中考数学几何专项冲刺专题20等腰三角形存在性问题巩固练习（提优）含答案及解析

等腰三角形存在性问题巩固练习1．直线y=−43x+n交x轴于点A，交y轴于点C（0，4），抛物线y=23x2+bx+c经过点A，交y轴于点B（0，﹣2），点P为抛物线上一个动点，经过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D（1）求抛物线的解析式；（2）当m＝1时，求PD的长；（3）是否存在点P，使△BDP是等腰直角三角形？若存在，请求线段PD的长；若不存在，请说明理由．2．如图在平面平面直角系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与轴交于点C（0，4），直线l是抛物线的对称轴，与x轴交于点D，点P是直线l上一动点．（1）求此抛物线的表达式．（2）当AP+CP的值最小时，求点P的坐标；再以点A为圆心，AP的长为半径作⊙A．求证：BP与⊙A相切．（3）点P在直线l上运动时，是否存在等腰△ACP？若存在，请写出所有符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．3．抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线交抛物线于点C（2，m），交y轴于点D．（1）求抛物线及直线AC的解析式；（2）点P是线段AC上的一动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值；（3）点M（m，﹣3）是抛物线上一点，问在直线AC上是否存在点F，使△CMF是等腰直角三角形？如果存在，请求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．4．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AE⊥CD于E，DE＝3，AE＝4，对角线DB平分∠ADC．（1）求梯形ABCD的面积；（2）如图2，一动点P从D点出发，以2个单位/秒的速度沿折线DA﹣AB匀速运动，另一动点Q从E点出发，以1个单位/秒的速度沿EC匀速运动，P、Q同时出发，当Q与C重合时，P、Q停止运动，在点P的运动过程中，过P作PM⊥DC于M，在点P、Q的运动过程中，以PM、MQ为两边作矩形PMQN，使矩形PMQN在直线DC上侧，直线AD右侧，设运动时间为t秒（t＞0）．在整个运动过程中，设矩形PMQN和CBD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）如图3，动点P从D点出发，以2个单位/秒的速度沿线段DA运动到A点后，可沿直线AB方向向左或右匀速运动，过点P作PF∥AD交CB的延长线于G点，交CD于F点，在直线AB上是否存在H点，使得△FGH为等腰直角三角形？若存在，求出对应的BH的值；若不存在，请说明理由．5．如图1直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AB∥CD，AB＝8，CD＝3，BC=52，在Rt△EFG中，∠GEF＝90°，EF＝3，GE＝6，将△EFG与直角梯形ABCD如图（2）摆放，使E与A重合，EF与AB重合，△EFG与梯形ABCD在直线AB的同侧，现将△EFG沿射线AB向右以每秒1个单位的速度平移，当点C落在线段FG上时停止运动，在平移过程中，设△EFG与梯形ABCD的重叠部分面积为S，运动时间为t秒（（1）求出GF边经过点D时的时间t；（2）若在△GEF运动过程中，设△GEF与梯形ABCD的重叠部分面积为S，请写出S与t的函数关系式；（3）如图3，当点C在线段GF上时，将此时的△EFG沿FG翻折，得到△HFG，将△HFG绕点F旋转，在旋转过程中，设直线HG与射线AD交于点M，与射线AB交于点N，是否存在钝角△AMN为等腰三角形？若存在，求出此时AN的长；若不存在，说明理由．6．已知抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣1，0），B（5，0），交y轴于点C（0，5），点D是该抛物线上一点，且点D的横坐标为4，连BD，点P是线段AB上一动点（不与点A重合），过P作PQ⊥AB交射线AD于点Q，以PQ为一边在PQ的右侧作正方形PQMN，设点P的坐标为（t，0）．（1）求抛物线解析式；（2）若点Q在线段AD上时，延长PQ与抛物线交于点G，求t为何值时，线段QG最长；（3）在AB上是否存在点P，使△OCM为等腰三角形？