中考数学几何专项冲刺专题14几何变换之旋转巩固练习（提优）含答案及解析

几何变换之旋转巩固练习1．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC（顶点是网格线的交点）．（1）先将△ABC竖直向上平移6个单位，再水平向右平移3个单位得到△A1B1C1，点A、B、C对应点分别是A1、B1、C1，请画出△A1B1C1；（2）将△A1B1C1绕B1点顺时针旋转90°，得△A2B1C2，点A1、C1对应点分别是A2、C2，请画出△A2B1C2；（3）连接CA2，直接写出CA2的长．2．如图，∠ABC＝90°，P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△AED，延长DE交BP于点F，连接BE、DP．求证：（1）△ABE和△APD都是等边三角形；（2）EF＝BF．3．已知：如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过点A，BD⊥l于点D，连接CD．（1）证明A，C，B，D四个点在同一个圆上并画出圆（提示：取AB中点O）；（2）求证：∠ADC＝45°（3）以点C为旋转中心，把△CDB逆时针方向旋转90°，画出旋转后的图形．4．如图，过等边△ABC的顶点B在∠ABC内部作射线BP，∠ABP＝α（0°＜α＜60°且α≠30°），点A关于射线BP的对称点为点D，直线CD交BP于点E，连接BD，AE．（1）依据题意，补全图形；（2）在α（0°＜α＜60°且α≠30°）变化的过程中，∠AEB的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请求出∠AEB的大小；（3）连接AD交BP于点F，用等式表示线段AE，BF，CE之间的数量关系，并给予证明．5．如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝8cm，DE＝5cm．（1）求BE的长；（2）其它条件不变的前提下，将CE所在直线旋转到△ABC的外部（如图2），请你猜想AD，DE，BE三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明．（3）如图3，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AC＝BC，D，C，E三点在同一条直线上，并且有∠BEC＝∠ADC＝∠BCA＝α，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．6．人教版初中数学教科书八年级上册第84页探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分原文如下：如图1，在△ABC中，如果AB＞AC，那么我们可以将△ABC折叠，使边AC落在AB上，点C落在AB上的D点，折线交BC于点E，则∠C＝∠ADE．∵∠ADE＞∠B（想一想为什么），∴∠C＞∠B．（1）请证明上文中的∠ADE＞∠B；（2）如图2，在△ABC中，如果∠ACB＞∠B，能否证明AB＞AC？同学小雅提供了一种方法：将△ABC折叠，使点B落在点C上，折线交AB于点F，交BC于点G，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小雅的方法完成证明；（3）如图3，在△ABC中，∠C＝2∠B，按照图1的方式进行折叠，得到折痕AE，过点E作AC的平行线交AB于点M，若∠BEA＝110°，求∠DEM的度数．7．如图，△ABC是等边三角形，AC＝2，点C关于AB对称的点为C′，点P是直线C′B上的一个动点．（1）若点P是线段C′B上任意一点（不与点C′，点B重合）①如图1，作∠PAE＝60°交BC于点E，AP与AE相等吗？请证明你的结论；②如图2，连接AP，作∠APD＝60°交射线BC于点D，PD与PA相等吗？请证明你的结论．（2）若点P在线段C′B的延长线上．①连接AP，作∠APD＝60°交射线BC于点D，依题意补全图3；②直接写出线段BD、AB、BP之间的数量关系．8．如图1，D为等边△ABC外一点，∠ADB＝120°，连接DB，并延长DB至点E，使BE＝AD，连接CD，CE．（1）求证：∠CAD＝∠CBE；（2）求证：△CDE为等边三角形；（3）在图1的基础上作D点关于AC，BC的对称点M，N，连接CM，CN，MN，过C点作CF⊥MN于点F，如图2．求证：CD＝2CF．9．