中考数学几何专项冲刺专题14几何变换之旋转巩固练习（基础）含答案及解析

几何变换之旋转巩固练习1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣4，﹣2）、B（﹣2，0）、C（0，﹣3），△A1B1C是△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到的图形．（1）写出A1，B1的坐标；（2）在所给的平面直角坐标系中画出△A1B1C；（3）若点A2与点A1关于原点对称，写出△A1A2B的面积．2．如图，将△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转180°，得到△DEC，过点A作AF∥BE，交DE的延长线于点F，试问：∠B与∠F相等吗？为什么？3．请在平面直角坐标系中，完成下面的问题（1）描出点A（﹣2，3）和它关于y轴的对称点B；（2）描出点C（2，1）和它关于原点的对称点D；（3）求线段AD的长．4．已知菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，点E、F分别在边AD、AB上，将△AEF沿EF折叠，使得点A的对应点A’恰好落在边CD上．（1）延长CB、A′F交于点H，求证：A'HAE（2）若A′点为CD的中点，求EF的长；（3）AA′交EF于点G，再将四边形纸片BCA′F折叠，使C点的对应点C′恰好落在A′F上，折痕MN分别交边CD、BC于点M、N，连接C′G，则C′G的最小值为5．如图，半圆O的直径AB＝10，将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O′，与AB交于点P，求AP的长．6．如图，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C在AD上．（1）指出旋转中心；（2）若∠B＝21°，∠ACB＝26°，求出旋转的度数；（3）若AB＝5，CD＝3，则AE的长是多少？为什么？7．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A、D、E在同一条直线上，且∠ACB＝20°，求∠CAE及∠B的度数．8．如图，P是等边三角形ABC内一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB．求：（1）PP′的长度；（2）∠APB的度数．9．如图，将边长为3的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形AB′C′D′．（1）求证：ED＝EB′；（2）求图中阴影部分的面积．10．如图，O是等边△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO绕点B逆时针旋转60°得到线段BO′．（1）求点O与O′的距离；（2）求∠AOB的度数．11．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，连接OP，求OP的最小值．12．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ．（1）求证：EA是∠QED的平分线；（2）已知BE＝1，DF＝3，求EF的长．几何变换之旋转巩固练习1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣4，﹣2）、B（﹣2，0）、C（0，﹣3），△A1B1C是△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到的图形．（1）写出A1，B1的坐标；（2）在所给的平面直角坐标系中画出△A1B1C；（3）若点A2与点A1关于原点对称，写出△A1A2B的面积．【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应A1、B1，从而得到它们的坐标；（2）由（1）可确定△A1B1C；（3）先写出点A2的坐标，然后用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△A1A2B的面积．【解答】解：（1）A1（1，1），B1（3，﹣1）；（2）如图，△A1B1C为所作；（3）∵点A2与点A1关于原点对称，∴A2（﹣1，﹣1），∴△A1A2B的面积＝2×3−12×1×1−【点评】本题考查了作图﹣平移变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．2．如图，将△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转180°，得到△DEC，过点A作AF∥BE，交DE的延长线于点F，试问：∠B与∠F相等吗？为什么？【分析】根据旋转的性质，可得△ABC≌△DEC，根据全等三角形的性质，可得∠B＝∠DEC，根据平行线的性质，可得∠F＝∠DEC，根据等量代换，可得答案．【解答】解：∠B与∠F相等，理由如下：∵将△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转180°，得到△DEC，∴∠B＝∠DEC，∵AF∥BE，∴∠F＝∠DEC，∴∠B＝∠F．【点评】本题主要考查了旋转的性质以及平行线的性质，属于基础题型．3．请在平面直角坐标系中，完成下面的问题（1）描出点A（﹣2，3）和它关于y轴的对称点B；（2）描出点C（2，1）和它关于原点的对称点D；（3）求线段AD的长．