若存在，求P点坐标，若不存在，请说明理由；（4）设正方形PQMN与△ABD重叠部分面积为s，求s与t的函数关系式．7．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A（0，4），顶点B（3，0）．（1）求点D，点C的坐标．（2）求直线BC的解析式．（3）在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．8．如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系xOy中，使OA、OC分别落在x、y轴的正半轴上，对角线AC所在直线解析式为y=−53x+15，将矩形OABC沿着BE折叠，使点A落在边OC上的点（1）求点E的坐标；（2）在y轴上是否存在点P，使△PBE为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，直线L1：y1＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线L1上一点，另一直线L2：y2=12x+b经过点（1）求点P坐标和b的值：（2）若点C是直线L2与x轴的交点，动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动，设点Q的运动时间为t秒．①请写出当点Q运动过程中，△APQ的面积S与t的函数关系式；②求出t为何值时，△APQ的面积等于3；③是否存在t的值，使△APQ为等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．10．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，请问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的解析式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，设点D的横坐标为m，△ADE的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由．12．如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线上的一点，且DG＝AD，动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿着A→C→G的路线向G点匀速运动（M不与A，G重合），设运动时间为t秒，连接BM并延长AG于N．（1）是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，分析点M的位置；若不存在，请说明理由；（2）当点N在AD边上时，若BN⊥HN，NH交∠CDG的平分线于H，求证：BN＝HN；（3）过点M分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，求S的最大值．等腰三角形存在性问题巩固练习1．直线y=−43x+n交x轴于点A，交y轴于点C（0，4），抛物线y=23x2+bx+c经过点A，交y轴于点B（0，﹣2），点P为抛物线上一个动点，经过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D（1）求抛物线的解析式；（2）当m＝1时，求PD的长；（3）是否存在点P，使△BDP是等腰直角三角形？若存在，请求线段PD的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先确定出点A的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；（2）把m＝1代入抛物线的解析式得到P点的纵坐标，于是得到结论；（3）由△BDP为等腰直角三角形，判断出BD＝PD，建立m的方程计算出m，从而求出PD．【解答】解：（1）∵点C（0，4）在直线y=−43x+∴n＝4，∴y=−43令y＝0，∴x＝3，∴A（3，0），∵抛物线y=23x2+bx+c经过点A，交y轴于点∴c＝﹣2，6+3b﹣2＝0，∴b=−4∴抛物线解析式为y=23x2−（2）当m＝1时，y=23x2−43x﹣2∴PD=83−（3）存在点P，使△BDP是等腰直角三角形，∵点P的横坐标为m，且点P在抛物线上，∴P（m，23m2−4∵PD⊥x轴，BD⊥PD，∴点D坐标为（m，﹣2），∴|BD|＝|m|，|PD|＝|23m2−4当△BDP为等腰直角三角形时，PD＝BD．