如图1，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠A＝90°，∠E＝90°，△DEF的顶点D恰好落在△ABC的斜边BC中点，把△DEF绕点D旋转，始终保持线段DE、DF分别与线段AB、AC交于M、N，连接MN．在这个变化过程中，小明通过观察、度量，发现了一些特殊的数量关系．（1）于是他把△DEF旋转到特殊位置，验证自己的猜想．如图2，当MN∥BC时，①通过计算∠BMD和∠NMD的度数，得出∠BMD∠NMD（填＞，＜或＝）；②设BC＝22，通过计算AM，MN，NC的长度，其中NC＝，进而得出AM、MN、NC之间的数量关系是．（2）在特殊位置验证猜想还不够，还需要在一般位置进行证明．请你对（1）中猜想的线段AM、MN、NC之间的数量关系进行证明．10．在等边△ABC中，点O在BC边上，点D在AC的延长线上且OA＝OD．（1）如图1，若点O为BC中点，求证：∠COD的度数．（2）如图2，若点O为BC上任意一点，求证：AD＝2BO+OC．（3）如图3，若点O为BC上任意一点，点D关于直线BC的对称点为点P，连接AP，OP，请判断△AOP的形状，并说明理由．11．在Rt△ABC中，AB＝AC，OB＝OC，∠A＝90°，∠MON＝α，分别交直线AB、AC于点M、N．（1）如图1，当α＝90°时，求证：AM＝CN；（2）如图2，当α＝45°时，求证：BM＝AN+MN；（3）当α＝45°时，旋转∠MON至图3位置，请你直接写出线段BM、MN、AN之间的数量关系．12．如图，在平面直角坐标系中，有Rt△ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点A、B均在x轴上，边AC与y轴交于点D，连接BD，且BD是∠ABC的角平分线，若点B的坐标为（3，0）．（1）如图1，求点C的横坐标；（2）如图2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α（0°≤α≤180°）得到Rt△AB'C'，直线AC'交直线BD于点P，直线AB'交y轴于点Q，是否存在点P、Q，使△APQ为等腰三角形？若存在，直接写出∠APQ的度数；若不存在，请说明理由．13．如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，将BC绕点C顺时针旋转90°得CG，DG交EC于O点．（1）求证：DO＝OG；（2）如图2，若∠ABC＝135°，AC=2，求DG（3）如图3，若∠ABC＝90°，BC＞AB．且DGAC=4几何变换之旋转巩固练习1．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC（顶点是网格线的交点）．（1）先将△ABC竖直向上平移6个单位，再水平向右平移3个单位得到△A1B1C1，点A、B、C对应点分别是A1、B1、C1，请画出△A1B1C1；（2）将△A1B1C1绕B1点顺时针旋转90°，得△A2B1C2，点A1、C1对应点分别是A2、C2，请画出△A2B1C2；（3）连接CA2，直接写出CA2的长29．【分析】（1）将点A、B、C分别向上平移6个单位、向右平移3个单位得到平移后的对应点，再首尾顺次连接即可；（2）将点A1、C1分别绕B1点顺时针旋转90得到对应点，再与点B1首尾顺次连接即可；（3）利用勾股定理求解即可．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．（2）如图所示，△A2B1C2即为所求．（3）CA2=2故答案为：29．【点评】本题主要考查作图﹣平移变换、旋转变换，解题的关键是掌握平移变换、旋转变换的定义和性质，并据此得到变换后的对应点．2．如图，∠ABC＝90°，P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△AED，延长DE交BP于点F，连接BE、DP．求证：（1）△ABE和△APD都是等边三角形；（2）EF＝BF．【分析】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证明即可．（2）想办法证明∠BEF＝∠EBF，可得结论．【解答】证明：（1）由旋转可知，△DAE≌△PAB，∠BAE＝∠PAD＝60°，∴AB＝AE，AP＝AD，∴△ABE和△APD是等边三角形．（2）∵△ABE是等边三角形，∴∠ABE＝∠AEB＝60°，∵△DAE≌△PAB，∴∠ABP＝∠AED＝90°，∴∠ABP＝∠AEF＝90°，∴∠ABP﹣∠ABE＝∠AEF﹣∠AEB，∴∠BEF＝∠EBF，∴BF＝EF．【点评】本题考查旋转变换，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．