【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标写出B点坐标，然后描点即可；（2）利用关于原点对称的点的坐标写出D点坐标，然后描点即可；（3）利用AD平行y轴，利用两点的纵坐标之差得到AD的长．【解答】解：（1）如图，点B为所作；（2）如图，点D为所作；（3）因为A（﹣2，3），D（﹣2，﹣1），线段AD的长＝3﹣（﹣1）＝4．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．4．已知菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，点E、F分别在边AD、AB上，将△AEF沿EF折叠，使得点A的对应点A’恰好落在边CD上．（1）延长CB、A′F交于点H，求证：A'HAE（2）若A′点为CD的中点，求EF的长；（3）AA′交EF于点G，再将四边形纸片BCA′F折叠，使C点的对应点C′恰好落在A′F上，折痕MN分别交边CD、BC于点M、N，连接C′G，则C′G的最小值为32【分析】（1）如图1中，延长CD到T，使得DT＝DE，连接TE．证明△A′HC∽△EQ′T，可得结论．（2）如图2中，延长CD，过点F作FM⊥CD于点M，交AB于H，连接A′B、BD，CF．想办法求出EH，FH，再利用勾股定理即可解决问题．（3）注意到G为AA'的中点，于是可知G点的高度终为菱形高度的一半，同时注意到G在∠AFA'的角平分线上，因此作GH⊥AB于H，GP⊥A'F于P，则GP＝GH，根据垂线段最短原理可知GH就是所求最小值．【解答】（1）证明：如图1中，延长CD到T，使得DT＝DE，连接TE．∵四边形ABCD是菱形，∴DT∥AB，∠A＝∠C＝60°，∴∠TDE＝∠A＝60°，∵DT＝DE，∴△DET是等边三角形，∴∠T＝∠C＝60°，∵∠EA′F＝∠A＝60°，∴∠TA′E+∠CA′H＝120°，∵∠CA′H+∠A′HC＝120°，∴∠TA′E＝∠A′HC，∴△A′HC∽△EQ′T，∴A'HA'E∵ET＝DE，AE＝A′E，∴A'HAE（2）解：如图2中，延长CD，过点F作FM⊥CD于点M，交AB于H，连接A′B、BD，CF．∵∠A＝60°，四边形ABCD是菱形，∴∠MDF＝60°，∴∠MFD＝30°，设MD＝x，则DF＝2x，FM=3x∵DG＝1，∴MG＝x+1，∴（x+1）2+（3x）2＝（2﹣2x）2，解得：x＝0.3，∴DF＝0.6，AF＝1.4，∴AH=12AF＝0.7，FH＝AF•sin∠A＝1.4∵CD＝BC，∠C＝60°，∴△DCB是等边三角形，∵A′是CD的中点，∴BA′⊥CD，∵BC＝2，A′C＝1，∴BA′=3设BE＝y，则A′E＝2﹣y，∴（3）2+y2＝（2﹣y）2，解得：y＝0.25，∴AE＝1.75，∴EH＝AE﹣AH＝1.75﹣0.7＝1.05，∴EF=E（3）解：如图3中，过点G作GH⊥AB于H，过点G作GP⊥A'F于P，过点A′作A'Q⊥AB于Q．∵四边形ABCD是菱形，∴DA＝AB＝BC＝CD＝2，AB∥CD，∴A'Q＝DR，∵∠BAD＝60°，∴A'Q=∵A'与A关于EF对称，∴EF垂直平分AA'，∴AG＝A'G，∠AFE＝∠A'FE，∴GP＝GH，又∵GH⊥AB，A'Q⊥AB∴GH∥A'B，∴GH=12A'Q所以GC'≥GP=32，当且仅当C'与P重合时，GC'取得最小值故答案为32【点评】本题属于几何变换综合题，考查了菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大，运用勾股定理得出方程是解决问题的关键，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题．5．如图，半圆O的直径AB＝10，将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O′，与AB交于点P，求AP的长．【分析】先根据题意判断出△O′PB是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义求出PB的长，进而可得出AP的长．【解答】解：∵∠OBA′＝45°，O′P＝O′B，∴△O′PB是等腰直角三角形，∴PB=2BO′＝52∴AP＝AB﹣BP＝10﹣52．【点评】本题考查的是旋转的性质，解答此题的关键是熟练掌握旋转的性质．6．如图，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C在AD上．（1）指出旋转中心；（2）若∠B＝21°，∠ACB＝26°，求出旋转的度数；（3）若AB＝5，CD＝3，则AE的长是多少？为什么？【分析】（1）结合图形找到旋转中心即可；（2）根据题意求得∠BAC的度数即可求得旋转角；（3）利用旋转的性质得到AE＝AC，AD＝AB即可求得答案．【解答】解：（1）旋转中心为点A；（2）∵∠B＝21°，∠ACB＝26°，∴∠BAC＝180°﹣21°﹣26°＝133°，∴旋转的度数为133°；（3）由旋转性质知：AE＝AC，AD＝AB，∴AE＝AB﹣CD＝2．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．7．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A、D、E在同一条直线上，且∠ACB＝20°，求∠CAE及∠B的度数．