∴|m|＝|23m2−43m﹣2+2|＝|23m∴m2＝（23m2−43解得：m1＝0（舍去），m2=72，m3∴当△BDP为等腰直角三角形时，线段PD的长为72或1【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，锐角三角函数，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是构造直角三角形．2．如图在平面平面直角系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与轴交于点C（0，4），直线l是抛物线的对称轴，与x轴交于点D，点P是直线l上一动点．（1）求此抛物线的表达式．（2）当AP+CP的值最小时，求点P的坐标；再以点A为圆心，AP的长为半径作⊙A．求证：BP与⊙A相切．（3）点P在直线l上运动时，是否存在等腰△ACP？若存在，请写出所有符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式：设抛物线的交点式y＝a（x+2）（x﹣4），然后把C（0，4）代入得4＝﹣8a，解出a即可；（2）先求出对称轴为直线x＝1，过C作CC′⊥l交抛物线与C′，则点C与C′为对称点，连AC′交直线x＝1与点P，连PC，此时AP+CP的值最小，C′的坐标为（2，4）；利用待定系数法可求直线AC′的解析式为y＝x+2，令x＝1，则y＝3，确定P点坐标为（1，3）；连BP，如图，易得PD＝3，DA＝1﹣（﹣2）＝3，BD＝4﹣1＝3，则△PDB和△PBD都为等腰直角三角形，得到∠APB＝45°+45°＝90°，根据切线的判定定理即可得到BP与⊙A相切；（3）分类讨论：当CP＝CA，点P与点A关于y轴对称，则P1点坐标为（2，0）；当AP＝AC＝25，以A圆心、AC为半径交直线x＝1于P2、P3，连AP2，AP3，利用勾股定理计算出P2D=11，于是可确定P2的坐标为（1，11），P3的坐标为（1，−11）；当CP＝CA＝25，以C为圆心、AC为半径交直线x＝1于P4、P5，连CP4，CP5，过C作CE⊥直线x＝1于E点，用同样的方法可求出P4的坐标为（1，4+19），P5【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），把C（0，4）代入得4＝﹣8a，解得a=−1∴此抛物线的表达式为y=−12（x+2）（x﹣4）=−12x（2）抛物线的对称轴为直线x=−1∵AP+CP的值最小，AC为定值，则过C作CC′⊥l交抛物线与C′，则点C与C′为对称点，连AC′交直线x＝1与点P，连PC，∴C′的坐标为（2，4），设直线AC′的解析式为y＝kx+b，把A（﹣2，0）和C′（2，4）代入得﹣2k+b＝0，2k+b＝4，解得k＝1，b＝2，∴直线AC′的解析式为y＝x+2，令x＝1，则y＝3，所以P点坐标为（1，3）；连BP，如图，∵PD＝3，DA＝1﹣（﹣2）＝3，BD＝4﹣1＝3，∴△PDB和△PBD都为等腰直角三角形，∴∠APB＝45°+45°＝90°，∴PB为⊙A的切线；（3）存在．当PC＝PA，作AC的中垂线交直线x＝1于P1点，P1C＝P1A，设P1（1，y），则y2+32＝12+（4﹣y）2，解得y＝1，∴P1（1，1）；当AP＝AC＝25以A圆心、AC为半径交直线x＝1于P2、P3，连AP2，AP3，P2D=(2∴P2的坐标为（1，11），P3的坐标为（1，−11当CP＝CA＝25，以C为圆心、AC为半径交直线x＝1于P4、P5，连CP4，CP5，过C作CE⊥直线x＝1于E点，同理可得到P4的坐标为（1，4+19），P5的坐标为（1，4−∴符合条件的点P坐标为：（1，1）、（1，11）、（1，−11）、（1，4+19）、（1，4【点评】本题考查了二次函数的综合题：先利用待定系数法求函数的解析式，然后利用二次函数的性质得到对称轴方程．同时考查了等腰直角三角形的判定与性质、分类讨论思想的运用以及切线的判定方法．3．抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线交抛物线于点C（2，m），交y轴于点D．（1）求抛物线及直线AC的解析式；（2）点P是线段AC上的一动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值；（3）点M（m，﹣3）是抛物线上一点，问在直线AC上是否存在点F，使△CMF是等腰直角三角形？