3．已知：如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过点A，BD⊥l于点D，连接CD．（1）证明A，C，B，D四个点在同一个圆上并画出圆（提示：取AB中点O）；（2）求证：∠ADC＝45°（3）以点C为旋转中心，把△CDB逆时针方向旋转90°，画出旋转后的图形．【分析】（1）取AB的中点O，连接OC，OD，只要证明OA＝OB＝OD＝OC即可；（2）根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可证得结论；（3）利用旋转的性质得出得出对应点位置进而得出答案．【解答】（1）证明：取AB的中点O，连接OD，OC．∵∠ACB＝∠ADB＝90°，OB＝OA，∴OA＝OB＝OD＝OC，∴A，B，C，D四个点在同一个圆上；（2）证明：在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∴∠ADC＝∠ABC＝45°；（3）如图所示：△ACD′，即为所求．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，点和圆的位置关系，三角形斜边直线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，（3）正确得出对应点位置是解题关键．4．如图，过等边△ABC的顶点B在∠ABC内部作射线BP，∠ABP＝α（0°＜α＜60°且α≠30°），点A关于射线BP的对称点为点D，直线CD交BP于点E，连接BD，AE．（1）依据题意，补全图形；（2）在α（0°＜α＜60°且α≠30°）变化的过程中，∠AEB的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请求出∠AEB的大小；（3）连接AD交BP于点F，用等式表示线段AE，BF，CE之间的数量关系，并给予证明．【分析】（1）根据题意补全图形，即可得出结论；（2）先判断出∠ABP＝∠DBP＝α，BD＝BA，在判断出AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，进而得出BD＝BC，∠CBD＝60°+2α，∠BDC＝∠BCD＝60°+α，即可得出结论；（3）先判断出△AME是等边三角形，得出AE＝AM＝EM，∠EAM＝60°，在判断出∠BAM＝∠CAE，进而判断出△ABM≌△ACE（SAS），得出BM＝CE，再判断出∠AFE＝90°，得出∠EAF＝30°，∴EF=12【解答】解：（1）补全图形如图1所示，（2）∠AEB不发生变化，∠AEB＝60°；∵点A关于射线CP的对称点为点D，∴∠ABP＝∠DBP＝α，BD＝BA，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∴BD＝BC，∠CBD＝60°+2α，∴∠BDC＝∠BCD＝60°+α，∵∠BDC＝∠BEC+∠DBE＝∠BEC+α＝60°+α，∴∠BEC＝60°，∴∠AEB＝∠BEC＝60°，∴∠AEB不发生变化，∠AEB＝60°；（3）如图2，线段AE，BF，CE之间的数量关系为：BF＝CE+12证明：如图2，在BE上取一点M，使EM＝AE，连接AM，∵AEB＝60°，∴△AME是等边三角形，∴AE＝AM＝EM，∠EAM＝60°，∵∠BAM+∠CAM＝∠CAM+∠CAE＝60°，∴∠BAM＝∠CAE，∵AB＝AC，∴△ABM≌△ACE（SAS），∴BM＝CE，∵点A关于射线CP的对称点为点D，∴AE＝DE＝EM，∠AFE＝90°，∵∠AEB＝60°，∴∠EAF＝30°，∴EF=12∵BF＝BE﹣EF＝CE+AE＝CE+12即BF＝CE+12【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．5．如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝8cm，DE＝5cm．（1）求BE的长；（2）其它条件不变的前提下，将CE所在直线旋转到△ABC的外部（如图2），请你猜想AD，DE，BE三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明．（3）如图3，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AC＝BC，D，C，E三点在同一条直线上，并且有∠BEC＝∠ADC＝∠BCA＝α，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【分析】（1）先利用同角的余角相等判断出∠EBC＝∠DCA，进而判断出△CEB≌△ADC，得出BE＝DC，CE＝AD＝8cm，即可得出结论；（2）同（1）的方法得出BE＝DC，CE＝AD，进而得出结论．