2025年高考数学一轮复习：第六章 数列

第六章

数列

第一节数列的概念

［学习要求］1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表法、图象法、公式法）.2.T

解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.3.能够利用即与邑的关系求通项公式四.4.掌

握利用递推关系构造等差数列或等比数列求通项公式。”的方法.

■必备知识自主梳理

［知识梳理］

知识点一数列的有关概念

1.

概念含义

数列按照确定的顺序排列的一列数称为数列

数列的项数列中的每一个数叫做这个数列的项

如果数列｛四｝的第n项④与它的序号〃之间的对应关系可以用一个式子来

通项公式

表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式

数列｛四｝从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列｛斯｝的前n项和，记作

前n项和

Sn，BPSn=,,•+〃］

2.数列的分类

分类标准类型满足条件

有穷数列有限多项

项数

无穷数列无限多项

递增数列%+1———4〃

项与项间的大小

其中〃£N

关系

递减数列4+1———0n

常数列4+1=0"

从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于

摆动数列

它的前一项的数列

知识点二数列的表示方法

列表法列表格表示〃与为的对应关系

图象法把点（几,为）画在平面直角坐标系中

通项公式把数列的通项使用公式表示的方法

公式法

使用初始值和狐+1=/（Q"）或。2和（诙，1）等表

递推公式

示数列的方法

［小题诊断］

1.已知数列1,2,。，国,2…,贝在这个数列中的项数是（）

A.16B.24

C.26D.28

答案：C

2.已知数列｛0“｝的前"项和为S”且用=层+",则°2的值是（）

A.2B.4

C.5D.6

答案：B

解析：由题意，$2=22+2=6,Si=l+1=2,所以02=$2—51=6—2=4.

3.（多选）已知数列｛斯｝的通项公式为为=9+12",则在下列各数中，是｛阳｝的项的是

（）

A.21B.33

C.152D.153

答案：ABD

解析:由数列的通项公式得，避=21,<72—33,<212=153.

、，1、

4.在数列｛aj中，°i=3,斯+1=。“+拓7m，则故=，通项公式。”=.

学生用书1第128页

考点一用观察法求通项公式

［例1］写出下列各数列的一个通项公式.

1x2,2x3'3x4*4x5

(2)弓，2,5，8,

（3）5,55,555,5555,

［解］（1）这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为

n

负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是隔=（-1）xn（?i+1）.

（2）数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一变形为分数再观察.

2

1491625n

即5，2,2»~2,分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为a„=y.

（3）将原数列改写为靓9,1X99,衣999,…，易知数列9,99,999,…的通项为10"

.5

—1,故所求的数列的一个通项公式为a”=©（10"-1）.

I方法总结I

由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略（转化为特殊数列）、联想（联想常见

的数列）等方法.

1.常用方法：观察（观察规律）、比较（比较已知数列）、归纳、转化

2.具体策略：（1）分式中分子、分母的特征；（2）相邻项的变化特征；（3）拆项后的特

征；（4）各项的符号特征和绝对值特征；（5）化异为同，对于分式还可以考虑对分子、

分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；（6）对于符号交替出现的情况，可用（

-1）及或（-1）k+1,keN*处理.

H跟踪训练

1.根据下列数列的前5项，写出数列的一个通项公式:

解：(1)数列可变形为”,小…，

1

u'an~2n-r

(2)数列可变形为［,JIJl，JI，A，…，即A，专，弥‘盍,…，

1

•■册=

考点二由即与s“的关系求通项公式

［例2］(1)已知数列｛.“｝的前〃项和为S”且满足S"=2"+2—3,则a“=.

(2)(2024•广东湛江模拟)已知S”为数列｛诙｝的前〃项和,且S〃+2%=2(neN*),则

C1n—.