如果存在，请求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线中，易求出抛物线的解析式；将C点横坐标代入抛物线的解析式中，即可求出C点的坐标，再由待定系数法可求出直线AC的解析式．（2）PE的长实际是直线AC与抛物线的函数值的差，可设P点的横坐标为x，用x分别表示出P、E的纵坐标，即可得到关于PE的长、x的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得PE的最大值．（3）根据点F的不同位置分类讨论．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，得b＝﹣2，c＝﹣3；∴y＝x2﹣2x﹣3．将C点的横坐标x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3，得y＝﹣3，∴C（2，﹣3）；∴直线AC的函数解析式是y＝﹣x﹣1．（2）设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2），则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3）；∵P点在E点的上方，PE＝（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+x+2，＝﹣（x−12）∴当x=12时，PE的最大值（3）①当点F在D点时，将直线和抛物线的解析式组成方程组：y=−x−1y=解得：x=−1y=0，x=2∴点C的坐标为（2，﹣3），令x＝0，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，∴M的坐标为（0，﹣3）由直线的解析式可求点D的坐标为（0．﹣1）∴MC＝2，MD＝3﹣1＝2，∵MC∥y轴，∴∠CMD＝90°，即△CMD是等腰直角三角形，∴当点F的坐标为（﹣1，0）时，△CMD是等腰直角三角形．②当F在P点时，当点E是顶点坐标时，可得PM＝PC，由抛物线的解析式可得对称轴为x＝﹣1，解方程组：x=1y=−x−1，解得x=1∴点P的坐标为（1，﹣2）∴PC＝MP=1又∵MC＝2，∴PC2+PM2＝MC2，由勾股定理的逆定理可得：△PMC为等腰直角三角形．即△FMC为等腰直角三角形．∴F点的坐标为（1，﹣2）．③当F不在P、D点时，设点F（x，﹣x﹣1），则CM＝CF=(x−2即（x﹣2）2+（﹣x﹣3+3）2＝4解得：x1＝2+2，x2＝2−∴F（2+2，﹣3−2）或F（2−2当F（2+2，﹣3−2）时，FM∴CM2+CF2≠MF2，不能构成直角三角形，同理：当F（2−2，﹣3+综上所述，存在点F为（1，﹣2）或（﹣1，0）时．使△CMF是等腰直角三角形【点评】此题考查了一次函数、二次函数解析式的确定、二次函数的应用，第（3）题应将所有的情况都考虑到，不要漏解．4．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AE⊥CD于E，DE＝3，AE＝4，对角线DB平分∠ADC．（1）求梯形ABCD的面积；（2）如图2，一动点P从D点出发，以2个单位/秒的速度沿折线DA﹣AB匀速运动，另一动点Q从E点出发，以1个单位/秒的速度沿EC匀速运动，P、Q同时出发，当Q与C重合时，P、Q停止运动，在点P的运动过程中，过P作PM⊥DC于M，在点P、Q的运动过程中，以PM、MQ为两边作矩形PMQN，使矩形PMQN在直线DC上侧，直线AD右侧，设运动时间为t秒（t＞0）．在整个运动过程中，设矩形PMQN和CBD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）如图3，动点P从D点出发，以2个单位/秒的速度沿线段DA运动到A点后，可沿直线AB方向向左或右匀速运动，过点P作PF∥AD交CB的延长线于G点，交CD于F点，在直线AB上是否存在H点，使得△FGH为等腰直角三角形？若存在，求出对应的BH的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先根据勾股定理得出AD的长，再证明△ADB是等腰三角形，得出AB＝AD，最后利用梯形面积公式解答即可；（2）根据AD，AB，EC的长度，以及P，Q的速度分情况讨论，得出函数关系式并结合自变量的范围解答即可；（3）根据全等三角形的判定和性质得出△HFW≌△FGC，再利用三角函数求出WF的值后可得BH的值，注意分情况进行分析．