（3）同（1）的方法，即可得出结论．【解答】解：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC+∠BCE＝90°．∵∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA．在△CEB和△ADC中，∠E=∠ADC∠EBC=∠DCA∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE＝DC，CE＝AD＝8cm．∵DC＝CE﹣DE，DE＝5cm，∴DC＝8﹣5＝3（cm），∴BE＝3cm；（2）AD+BE＝DE，证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC+∠BCE＝90°，∵∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA．在△CEB和△ADC中，∠E=∠ADC∠EBC=∠DCA∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE＝DC，CE＝AD，∴DE＝CE+DE＝AD+BE；（3）、（2）中的猜想还成立，证明：∵∠BCE+∠ACB+∠ACD＝180°，∠DAC+∠ACB+∠ACD＝180°，∠ADC＝∠BCA，∴∠BCE＝∠CAD，在△CEB和△ADC中，∠BCE=∠CAD∠BEC=∠CDA∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE＝CD，EC＝AD，∴DE＝EC+CD＝AD+BE．【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．6．人教版初中数学教科书八年级上册第84页探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分原文如下：如图1，在△ABC中，如果AB＞AC，那么我们可以将△ABC折叠，使边AC落在AB上，点C落在AB上的D点，折线交BC于点E，则∠C＝∠ADE．∵∠ADE＞∠B（想一想为什么），∴∠C＞∠B．（1）请证明上文中的∠ADE＞∠B；（2）如图2，在△ABC中，如果∠ACB＞∠B，能否证明AB＞AC？同学小雅提供了一种方法：将△ABC折叠，使点B落在点C上，折线交AB于点F，交BC于点G，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小雅的方法完成证明；（3）如图3，在△ABC中，∠C＝2∠B，按照图1的方式进行折叠，得到折痕AE，过点E作AC的平行线交AB于点M，若∠BEA＝110°，求∠DEM的度数．【分析】（1）利用三角形的外角的性质，即可得出结论；（2）先由折叠得出BF＝CF，再利用三角形外角的性质，即可得出结论；（3）先判断出∠B＝∠BED，再判断出∠MAE＝∠MEA，进而求出∠B+∠BAE＝70°，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠B+∠BED，∴∠ADE＞∠B；（2）证明：由折叠知，BF＝CF，在△ACF中，AF+FC＞AC，∴AF+BF＞AC，∴AB＞AC；（3）由折叠知，∠MAE＝∠EAC，∠ADE＝∠C，∵∠C＝2∠B，∴∠ADE＝2∠B，∵∠ADE＝∠B+∠BED，∴∠B＝∠BED，∵ME∥AC，∴∠MEA＝∠EAC，∵∠MAE＝∠EAC，∴∠MAE＝∠MEA，∵∠BEA＝110°，∴∠B+∠BAE＝180°﹣∠BEA＝180°﹣110°＝70°，∴∠BED+∠MEA＝∠B+∠BAM＝70°，∴∠DEM＝∠BEA﹣（∠BED+∠MEA）＝110°﹣70°＝40°．【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，等边对等角，判断出∠MAE＝∠MEA是解本题的关键．7．如图，△ABC是等边三角形，AC＝2，点C关于AB对称的点为C′，点P是直线C′B上的一动点.（1）若点P是线段C′B上任意一点（不与点C′，点B重合）①如图1，作∠PAE＝60°交BC于点E，AP与AE相等吗？请证明你的结论；②如图2，连接AP，作∠APD＝60°交射线BC于点D，PD与PA相等吗？请证明你的结论．（2）若点P在线段C′B的延长线上．