［答案］⑴｛HL⑵©"

［解析］(1)根据题意，数列｛。“｝满足£=2"+2—3,

当〃》2时，有％=S"—S"T=(2"+2—3)-(2«+1-3)=2"+1,

(5,n=1,

当〃=1时，有。i=Si=8—3=5,不符合。〃=2〃+i,故=L九+1n>2

u

(2)：Sn+2an=2(«eN*),

2

・・。1=5，S〃—I+2Q〃­i=2(〃22),

:・Sn—S“—I+2Q〃-2an-［=0(〃22),

=

••3ctn2,un—\(M22),

a222

=3(〃22),.•.数列缶"｝是以§为首项，5为公比的等比数列，

..斯一3乂⑺一⑺.

学生用书1第129页

I方法总结I

1.已知S"求％的3个步骤

（1）先利用。1=&求出为；

（2）用〃一1替换S,中的〃得到一个新的关系，利用a“=S“一S（“T）（心2）便可求出当“

22时a„的表达式；

（3）注意检验«=1时的表达式是否可以与«>2时的表达式合并.

2.S“与为关系问题的求解思路

根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.

（1）利用a“=S〃-S（〃T）（42）转化为只含S“，S（“T）的关系式，再求解；

fS—Si=a,

（2）利用5二_12=»，3）转化为只含。〃，砌）的关系式，再求解.

门跟踪训练

2

2.已知数列｛“〃｝的前n项和Sn=2n—3nf则数列｛四｝的通项公式an=.

答案：4〃一5

解析：〃i=Si=2—3=—1,

22_

当〃22时，an—Sn—Sn-\=（2H—3/7）—[2（〃-1）—3Cn-1）]=4n5.

Vtzi=-1也适合上式，.,・森=4几一5.

3.已知数列｛〃〃｝的前〃项和S〃满足S〃+Q〃=—2,则数列｛Q〃｝的通项公式.

解析：当〃=1时，51+（71=2^1=_2,解得的=-1;

-

由S〃+恁=—2,可知当〃22时，Sn-\-\~an-\=2,两式相减，得2册一即_1=0,即恁=,

1小九一1

an_\（九22）,所以数列｛斯｝是首项为-1,公比为2的等比数列，所以斯=一（2）.

考点三由数列的递推关系求通项公式

[例3]（1）若数列应｝满足幻=1,且对于任意的"GN嘟有斯+1=斯+”+1,则即

cn

A.n2B.y

(n+1)n(n+1)

C.-2D.-2

Yt—1

(2)在数列｛a”｝中,田=1,a„=—^-a„-\("三2,〃GN*),则数列｛a〃｝的通项公式

为.

O1

［答案］(1)D(2)a„=n

［解析］(1)由。〃+1—知

。2—=2,

的一。2=3,

。4-。3=4,

un-cin—\—n9

以上等式累加知an—勾=2+3+…+〃，

.n(n+1)

••an2•

..九一1

(2)Van=~^~an-i(加22),

.an_n—1

••二一丁’

.an-ln—2an-2n—3a21

••布丁R'立「力，…，工—0

以上(n-1)个式子相乘得，

an12n-11

J

a123nn

._ai_l

•"<a«=V=n-

当"=1时，<7i=l,符合上式，

I方法总结I

由数列的递推关系求通项公式的常用方法

1.已知旬，且品一41T=/（几）（九＞2）,可用“累加法”求％

an

2.已知4(旬H0),且--=/(n)(n>2),可用“累乘法”求时.

an-i

用跟踪训练

4.在数列｛〃〃｝中，句=2,4〃+1=恁+山(1+：),贝II恁=()

A.2+lnnB.2+(〃-1)Inn

C.2+«lnnD.l+n+lnn

答案：A

解析：因为恁+1—。〃=111七一=111(n+1)—Inn,

所以a?—Qi=ln2—In1,

的一〃2=ln3—In2,

44-〃3=ln4—In3,

an—an~i=\nw—In（九一1）（九22）.

把以上各式累加得an—〃i=lnn—In1,

则恁=2+ln〃（麓22）.因为q=2满足此式，

所以an=2+\nn.