【解答】解：在Rt△ADE中，AD=D∵AB∥CD，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ADC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠CBD，∴AB＝AD＝5，∵AB∥CD，∠C＝90°，AE⊥CD，∴四边形ABCE为矩形，∴CE＝AB＝5，∴DC＝DE+CE＝8，S梯形ABCD（2）∵点P从D点出发，以2个单位/秒的速度沿折线DA﹣AB匀速运动，动点Q从E点出发，以1个单位/秒的速度沿EC匀速运动，所以可得三种情况，当矩形在BD下侧时，函数关系式为：S=−3325t当矩形在BD上侧，且点P到A点之间时，函数关系式为：S=−11100t当点P在AB之间，且点E刚到达E点时，期间的函数关系式为：S=−34t（3）存在，理由如下：①若∠GFH＝90°，过H作HW⊥CD于W，如图1，图2，∴△HFW≌△FGC，∴WH＝FC＝4，WF＝CG=FC∴BH＝WC＝WF±CF＝7或1；②若∠FHG＝90°，过H作HW⊥CD于W，如图3，图4，∴△HFW≌△HGB，∴HW＝BH＝4，③若∠FGH＝90°，如图5，图6，∴△CFG≌△BGH，令CF＝BG＝3x，∴CG＝BH＝4x，∴4x±3x＝4，∴x=47或∴BH=16【点评】此题考查的是函数和四边形的综合题，难度比较大，关键是勾股定理和矩形的判定，注意动点运动的各种情况，不能漏解．5．如图1直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AB∥CD，AB＝8，CD＝3，BC=52，在Rt△EFG中，∠GEF＝90°，EF＝3，GE＝6，将△EFG与直角梯形ABCD如图（2）摆放，使E与A重合，EF与AB重合，△EFG与梯形ABCD在直线AB的同侧，现将△EFG沿射线AB向右以每秒1个单位的速度平移，当点C落在线段FG上时停止运动，在平移过程中，设△EFG与梯形ABCD的重叠部分面积为S，运动时间为t秒（（1）求出GF边经过点D时的时间t；（2）若在△GEF运动过程中，设△GEF与梯形ABCD的重叠部分面积为S，请写出S与t的函数关系式；（3）如图3，当点C在线段GF上时，将此时的△EFG沿FG翻折，得到△HFG，将△HFG绕点F旋转，在旋转过程中，设直线HG与射线AD交于点M，与射线AB交于点N，是否存在钝角△AMN为等腰三角形？若存在，求出此时AN的长；若不存在，说明理由．【分析】（1）作垂线构建平行线，想办法求出AE的长，就是t的值；先根据三角函数值求GE的长，再利用平行线分线段成比例得比例式求FH的长，从而可以求EH的长，所以AE＝AH﹣EH，得出结论；（2）分三种情况讨论：①当0＜t≤134时，如图2，作辅助线，构建高线，重叠部分的面积S＝S△AFM﹣S△AEP，计算即可；②当134＜t≤5时，如图3，重叠部分是五边形PENMD．③当5＜t（3）分三种情况进行讨论，分别以A、M、N为顶角构成等腰三角形，要满足钝角三角形的有两种，分别求出AN的长即可．【解答】解：（1）如图1中，∵四边形DHBC为矩形，∴AH＝AB﹣CD＝8﹣3＝5，在Rt△EFG中，∵EF＝3，GE＝6，∵DH∥GE，∴DHGE∴52∴FH=5∴EH＝EF＝FH＝3−5∴AE＝AH﹣EH＝5−7∴当点D落在线段FG上时t=13（2）①当0≤t≤134时，如图2，过M作MN⊥AB于N，过D作DH⊥AB于由MN∥EG，得到FNMN设FN＝x，则MN＝2x，∵MN∥DH，∴MNDH∴2x5∴x=3+t∴MN=2(3+t)由题意得：DHAH∴52∴PE=12∴S＝S△AFM﹣S△AEP，=12•AF•MN−12•=12•（3+t）•2(3+t)5−12=−120t2+65②当134＜t≤5时，如图3中，重叠部分是五边形PENMD，过N作NH⊥AB于∵MN∥EG，∴MNEG∴52∴FN=5∴CM＝BN=54+（8﹣t∴S＝S梯形ABCD﹣S△APE﹣S梯形BCMF=12•（3+8）⋅52−12•t•12•t−12•（8﹣t﹣3③当5＜t≤254时，如图4中，重叠部分是五边形此时S＝S△EGF﹣S△PMG﹣S△BFG=12×6×3−12×72×74综上所述S=−（3）①当AM＝MN时，钝角△AMN为等腰三角形，如图5，∴∠MAN＝∠MNA，在Rt△FHN中，∵FH＝3，tan∠MNA＝tan∠MAN=1∴NH＝6，∴FN=62+∴AN＝AB+BF+FN＝8+54+35②当AN＝MN时，钝角△AMN为等腰三角形，如图6，∴∠DAB＝∠AMN，∵tan∠G＝tan∠DAB12∴∠G＝∠DAB，∴∠G＝∠AMN，∴AM∥FG，∴∠DAB＝∠NFG，∴∠G＝∠NFG，∴GN＝FN，设FN＝x，则NG＝x，EN＝6﹣x，在Rt△NEF中，则勾股定理得：32+（6﹣x）2＝x2，解得：x=15∴AN＝AB+BF﹣FN＝8+5③当AM＝AN时，如图7，△AMN不是钝角三角形；综上所述：当AN=374+35或11【点评】本题是几何变换的综合题，考查了直角梯形、直角三角形的性质，以△EFG运动为主，弄清运动的路径，从△EFG运动的特殊位置入手，正确画出图形，并怀相似和三角函数相结合，表示边的长或求出边的长；对于求重叠部分的面积，也是先分析特殊位置时的重叠部分，再分情况进行讨论，得出结论．