①连接AP，作∠APD＝60°交射线BC于点D，依题意补全图3；②直接写出线段BD、AB、BP之间的数量关系．【分析】（1）①由“ASA”可证△PAB≌△EAC，可得AP＝AE；②由“ASA”可证△PBD≌△PEA，可得PD＝PA；（2）①根据要求画出图形即可解决问题；②结论：BD＝BP+AB．如图3中，在BD上取一点E，使得BE＝PB．由“SAS”可证△BPA≌△EPD，可得AB＝DE，可得结论．【解答】解：（1）①AP＝AE，理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°＝∠BAC，AB＝AC，∵点C'与点C关于AB对称，∴∠C'BA＝∠CBA＝60°，∵∠PAE＝∠BAC＝60°，∴∠PAB＝∠EAC，∴△PAB≌△EAC（ASA），∴AP＝AE；②PD＝PA，理由如下：如图2中，作∠BPE＝60°交AB于点E，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵点C'与点C关于AB对称，∴∠C'BA＝∠CBA＝60°＝∠BPE，∴∠PEB＝60°．∴△PBE是等边三角形，∴PB＝PE，AEP＝120°＝∠PBD．∵∠BPD+∠DPE＝60°，∠APE+∠DPE＝60°，∴∠BPD＝∠APE，在△PBD和△PEA中，∠BPD=∠APEPB=PE∴△PBD≌△PEA（ASA）．∴PD＝PA；（2）①解：补全图形，如图3所示：②解：结论：BD＝BP+AB，理由：如图3中，在BD上取一点E，使得BE＝PB．∵∠EBP＝60°，BE＝BP，∴△EBP是等边三角形，∴∠BPE＝∠APD＝60°，∴∠APB＝∠EPD，∵PB＝PE，PA＝PD，∴△BPA≌△EPD（SAS），∴AB＝DE，∴BD＝BE+ED＝BP+AB．【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．8．如图1，D为等边△ABC外一点，∠ADB＝120°，连接DB，并延长DB至点E，使BE＝AD，连接CD，CE．（1）求证：∠CAD＝∠CBE；（2）求证：△CDE为等边三角形；（3）在图1的基础上作D点关于AC，BC的对称点M，N，连接CM，CN，MN，过C点作CF⊥MN于点F，如图2．求证：CD＝2CF．【分析】（1）利用等角的补角相等，证明即可．（2）证明△CAD≌△CBE（SAS），推出CD＝CE，∠ACD＝∠ECB，推出∠DCE＝∠ACB＝60°，可得结论△DCE是等边三角形．（3）由D点关于AC，BC的对称点M，N，推出CD＝CM＝CN，∠DCA＝∠ACM，∠DCB＝∠BCN，由∠ACD+∠DCB＝∠ACB＝60°，推出∠MCN＝2∠ACB＝120°，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵∠ADB＝120°，∴∠ACB+∠ADB＝180°，∴∠CAD+∠CBD＝180°，∵∠CBD+∠CBE＝180°，∴∠CAD＝∠CBE．（2）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∵∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，∴△CAD≌△CBE（SAS），∴CD＝CE，∠ACD＝∠ECB，∴∠DCE＝∠ACB＝60°，∴△DCE是等边三角形．（3）证明：如图2中，∵D点关于AC，BC的对称点M，N，∴CD＝CM＝CN，∠DCA＝∠ACM，∠DCB＝∠BCN，∵∠ACD+∠DCB＝∠ACB＝60°，∴∠MCN＝2∠ACB＝120°，∵CM＝CN，∴∠CMN＝∠CNM＝30°，∵CF⊥MN，∴∠CFM＝90°，∴CM＝2CF，∵CM＝CD，∴CD＝2CF．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．9．如图1，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠A＝90°，∠E＝90°，△DEF的顶点D恰好落在△ABC的斜边BC中点，把△DEF绕点D旋转，始终保持线段DE、DF分别与线段AB、AC交于M、N，连接MN．在这个变化过程中，小明通过观察、度量，发现了一些特殊的数量关系．（1）于是他把△DEF旋转到特殊位置，验证自己的猜想．如图2，当MN∥BC时，①通过计算∠BMD和∠NMD的度数，得出∠BMD＝∠NMD（填＞，＜或＝）；②设BC＝22，通过计算AM，MN，NC的长度，其中NC＝2，进而得出AM、MN、NC之间的数量关系是AM+MN＝CN．