5.（2024•山东潍坊模拟）设数列｛四｝的前〃项和为用,勾=1,｛&+〃魅｝为常数列，则诙=

（）

12

3+1)

15-2n

C，（n+l）（n+2）

答案：B

解析：法一（累乘法）：因为数列｛隔｝的前〃项和为S〃且的=1,

所以SI+1XQI=1+1=2.

因为｛&+〃斯｝为常数列，所以由题意知,

S〃+加z〃=2.

a2a3a4an12n—1

当〃22时，（〃+1）a=（H—1）a-\,从而UT7TTT,

nnVC]""2"3"九_1"*，cI工

2

所以Q〃=而B（*），当〃=1时（*）式成立，

、2

a=

所以nn（^n+1y

法二（特值验证法）：由供=1,{S“+mz〃}为常数列，可得Si+lX〃i=l+l=2,

故Sn+nctn~~2.

当〃=1时，6Zi=l,排除C;当及=2时，82+2X02=2,

1

即可+。2+242=2,即3a2=1,〃2=H，A,B,D都满足；

1

当〃=3时，&+3的=2,即1+§+4%=2,

1

解得的=%,排除A,D.

数列的函数特性

⑥角度（一）数列的单调性

［例1］已知a｝是递增数列，且对于任意的"GN*都有隔=”2+助恒成立，则实数力的取

值范围是.

［答案］（13,+°°）

［解析］由题意可知，—即=（几+1）2+A（〃+1）—n2—筋=2〃+1+九

,.•｛斯｝是递增数列,.,・斯+1—%>0,且当〃=1时，a〃+i一不最小,

6z„+i一四三父一。1=3+丸>0,「.丸》一3,即实数2的取值范围是（-3,+00）.

I方法总结I

解决数列的单调性问题的3种方法

根据—14〃的斗号引断数列Mg：

作差比较法

是递增数列、递减数列或是常数列

根据血土l（a〃>0或a”V0）与1的大

作商比较法

小关系进行判断

数形结合法结合相应函数的图象直观判断

学生用书1第130页

您角度（二）数列的周期性

1+4

［例2］若数列｛“满足的=2,恁+1=石］N*,则。2024的值为（）

11

A.2B.13C.12D.g

［答案］D

11

1+21-311~211+3

［角牛籽由?^思决口，d12,。2］_23,。31+3290413，。512,

1+21-3

1+21

=］—2=—3,…，因此数列｛斯｝是周期为4的周期数列，所以。2024=4506X4=44=）.

I方法总结I

解决数列周期性问题的方法

先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期求值.

%跟踪训练

=

1.（2024•甘肃白银模拟）在数列｛%J中，若。1=2,cinl—~（H>2）,则。2024=

（）

1

A.l1B，2

C.2D.1

答案：B

—=9

解析：由题意得的=2,a2=11~22°3=1一％=1-2=—1,

1

44=1-7=1+1=2,....

故｛%｝为周期数列，一周期为3,故的024=4674X3+2=。2=手

2.已知数列｛斯｝的通项公式为a“=五二五，〃GN*,则数列｛0“｝前20项中的最大项与最小项

分别为.

答案：3,-1

加7.U_2n—19_2n—21+2_|22

角牛析：an=2n-21=2n-21=(2n-2V当几211时五二五＞0,且单调递减；当

2

时，五二五＜0,且单调递减.因此数列｛。“｝前20项中的最大项与最小项分别为第

11项，弟10项,则。［1=3,可0=—1.

学生用书1第348页

■课时作业巩固捷年

［A组基础保分练］

24816

1.(2024•山东青岛模拟)写出数列1,g,力不，…的一个通项公式诙=()

2"2"-1

A-2n-1B.2nT

2n2"T

^c•-2-九---+-1uD・2--n-+--l--

答案：B

.L.,24816

斛析：数列1,g,7,y,,,,

2^—1

则其分子为2"T,分母为2"—1,则其通项公式为五三

2.（2024•甘肃酒泉模拟）已知数列｛aj的一个通项公式为恁=（―1）"-2"+a,且的=一

5,则实数。等于（）

A.lB.3

C.-lD.-3

答案：B

解析：因为(—1)n'2n-\-a,的=—5,

所以一23+〃=—5,解得4=3.