6．已知抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣1，0），B（5，0），交y轴于点C（0，5），点D是该抛物线上一点，且点D的横坐标为4，连BD，点P是线段AB上一动点（不与点A重合），过P作PQ⊥AB交射线AD于点Q，以PQ为一边在PQ的右侧作正方形PQMN，设点P的坐标为（t，0）．（1）求抛物线解析式；（2）若点Q在线段AD上时，延长PQ与抛物线交于点G，求t为何值时，线段QG最长；（3）在AB上是否存在点P，使△OCM为等腰三角形？若存在，求P点坐标，若不存在，请说明理由；（4）设正方形PQMN与△ABD重叠部分面积为s，求s与t的函数关系式．【分析】（1）抛物线表达式可表示为：y＝a（x+1）（x﹣5），将点C坐标代入上式，即可求解；（2）直线AD的表达式为：y＝x+1，则点G、Q的坐标分别为（x，﹣x2+4x+5）、（x，x+1），则QG＝﹣x2+4x+5﹣x﹣1＝﹣（x−32）2（3）分OC＝OM、MC＝OM、OC＝MC三种情况求解即可；（4）①当0＜t≤32时，正方形PQMN与△ABD重叠部分为正方形；②当32＜t≤5时，正方形【解答】解：（1）抛物线表达式可表示为：y＝a（x+1）（x﹣5），将点C坐标代入上式得：5＝a（+1）（﹣5），解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣（x+1）（x﹣5）＝﹣x2+4x+5；（2）如下图：将点D的横坐标代入二次函数表达式得：D（4，5），将A、D的坐标代入一次函数表达式y＝kx+b得：5=4k+b0=−k+b，解得：k=1则直线AD的表达式为：y＝x+1，设点P的坐标为（x，0），则点G、Q的坐标分别为（x，﹣x2+4x+5）、（x，x+1），则QG＝﹣x2+4x+5﹣x﹣1＝﹣（x−32）2故：线段QG最长为254（3）存在，理由：设点P坐标为（x，0），则点Q坐标为（x，x+1），点M、N的坐标分别为（2x+1，x+1）、（2x+1，0），则：OC2＝25，OM2＝（2x+1）2+（x+1）2，CM2＝（2x+2）2+（t﹣4）2，①当OC＝OM时，即：25＝（2x+1）2+（x+1）2，解得：x=115②当OC＝CM时，同理可得：x=2+2③当MC＝OM时，同理可得：x=9故：P点坐标为（115−35，0）或（2+210（4）设：点P坐标为（t，0），则点Q坐标为（t，t+1），点M、N的坐标分别为（2t+1，t+1）、（2t+1，0），①当0＜t≤3正方形PQMN与△ABD重叠部分为正方形，则s＝PN2＝（t+1）2＝t2+2t+1；②当32＜正方形PQMN与△ABD重叠部分为长方形，同理可得：s＝（4﹣t）（t+1）＝﹣t2+3t+4，即：s=t【点评】本题为二次函数综合题，涉及到一次函数、等腰三角形、正方形基本性质等，题目难度不大．7．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A（0，4），顶点B（3，0）．（1）求点D，点C的坐标．（2）求直线BC的解析式．（3）在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．【分析】（1）过点D、点C作DM、CN垂直于x轴，CH垂直于DM，想办法证明△DHC≌△BNC，△BNC≌△AOB即可解决问题；（2）同（1）的方法求出点C的坐标，利用待定系数法求出直线BC解析式；（3）先判断出要使△PCD是等腰三角形，只有PC＝CD，利用中点坐标公式即可得出结论；【解答】解：过点D、点C作DM、CN垂直于x轴，CH垂直于DM，在正方形ABCD中，CB＝CD，∠DCB＝∠DCH+∠BCH＝90°，∵∠HCB+∠BCN＝90°，∴∠DCH＝∠BCN，又∵∠DHC＝∠CNB，在△DHC和△BNC中，CB=CD∠DCH=∠BCN∴△DHC≌△BNC，∴DH＝BN，CH＝CN，同理可证△BNC≌△AOB，又∵点A（0，4），点B（3，0），∴CH＝CN＝OB＝3，DH＝BN＝OA＝4，∴C（7，3），D（4，7）．