（2）在特殊位置验证猜想还不够，还需要在一般位置进行证明．请你对（1）中猜想的线段AM、MN、NC之间的数量关系进行证明．【分析】（1）①由“SAS”可证∴△BMD≌△CND，可得∠BMD＝∠DNC，由外角的性质和平行线的性质可证∠BMD＝∠CND＝∠BDM＝∠CMN；②由等腰三角形的性质可求BM＝BD=2=NC，再求出AM＝2−2，MN=2（2）在CN上截取CH＝AM，连接AD，DH，由“SAS”可证△AMD≌△CHD，可得MD＝DH，∠ADM＝∠CDH，再由“SAS”可证△MDN≌△HDN，可得MN＝HN，可得结论．【解答】解：（1）①∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠A＝90°，∠E＝90°，∴∠B＝∠C＝∠EDF＝45°，AB＝AC，BC=2AB∵MN∥BC，∴∠AMN＝∠B＝45°＝∠ANM＝∠C，∠DMN＝∠BDM，∴AM＝AN，∴BM＝CN，∵点D是BC中点，∴BD＝CD，在△BMD和△CND中，BM=CN∠B=∠C∴△BMD≌△CND（SAS），∴∠BMD＝∠DNC，∵∠MDB＝∠C+∠DNC＝∠MDN+∠BDM，∴∠BDM＝∠CND，∴∠BMD＝∠CND＝∠BDM＝∠CMN，故答案为：＝；②∵BC＝22，BC=2AB∴AB＝AC＝2，∵∠BMD＝∠CND＝∠BDM，∴BD＝BM=12BC∴NC=2∴AM＝2−2∵AM＝AN，∠A＝90°，∴MN=2AM＝22∴AM+MN＝2−2+22−2故答案为：2；AM+MN＝NC；（2）如图1，在CN上截取CH＝AM，连接AD，DH，∵△ABC是等腰直角三角形，点D是BC中点，∴AD＝CD，∠BAD＝∠ACD＝45°，AD⊥BC，又∵AM＝CH，∴△AMD≌△CHD（SAS），∴MD＝DH，∠ADM＝∠CDH，∵∠ADM+∠ADN＝∠MDN＝45°，∴∠ADN+∠CDH＝45°，∴∠HDN＝45°＝∠MDN，在△MDN和△HDN中，DN=DN∠MDN=∠HDN∴△MDN≌△HDN（SAS），∴MN＝HN，∴NC＝CH+NH＝AM+MN．【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，外角的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．10．在等边△ABC中，点O在BC边上，点D在AC的延长线上且OA＝OD．（1）如图1，若点O为BC中点，求证：∠COD的度数．（2）如图2，若点O为BC上任意一点，求证：AD＝2BO+OC．（3）如图3，若点O为BC上任意一点，点D关于直线BC的对称点为点P，连接AP，OP，请判断△AOP的形状，并说明理由．【分析】（1）由等边三角形的性质得出∠CAO＝30°，求出∠AOD的度数即可得出答案；（2）如图1，过O作OE∥AB，OE交AD于E，证明△COE为等边三角形，根据AAS证明△AOE≌△DOC，得出CD＝EA，则AB＝AC，可得出答案；（3）如图2，连接PC，PD，延长OC交PD于F，证明△OPE≌△OPF，得出∠POF＝∠DOF，OP＝OD，则△AOP为等腰三角形，过O作OE∥AB，OE交AD于E，证得∠AOP＝∠COE＝60°，则结论得证．【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵O为BC中点，∴∠CAO=1且AO⊥BC，∠AOC＝90°，∵OA＝OD，∴△AOD中，∠D＝∠CAO＝30°，∴∠AOD＝180°﹣∠D﹣∠CAO＝120°，∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝30°；（2）如图1，过O作OE∥AB，OE交AD于E，∵OE∥AB∴∠EOC＝∠ABC＝60°∠CEO＝∠CAB＝60°，∴△COE为等边三角形，∴OE＝OC＝CE∠AEO＝180°﹣∠CEO＝120°∠DCO＝180°﹣∠ACB＝120°，又∵OA＝OD，∴∠EAO＝∠CDO，在△AOE和△COD中，∠AOE=∠DOC∠EAO=∠CDO∴△AOE≌△DOC（AAS），∴CD＝EA，∵EA＝AC﹣CE，BO＝BC﹣CO，∴EA＝BO，∴BO＝CD，又∵AD＝AC+CD，AB＝BC，∴AD＝AB+BO＝BC+BO＝BO+CO+BO＝2BO+CO；（3）△AOP为等边三角形．证明：如图2，连接PC，PD，延长OC交PD于F，∵P、D关于OC对称，∴PF＝DF，∠PFO＝∠DFO＝90°，在△OPE与△OPF中，PF=DF∠PFO=∠DFO∴△OPE≌△OPF（SAS），∴∠POF＝∠DOF，OP＝OD，∴△AOP为等腰三角形，过O作OE∥AB，OE交AD于E，由（2）得△AOE≌△DOC∠AOE＝∠DOC，∴∠AOE＝∠POF，∴∠AOE+∠POE＝∠POF+∠POE，即∠AOP＝∠COE＝60°，∴△AOP是等边三角形．