3.已知数列｛4｝的前〃项和为S〃=/+〃+l,则的=()

A.5B.6

C.7D.8

答案二B

解析：因为&=/+〃+1,所以03=83—52—6.

4.在各项均为正数的数列｛〃〃｝中，对任意的加，〃£N*,都有即+"=砧斯.若恁=64,则砌

=()

A.256B.510

C.512D.1024

答案：C

解析：由题意可得。6=的，。3=64.<4〃>0,/.的=8,

・・、9=46'〃3=64X8=512.

[—2

5,数列｛%｝满足由=。，斯+产中("GN*).若数列｛%｝是常数列,则。=()

A.-2B.-1

C.OD.(-1)"

答案：A

“2—222

解析：因为数列｛恁｝是常数列，所以即q(q+l)=6Z2—2,得q=一

2.

fa+3,ri为奇数，

6.已知数列｛a〃｝满足的=1,^+i=|2a+1,几为偶数，则恁=()

A.16B.25

C.28D.33

答案：C

解析：由题意得，当〃=1时，42=1+3=4;当〃=2时，43=2X4+1=9;当〃=3时，a4

=9+3=12;当〃=4时，45=2X12+1=25;当〃=5时，^=25+3=28.

an+l~^

7.数列两足=—3,an=%其刖〃项积为〃，则72024=()

f+1丁工

1

A，2B.1

3

C，2D.—3

答案：B

1+a

"九十厂1pn.1

解析：由Z7,得斯斯+i+a〃=""+i—1,即即+i=.又为=-3,a2=一,,。3

=§,。4=2,〃5=—3,・••数列｛。篦｝是周期数列,周期为4,且〃1。2。3。4=1,**,^2024~74X506

=1.

7

9n—9n+2

8.（多选）已知数列｛四｝的通项公式为斯=―2——（〃GN*）,则下列结论正确的是

9n—1

（）

27

A.这个数列的第10项为五

97

B.砺是该数列中的项

C.数列中的各项都在区间猿1）内

D.数列｛斯｝是单调递减数列

答案：BC

9n2-9n+2(3n-l)(3n-2)

解析:

9n2-1(3n—l)(3n+1)

_3九一2

~3n+lf

28

令〃=10得Qio=五，故A错误;

A3n-297』

令E=痂得"=33"*,

97

故痂是数列中的项，故B正确；

mL3九—23n+1—3[3

因为““=371+1=3九+1=]~3n+lf

又〃£N*.

所以数列｛诙｝是单调递增数列，

所以;Wa〃vi,故C正确，D不正确.

2

9.设数列｛恁｝的前〃项和为S〃，Sn=n+n（〃£N*）,则恁=.

答案:2n

解析：当〃=1时，ai=g=2,当〃22时，S”=（H—1）2+（«—1）=n2—n所以

n—if

=S—S^=2n,的=2也符合上式，所以恁=2〃.

n"-1

10.（2024•上海模拟）数列｛4｝对任意正整数力满足为助…恁=层，则数列｛4｝的通项公式

解析：当n=l时，〃i=l;

2

当〃22时，由…/可得…0一1=（九一1），

1,n=l,

2

两式作商可得a〃=U又的=12不符合上式，所以四n

；^2.n>2.

t（n—1）

11.已知数列｛四｝满足的=1,且恁=〃（斯+1—4〃）（〃金N*）,则的=，an

答案：3n

._,/、an+1n+1,,、,anan-lan-2a2

斛析：由恁=〃（魅+1-恁）,可付=—==~,则当〃22时，an=~.......丁'。1=

un"un-lun-2un-3U1

nn—1n—22.

==

/…X,X1=〃，.\a3=3.ai=lann,ann.

neN

12.已知数列｛aj满足：a„+i=L+2a<a^）•若。3=3,则为=.