【分析】根据旋转的性质可得△ACE是等腰直角三角形，所以∠CAE＝45°，易知∠ACD＝90°﹣20°＝70°，根据三角形外角性质可得∠EDC度数，又∠EDC＝∠B，则可求．【解答】解：根据旋转的性质可知CA＝CE，且∠ACE＝90°，所以△ACE是等腰直角三角形．所以∠CAE＝45°；根据旋转的性质可得∠BDC＝90°，∵∠ACB＝20°．∴∠ACD＝90°﹣20°＝70°．∴∠EDC＝45°+70°＝115°．所以∠B＝∠EDC＝115°．【点评】本题主要考查了旋转的性质，解决这类问题要找准旋转角以及旋转后对应的线段．8．如图，P是等边三角形ABC内一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB．求：（1）PP′的长度；（2）∠APB的度数．【分析】（1）根据旋转的性质可得∠PAP′＝60°，P′A＝PA，然后判断出△APP′是等边三角形，根据等边三角形的性质可得PP′＝PA；（2）根据等边三角形的性质可得∠APP′＝60°，利用勾股定理逆定理求出∠BPP′＝90°，然后求解即可．【解答】解：（1）∵△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，∴∠PAP′＝60°，P′A＝PA＝6，∴△APP′是等边三角形，∴PP′＝PA＝6；（2）∵△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，∴P′B＝PC＝10，∵△APP′是等边三角形，∴∠APP′＝60°，∵PB2+PP′2＝82+62＝100，P′B2＝102＝100，∴PB2+PP′2＝P′B2，∴△P′PB是直角三角形，∠BPP′＝90°，∴∠APB＝∠APP′+∠BPP′＝60°+90°＝150°．【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理逆定理，旋转前后对应边相等，对应角相等．9．如图，将边长为3的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形AB′C′D′．（1）求证：ED＝EB′；（2）求图中阴影部分的面积．【分析】（1）根据HL即可证明△ADE≌△AB'E，根据全等三角形的对应边相等即可证得；（2）求得∠EAD的度数，根据三角函数求得ED的长，则△ADE的面积即可求得，然后利用正方形的面积减去△ADE和△AB'E的面积即可求解．【解答】解：（1）连接AE．在直角△ADE和直角△AB'E中，AB'=ADAE=AE∴△ADE≌△AB'E，∴DE＝EB'；（2）∵△ADE≌△AB'E，∴∠DAE＝∠DAD'，又∵∠BAB'＝30°，∠BAD＝90°，∴∠DAE＝30°，在直角△ADE中，ED＝AD•tan30°=3则S△ADE=12AD•ED=1∴S△AB'E＝S△ADE=3又∵S正方形ABCD＝（3）2＝3，∴S阴影＝3﹣2×32=【点评】本题考查旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，正确证明△ADE≌△AB'E是本题的关键．10．如图，O是等边△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO绕点B逆时针旋转60°得到线段BO′．（1）求点O与O′的距离；（2）求∠AOB的度数．【分析】（1）由旋转的性质可得BO＝BO′，∠O′AO＝60°，可证明△OBO′是等边三角形，从而求解；（2）由SAS可证△BO′A≌△BOC，可得OC＝O'A＝5，利用勾股定理的逆定理即可证得△AOO′是直角三角形，即可求解．【解答】解：（1）如图，连接OO'，∵等边△ABC，∴AB＝CB，∠ABC＝60°．∵线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，∴BO＝BO′，∠O′AO＝60°，∴△OBO′是等边三角形．∴OO′＝OB＝4；（2）∵∠OBO'＝∠ABC＝60°，∴∠O′BA＝60°﹣∠ABO＝∠OBA．在△BO'A和△BOC中，AB=CB∠O'BA=∠OBA∴△BO′A≌△BOC（SAS）．∴OC＝O'A＝5，∵AO2+O'O2＝9+16＝25＝O'A2，∴△AOO′是直角三角形．∴∠AOB＝∠AOO′+∠O′OB＝90°+60°＝150°．【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，等边三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．11．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，连接OP，求OP的最小值．【分析】以OA为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F．由“SAS”可证△AEP≌△ADB，可得∠AEP＝∠ADB＝120°，进而可得点P在直线EF上运动，根据垂线段最短解答．【解答】解：如图，以OA为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F，∴∠AED＝60°，∴AO=3OE∴OE=3∵△ADE和△ABP是等边三角形，∴AB＝AP，AD＝AE，∠BAP＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠PAE，在△ADB和△AEP中，AB=AP∠BAD=∠PAE∴△AEP≌△ADB（SAS），∴∠AEP＝∠ADB＝120°，∴∠OEF＝6