（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，将C（7，3）、B（3，0）代入得：3=7k+b0=3k+b解得：k=3∴解析式为y=3（3）如图3中，设点P（m，34m−∵C（7，3），D（4，7），∴CD＝5∵△PCD为等腰三角形，且∠BCD＝90°，∴只有PC＝CD＝5，当点P在点C左侧时，∵BC＝CD＝5，∴点P和点B重合，∴P（3，0），当点P在点C右侧时，如图3，∵PC＝5，BC＝5，∴点C是点P的中点，∴P（11，6）．即：满足条件的点P（3，0）和（11，6）．【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是作出辅助线求出点C，D坐标，学会用分类讨论的射线思考问题，属于中考压轴题．8．如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系xOy中，使OA、OC分别落在x、y轴的正半轴上，对角线AC所在直线解析式为y=−53x+15，将矩形OABC沿着BE折叠，使点A落在边OC上的点（1）求点E的坐标；（2）在y轴上是否存在点P，使△PBE为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由直线解析式求出点A，C的坐标，可由勾股定理求出CD的长，设DE＝AE＝x，在Rt△DEO中，得出x2＝32+（9﹣x）2，解方程求出AE＝5，则点E的坐标可求出；（2）△PBE为等腰三角形，可分三种情况：PB＝BE或PB＝EP或BE＝EP，分别建立方程求解即可．【解答】解：（1）∵AC所在直线解析式为y=−53∴令x＝0，y＝15，令y＝0．则−53x+15=0∴A（9，0），C（0，15），B（9，15），∵将矩形OABC沿着BE折叠，使点A落在边OC上的点D处．∴在Rt△BCD中，BC＝9，BD＝AB＝15，∴CD=B∴OD＝15﹣12＝3，设DE＝AE＝x，在Rt△DEO中，∵DE2＝OD2+OE2，∴x2＝32+（9﹣x）2，∴x＝5，∴AE＝5，∴OE＝4，∴E（4，0）．（2）设P（0，m），∵B（9，15），E（4，0），∴PB2＝（9﹣0）2+（15﹣m）2＝m2﹣30m+306，BE2＝52+152＝250，EP2＝16+m2，∵△PBE为等腰三角形，∴①当PB＝BE时，∴PB2＝BE2，∴m2﹣30m+306＝250，∴m＝2或m＝28，∴P（0，2）或（0，28），②当PB＝EP时，∴PB2＝EP2，∴m2﹣30m+306＝16+m2，∴m=29∴P（0，293③当BE＝EP时，BE2＝EP2，∴250＝16+m2，∴m＝±326，∴P（0，326）或（0，﹣326），综合以上可得，点P的坐标为（0，2）或（0，28）或（0，293）或（0，326）或（0，﹣326【点评】此题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，两点间距离公式，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．9．如图，直线L1：y1＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线L1上一点，另一直线L2：y2=12x+b经过点（1）求点P坐标和b的值：（2）若点C是直线L2与x轴的交点，动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动，设点Q的运动时间为t秒．①请写出当点Q运动过程中，△APQ的面积S与t的函数关系式；②求出t为何值时，△APQ的面积等于3；③是否存在t的值，使△APQ为等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）点A、B的坐标分别为：（2，0）、（0，2）；点P（m，3）为直线L1上一点，则﹣m+2＝3，解得：m＝﹣1，故点P（﹣1，3）；将点P的坐标代入y2=12x+（2）①S=12AQ•yP=12（2+7﹣t）=−32t+272；②当S＝3时，即3=−32t+272，即可求解；③分【解答】解：（1）y1＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，令x＝0，则y1＝2，令y1＝0，则x＝2，故点A、B的坐标分别为：（2，0）、（0，2）；点P（m，3）为直线L1上一点，则﹣m+2＝3，解得：m＝﹣1，故点P（﹣1，3）；将点P的坐标代入y2=12x+b并解得：b故：点P的坐标为：（﹣1，3），b=7（2）①S=12AQ•yP=12×3|（2+7﹣t即S=−②当S＝3时，即3=32|解得：t＝7或11；③存在，理由：AP＝32，当AP＝AQ时，则AQ＝32，t＝9﹣32或9+32；当AP＝PQ时，则点Q（﹣4，0），故t＝3；当AQ＝PQ时，设点Q（m，0），则（2﹣m）2＝（﹣1﹣m）2+9，解得：m＝﹣1，故点Q（﹣1，0），则t＝6；综上，t＝9﹣32或9+32或3或6．