答案：】

解析：由题意，当恁时，an+i—an=2,数列｛册｝为公差d=2的等差数列，则的=的+

2X2=3,ai=—1,此时不满足为〈的，故不符合题意；当源2al时，数列｛斯｝是等比数

列，此时公比夕=今出=2,则的=〃1，22=3,解得。i=j,满足恁所以。1=1.

学生用书1第349页

[B组能力提升练]

/6\n

13.（多选）已知数列｛〃“｝的通项公式为a“=（〃+2）•「）,则下列说法正确的是（）

A.数列｛a„｝的最小项是a\

B.数列｛a“｝的最大项是04

C.数列｛斯｝的最大项是的

D.当",5时，数列｛斯｝递减

答案：BCD

(a>a

解析：假设第"项为｛四｝的最大项，则〃

｛un-Un+V

f6\n/gxH—1

(n+2)-k]>(n+，

即।/6\n/6\n+1

(n+2)•目>(n+3),

仇VS

所以［nG4,又〃£N*,所以〃=4或〃=5,故在数列｛“〃｝中，。4与。5均为最大项，且〃4=

65

的=不，当〃25时，数列｛恁｝递减.

14.已知数列｛4｝满足的=33,=工=2,则2的最小值为（）

A.10.5B.10

C.9D.8

答案：A

a九+1一

解析：由­=2得恁+i—an=2nf・•・〃〃=（%—4）+（%—。2）+（。4-%）+…+

=2

（＜1rl一a九_1）+〃1=2+4+6+…+2（n—1）+的=F33H-〃+33,

―:+33=1+?一］（九QN）.当（0,A/33）时，T单调递减；当（祁司+

8）时，T单调递增•又〃£N*,经验证，及=6时，最小值为105

15.在数列｛恁｝中，右对任意的〃£N*均有+〃场+2为定值，且〃［=2,。9=3,〃98=

4,则数列｛a〃｝的前100项的和Sioo=（）

A.132B.299

C.68D.99

答案：B

解析：因为对任意的均有4"+4"+1+恁+2为定值，所以恁+。〃+1+即+2=。〃+1+。〃+2

+a〃+3,所以a”+3=a〃，所以数列｛a“｝是周期数列，且周期为3,故。2=。98=4,色=的=

3,〃100=。1=2,所以Sioo=33（可+奥+的）+aioo=299.

16.在数列｛〃〃｝中，的=1,a=(小恁)，b=(an+1,〃+1),且〃_L〃，则Roo等于

()

100100

A.99B.一99

C.100D.-100

答案：D

QQI

解析：因为=(n,an'),b=(an+1,〃+l)且。_16,所以〃〃++(〃+l)an=0,

..an+ln+1a22a3_3100,,0100

z—,1丽以上各式左右分别相乘，得飞-

所以=---n?所以aT，石=一1

ani

=—100,因为供=1,所以对00=一1。0.

17.（多选）在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两

项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，将数列1,2

进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；第〃（九eN*）次

得到数列1,xi，M，m，…，Xk，2.记a“=l+xi+x2H1■弘+2,数列｛%J的前〃项和为

Sn，则（）

A.左+1=2”

B.a〃+i=3a“一3

D.5„=|(3n+1+2n-3)

答案：ABD

解析：由仍有3项，念有5项，的有9项，的有17项，…，故时有2〃+1项，所以％+2

=2"+1,即4+1=2",故A正确；由的=3+3,即=3+3+9,/=3+3+9+27,雨=3

n+1

3(1—3与3+3

123,,,w=

+3+9+27+81,…，tzM=3+3+3+3++33+一匚三一=~,故C错误；由

3n+1+33n+2+31

=2，可付。及+1=2=3见-3,故B正确；由5〃=。1+。2+…+。〃=2

(3+3+3+…+3)+彳=5*^^-+彳=%(3++271—3),故D正确.

n

18.(2024•广东惠州调研)已知数列｛斯｝满足的=1,an+i~2an=2(»eN*),则数列｛%｝

的通项公式为=.