【点评】本题是三几何变换综合题，考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，正确作出辅助线．11．在Rt△ABC中，AB＝AC，OB＝OC，∠A＝90°，∠MON＝α，分别交直线AB、AC于点M、N．（1）如图1，当α＝90°时，求证：AM＝CN；（2）如图2，当α＝45°时，求证：BM＝AN+MN；（3）当α＝45°时，旋转∠MON至图3位置，请你直接写出线段BM、MN、AN之间的数量关系．【分析】（1）如图1，连接OA，由等腰直角三角形可得AO⊥BC，OA＝OB＝OC，∠ABO＝∠ACO＝∠BAO＝∠CAO＝45°，由“ASA”可证∴△AOM≌△CON，可得AM＝CN；（2）如图2，在BA上截取BG＝AN，连接GO，AO，由“SAS”可证△BGO≌△AON，可得OG＝ON，∠BOG＝∠AON，由“SAS”可证△GMO≌△NMO，可得GM＝MN，则BM＝BG+GM＝AN+MN；（3）如图3，过点O作OG⊥ON，连接AO，由“ASA”可证△NAO≌△GBO，可得AN＝GB，GO＝ON，由“SAS”可证△MON≌△MOG，可得MN＝GM，则MN＝AN+BM．【解答】证明：（1）如图1，连接OA，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，OB＝OC，∴AO⊥BC，OA＝OB＝OC，∠ABO＝∠ACO＝∠BAO＝∠CAO＝45°，∴∠MON＝∠AOC＝90°，∴∠AOM＝∠CON，且AO＝CO，∠BAO＝∠ACO＝45°，∴△AOM≌△CON（ASA）∴AM＝CN；（2）证明：如图2，在BA上截取BG＝AN，连接GO，AO，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，OB＝OC，∴AO⊥BC，OA＝OB＝OC，∠ABO＝∠ACO＝∠BAO＝∠CAO＝45°，∵BG＝AN，∠ABO＝∠NAO＝45°，AO＝BO，∴△BGO≌△AON（SAS），∴OG＝ON，∠BOG＝∠AON，∵∠MON＝45°＝∠AOM+∠AON，∴∠AOM+∠BOG＝45°，∵∠AOB＝90°，∴∠MOG＝∠MON＝45°，∵MO＝MO，GO＝NO，∴△GMO≌△NMO（SAS），∴GM＝MN，∴BM＝BG+GM＝AN+MN；（3）MN＝AN+BM，理由如下：如图3，过点O作OG⊥ON，连接AO，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，OB＝OC，∴AO⊥BC，OA＝OB＝OC，∠ABO＝∠ACO＝∠BAO＝∠CAO＝45°，∴∠GBO＝∠NAO＝135°，∵MO⊥GO，∴∠NOG＝90°＝∠AOB，∴∠BOG＝∠AON，且AO＝BO，∠NAO＝∠GBO，∴△NAO≌△GBO（ASA），∴AN＝GB，GO＝ON，∵MO＝MO，∠MON＝∠GOM＝45°，GO＝NO，∴△MON≌△MOG（SAS），∴MN＝MG，∵MG＝MB+BG，∴MN＝AN+BM．【点评】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．12．如图，在平面直角坐标系中，有Rt△ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点A、B均在x轴上，边AC与y轴交于点D，连接BD，且BD是∠ABC的角平分线，若点B的坐标为（3，0）．（1）如图1，求点C的横坐标；（2）如图2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α（0°≤α≤180°）得到Rt△AB'C'，直线AC'交直线BD于点P，直线AB'交y轴于点Q，是否存在点P、Q，使△APQ为等腰三角形？若存在，直接写出∠APQ的度数；若不存在，请说明理由．【分析】（1）如图1中，过点C作CH⊥AB于H．首先证明DA＝DB，想办法求出CH，OH即可解决问题．（2）分三种情形：当AP＝AQ时，当PA＝PQ时，当AP＝AQ时，根据等腰三角形的性质分别求解即可．【解答】解：（1）如图1中，过点C作CH⊥AB于H．∵∠ABC＝90°，∠CAB＝30°，∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=12∠∴∠DAB＝∠DBA＝30°，∴DA＝DB，∵DO⊥AB，∴O