【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（2）③，要注意分类求解，避免遗漏．10．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，请问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，3），根据M、C的坐标可求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：①当CP＝PM时，②当CM＝MP时，③当CM＝CP时，可分别得出P的坐标；（3）根据轴对称﹣最短路径问题解答．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），∴a+b+3=09a−3b+3=0解得：a=−1b=−2∴所求抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在，如图1，∵抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，∴其对称轴为x=−2∴设P点坐标为（﹣1，a），∴C（0，3），M（﹣1，0），PM2＝a2，CM2＝（﹣1）2+32，CP2＝（﹣1）2+（3﹣a）2，分类讨论：（1）当PC＝PM时，（﹣1）2+（3﹣a）2＝a2，解得a=5∴P点坐标为：P1（﹣1，53（2）当MC＝MP时，（﹣1）2+32＝a2，解得a=±10∴P点坐标为：P2(−1，10（3）当CM＝CP时，（﹣1）2+32＝（﹣1）2+（3﹣a）2，解得a＝6，a＝0（舍），∴P点坐标为：P4（﹣1，6）．综上所述存在符合条件的点P，其坐标为P(−1，10)或P(−1，−10)或P（3）存在，Q（﹣1，2），理由如下：如图2，点C（0，3）关于对称轴x＝﹣1的对称点C′的坐标是（﹣2，3），连接AC′，直线AC′与对称轴的交点即为点Q．设直线AC′函数关系式为：y＝kx+t（k≠0）．将点A（1，0），C′（﹣2，3）代入，得k+t=0−2k+t=3解得k=−1t=1所以，直线AC′函数关系式为：y＝﹣x+1．将x＝﹣1代入，得y＝2，即Q（﹣1，2）．【点评】本题主要考查了二次函数的综合知识，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，要注意的是（2）中，不确定等腰三角形哪条边是底边的情况下，要分类进行求解，不要漏解．11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的解析式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，设点D的横坐标为m，△ADE的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由S＝S△DHA+S△DHE=12×DH（3）分PA＝PE、PA＝PE、PE＝AE三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x+4）（x﹣2），将点C的坐标代入上式得：6＝a（0+4）（0﹣2），解得a=−3故抛物线的表达式为y=−34（x+4）（即y=−3（2）设直线AE的表达式为y＝kx+t，则0=−4k+tt=−2，解得k=−过点D作y轴的平行线交AE于点H，设点D的坐标为（m，−34m2−32m+6），则点H（m则S＝S△DHA+S△DHE=12×DH×OA=12（−34m2−32m+6+1（3）存在，P点的坐标为：(−1，1)，(−1，±11)由y=−34x设P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求PA=9+n2当PA＝PE时，9+n解得，n＝1，此时P（﹣1，1）；当PA＝PE时，9+n解得，n=±1，此时点P坐标为(−1，±当PE＝AE时，1+(n+2)解得，n=−2±19，此时点P坐标为