答案：n-2n-l

an+lan1ai1fal1

解析：2魅=2〃两边同时除以2〃+i,可得齐互一•又5=5，・,•数歹小招nj是以5为首

1a11n

项，2为公差的等差数列，n=2+—1）X2=2，

n

：.an=n-2~\

19.已知数列｛4｝满足41="|,且四+i=v；i，则数列a尸.

套案.一--

日木・3n-l

解析：由恁+1=/^两边取倒数可得;=，+3,即F——，=3,所以数列出是等差数

oun十"*■un+lunun+lunlunJ

11

列，且首项为2,公差为3,所以7=3"—1,所以。,,=藐0.

unnN1

20.已知[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2.3]=2,[—1.7]=—2.在数列缶“｝中，a„=[lg

77],记S”为数列｛a“｝的刖〃项和，则。2024=；$2024=.

答案：34965

解析：..•斯=[坨"],

二当1W〃W9时，an—[1gri\=0;

当10W〃W99时,a„=[lg«]=1;

当100够〃W999时,a„=[lg«]=2;

当1000W〃W9999时，a„=[lgn]=3,

Z.a2024=[lg2024]=3,5*2024=9X0+90X1+900X2+1025X3=4965.

学生用书I第130页

第二节等差数列

[学习要求]1.能够利用公式求等差数列中的指定项、前〃项和.2.会利用等差数列的定

义、等差中项证明数列是等差数列.3.掌握利用等差数列的性质求等差数列指定项（或其

项数）、公差；利用等差数列的单调性求前"项和的最值.

团必备知识

[知识梳理]

知识点一等差数列的有关概念

1.定义

如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这

个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母4表示.

2.等差中项

由三个数a,A,6组成的等差数列，这时/叫做。与6的等差中项,根据等差数列的

定义可知，.

知识点二等差数列的有关公式

1.通项公式

an—a\+（n—1）d=nd+（m一d）n当dWO时，a”是关于"的一次函数.

2.前n项和公式

S"=2------------"S,=〃ai+喂当=2层+（4—当时，S“是关于n的

二次函数，且没有常数项.

知识点三等差数列的常用性质

1.通项公式的推广：〃"=〃加+（〃一加）d（〃，加£N*）.

2.若｛四｝为等差数列，且左+/=加+〃（k,I,m,〃£N*）,则。g+q=。堀+&.

3.若｛a〃｝是等差数列，公差为d,则少，恁+加，恁+2加，…（左，冽6N*）是公差为md的

等差数列.

4.数列治，S2—Sw,83^—82加，…也是等差数列.

5.S2〃-1=（2〃—1）Cln.

6.等差数列｛斯｝的前n项和为S",用为等差数列.

学生用书1第131页

［小题诊断］

1.在等差数列｛。“｝中，已知。5=11，。8=5,则。10等于（）

A.-2B.-1

C.lD.2

答案：C

11=%+4d,=19,

解析：设等差数列｛魅｝的公差为d,由题意得，解得

5=%+7d,d=-2,

an=—2H+21,

・・・对0=—2X10+21=1.

2.在等差数列｛为｝中，已知的+%+。7=15,则该数列前9项和&=()

A.18B.27

C.36D.45

答案：D

旬+。92a§

解析：在等差数列｛斯｝中，的+。5+。7=3。5=15,所以05=5,所以$9=-2—X9=-^-X9

=9(75=9X5=45.

3.(2021・上海卷)已知等差数列｛许｝的首项为3,公差为2,贝|田0=.

答案：21

解析：设公差为d,则aw—ax+9d—1\.

4.等差数列｛斯｝的前"项和为%若生=2,$3=12,则他=.

答案:12

解析：设等差数列｛斯｝的公差为d,则S3=3ai+3d,所以12=3X2+34,解得4=2,所以

。6=。1+5<7=2+5*2=12.

