与CD是异面直线B．GH与BD相交C．EF∥CDD．EF与GH是异面直线[解析]

画出该正方体的直观图如图所示，其中异面直线有AB与CD、GH与BD、EF与GH，显然EF∥CD，故选ACD.异面直线所成的角——师生共研D2.(2024·湖北部分学校联考、黑龙江大庆质检)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝AA1，D，E分别为AC，BC的中点，则异面直线C1D与B1E所成角的余弦值为()D3．若两条异面直线a、b所成角为60°，则过空间一点O与两异面直线a、b所成角都为60°的直线有______条．[解析]

如图，过O分别作a′∥a，b′∥b，则a′，b′所成角为60°，如图易知过O与a′、b′所成角都为60°的直线有3条，即与a，b所成角都为60°的直线有3条．3[引申]本例3中与异面直线a、b所成角都为75°的直线有______条．注：与异面直线所成角都为θ，则4名师点拨：求异面直线所成角的方法1．定义法定义法求异面直线所成角的步骤(1)找或作：在图中找或平移异面直线中的一条或两条构造异面直线所成的角．(2)证：说明所作的角是异面直线所成的角．(3)算：寻找或作出含有此角的三角形并解之．(4)取舍：因为异面直线所成角θ的取值范围是0°<θ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．2．向量法【变式训练】1.(2022·重庆育才中学诊断)如图所示，已知空间四边形ABCD，AC与BD所成角为60°，且AC＝BD＝2，E、F分别为BC、AD的中点，则EF＝()C∴∠EHF为AC，BD所成的角或其补角．∴∠EHF＝60°或120°.2．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，如图所示，在直角圆锥P－ABC中，AB为底面圆的直径，C为弧AB的中点，则异面直线PA与BC所成角的大小为()A.30° B．45°C．60° D．90°C解法二：设AB的中点为O.由题意可知OC、OB、OP两两垂直，如图建立空间直角坐标系，名师讲坛·素养提升空间几何体的截面问题1.若E、F、H分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、CC1、A1D1的中点，则过E、F、H三点的截面图形是____________.正六边形[解析]

取A1B1的中点M，连接EM、MC1、EF并延长交于Q，作直线HQ交C1D1于N，交B1A1的延长线于S，作直线SE交A1A于P，交B1B的延长线于R，连FR交BC于G，连EG、FN、HP得过E、F、H三点的截面EGFNHP，易证EGFNHP为正六边形．名师点拨：1．作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③