值关键能力重点探究

考点一等差数列基本量的计算

［例1］(2020•全国II卷)记&为等差数列｛%｝的前〃项和.若可=-2,a2+a6=2,则与o

［答案］25

［解析］法一■:设等差数列｛恁｝的公差为d,则由。2+。6=2,得々i+d+ai+5d=2,即一4

入10x9

+6d=2,解得d=l,所以Sio=lOX(-2)+——Xl=25.

-a

a4i

法二：设等差数列｛〃〃｝的公差为d,因为。2+。6=2。4=2,所以〃4=1,所以d=4T=

1-(-2)10X9

-^―=1,所以Sio=lOX(-2)H■—Xl=25.

I方法总结I

解答等差数列运算问题的通法

1.等差数列运算问题的一般求法是设出首项%和公差d,然后由通项公式或前n项和公式

转化为方程（组）求解.

2.等差数列的通项公式及前几项和公式，共涉及的,an,d,n,五个量，知其中三个就

能求另外两个，体现了方程的思想.

□.跟踪训练

1.数歹M三l｝是等差数列，且。1=1，。3=—］，那么。2024=.

,一1oil

答案：一T5记

2）122

（门小的公差为d,因为。1=1,%=—土所以％TT=1，01=3，所以

222

3=1+24,解得d=1,所以a+］=1+〃—1=〃，所以—19所以024=2024—1=一

20221011

2024—-1012,

考点二等差数列的判定与证明

［例2］（2021•全国甲卷）已知数列缶〃｝的各项均为正数，记邑为｛阳｝的前〃项和，从下面

①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.

①数列｛。"｝是等差数列；②数列｛百｝是等差数列；

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

［解］选①②作为条件，证明③.

设等差数列｛册｝的公差为d,因为｛和｝是等差数列，所以20=5+0,即2j24+d

3al+3d,两边平方，得4（2oi+d）=〃i+3ai+3d+2jai（3ai+3d）,整理得

4田+2=2，。1（3%+3d）,两边平方，得16，+8〃0+建=4（3a；+3〃id）,化简得4aj—

1d~~0f即（2。1d）2=0,所以2=2。1,则42^。1+"=3。1.

选①③作为条件，证明②.

设等差数列｛四｝的公差为d.

因为。2=3。1,即/+d=3ci\,所以d=2a].

2

所以等差数列｛。”｝的前n项和Sn=nai~\----%一d=na\~\----3-----2ai=nai.

又可>0,所以再=〃网

则JS九+1—平^=(〃+1)所以数列｛/J是公差为的等差数列.

选②③作为条件，证明①.

设等差数列｛、尸；｝的公差为d,因为小?=[%，^7=/1+%=/1+3a1=2^/^1,所以d

a22

—nyji,所以5"="2。］,当“22时，an—S„~Sn-i—nai—(〃-1)a\—(2«—1)a\,且

当”=1时，上式也成立，所以数列｛斯｝的通项公式为a“=(2«—1)ax,则a“+i—a〃=

(2〃+l)a\~(2〃一1)a\—2a\,所以数列｛a“｝是公差为2al的等差数列.

|方法总结|

等差数列的判定与证明的方法

方法解读适合题型

对于数列｛%｝,6〃一斯1(”>2.

定义法〃GN')为同一拿於=右是等

解答题

差数列

中的证

对于数列｛a“｝,2a〃—1=。〃+

等差明问题

一2(〃=3,〃£N*)成立㈡(a〃｝

中项法

是等差数列

a=pn+q(.pq为常数)对任意

通项n9

的正整数〃都成立㈡｛斯｝是等

公式法选择题、

差数列填空题

前n验证S“=A〃2+BMA.B为常中的判

项和数)对任意的正整数〃都成立㈡定问题

公式有｛%｝是等差数列

学生用书1第132页

出跟踪训练

21

2.(2021•全国乙卷)记S"为数列国”｝的前〃项和,2为数列｛&｝的前〃项积,已知底+了=

Dnun

2.

(1)证明：数列出,｝是等差数列；

(2)求｛&｝的通项公式.

(1)证明：由bn=S