专题7-1 均值不等式及其应用-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练

专题7-1均值不等式及其应用目录TOC\o"1-3"\h\u【题型一】基础型：公式“取等”条件 2【题型二】基础型：型 3【题型三】凑配“对钩”型 4【题型四】常数代换型 5【题型五】分式型凑配 5【题型六】“积、和”化“1”型 6【题型七】“和、积”解不等式型 7【题型八】消元型 7【题型九】分子代换分离型 8【题型十】均值用两次 8【题型十一】齐次同除型 9【题型十二】多元均值 10【题型十三】代数式换元 11【题型十四】三角函数式换元 11【题型十五】“万能K”法 12【题型十六】因式分解型 12【题型十七】权方和不等式应用 13【题型十八】复杂的求“和”型 14【题型十九】公式扩展：不等式链 14真题再现 15模拟检测 16综述：均值不等式1.（1）若，则(2)若，则（当且仅当时取“=”）2.(1)若，则(2)若，则（当且仅当时取“=”）(3)若，则(当且仅当时取“=”）3.若，则(当且仅当时取“=”）;若，则(当且仅当时取“=”）若，则(当且仅当时取“=”）4.若，则(当且仅当时取“=”）若，则(当且仅当时取“=”）5.若，则（当且仅当时取“=”）【题型一】基础型：公式“取等”条件【典例分析】（2022·新疆·乌苏市第一中学高三开学考试）下列函数，最小值为2的函数是（

）A． B．C． D．【提分秘籍】基本规律基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方【变式演练】1.（2022·全国高三课时练习）已知，用基本不等式求的最小值时，有，则取得最小值时的值为（

）A． B． C． D．32.（2021·新疆·乌鲁木齐市第四中学高三模拟）已知正数，满足，则取得最小值时，的值为（

）A．2，2 B．2，4 C．4，4 D．4，23.（2021·全国高三课时练习）在均值不等式中，令，，则得到的对应结论为（

）A．如果，都是正数，那么，当且仅当时，等号成立B．如果，都是正数，那么，当且仅当时，等号成立C．如果，都不为零，那么，当且仅当时，等号成立D．如果，都不为零，那么，当且仅当时，等号成立【题型二】基础型：型【典例分析】（2021·全国高三专题练习）已知，，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【提分秘籍】基本规律形如，要分类讨论正负1.若，则(当且仅当时取“=”）2.若，则(当且仅当时取“=”）【变式演练】1.（2021·全国高三课时练习）是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2.（2022·全国高三专题练习）若，，则的最小值是（

）A． B． C．4 D．23.（2021·全国高三课时练习）代数式的最小值是（

）．A．4 B．2 C．k D．不能确定【题型三】凑配“对钩”型【典例分析】（2021·全国高三专题练习）若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为（

）A．（－1，4] B．（0，4） C．（0，4] D．（1，4]【提分秘籍】基本规律凑配“对钩”型：添常数凑配.【变式演练】1.（2022·甘肃·兰州市第二中学高三期末）若，则的最小值为（

）A． B． C． D．2.（2021·云南省楚雄天人中学高三阶段练习）当时，（

）A．有最大值1 B．有最大值2 C．有最小值5 D．有最小值3.（2021·全国高三课时练习）代数式的最小值是（

）．A．4 B．2 C．k D．不能确定【题型四】常数代换型【典例分析】（2021·全国高三专题练习）已知x>0，y>0，且＋＝1，若恒成立，则实数m的取值范围是（

）A．m≤－2或m≥2 B．m≤－4或m≥2C．－2＜m＜4 D．－2＜m＜2【提分秘籍】基本规律条件和所求式子中有与a+b，可以借助m=来来构造替换，进而展开用均值不等式【变式演练】1.（2021·江苏高三单元测试）已知，且，若对任意的恒成立，则实数的取值不可能为（

）A． B． C． D．22.（2022·全国高三专题练习）已知，，且，则的最小值是（

）A． B．2 C．9 D．43.（2022·全国高三专题练习）若正数满足，则的最小值是（

）A． B． C．5 D．6【题型五】分式型凑配【典例分析】（2021·河南开封高三模拟）若正数，满足，则的最小值是（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律形如a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+m，再利用“1”的代换来求解。其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。【变式演练】1.（2022·甘肃·张掖市第二中学高三期末）已知两个正实数，满足，则的最小值是（

）A． B． C．8 D．32.（2021·江苏淮安高三模拟）当0<x<1时，最小值为（

）A．0 B．9 C．10 D．183.（2021·全国高三专题练习）已知实数x，y满足，且，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．【题型六】“积、和”化“1”型【典例分析】（2022·全国高三专题练习）已知，，，则的最小值为（

）A．2 B．3 C． D．【提分秘籍】基本规律有和有机无常数型等式，可以同除积，再进行“1”的代换【变式演练】1.（2022·湖北宜昌高三模拟）已知为正实数，且，则的最小值是（

）A． B． C． D．2.（2021·黑龙江·铁人中学高三模拟）已知，则和的最小值分别是（

）A．16，32 B．16，64 C．18，32 D．18，643.（2021·湖南岳阳高三模拟）已知，，且，则的最小值是（

）A． B． C． D．【题型七】“和、积”解不等式型【典例分析】（2022·河南三门峡高三期末）若正实数，满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律形如求型，可以对“积pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的“和”的系数系数，如下：【变式演练】1.（2021·江苏高三专题练习）若正实数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．2.若实数，满足，则的最大值是（）A．12 B． C．8 D．3.已知，为正实数，且，则（多选题）A．的最大值为2B．的最小值为4C．的最小值为3 D．的最小值为【题型八】消元型【典例分析】（2021·全国高三单元测试）已知，，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律如果不容易直接观察出均值，可以反解代入消元，在构造“单变量”均值形式求解【变式演练】1.（2021·重庆八中高三模拟）已知，，，则的最小值为（

）A．8 B． C．9 D．2.（2022·山东临沂高三期末）已知，且，则有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值3.（2021·广东·广州外国语学校高三阶段练习）已知正数x，y满足x2+2xy-3=0，则2x+y的最小值是（

）A．1 B．3C．6 D．12【题型九】分子代换分离型【典例分析】已知正实数满足，则的最小值是（）A． B． C． D．【变式演练】1.已知正数a，b满足，则的最小值是___________.2.已知正数满足，则的最大值是（）A． B． C．1 D．3.若正实数x，y满足2x+y=2，则的最小值是_____．【题型十】均值用两次【典例分析】设a、b、c是正实数满足，则的最小值为______．【提分秘籍】基本规律一般情况下均值用两次，要保证相同字母“取等”条件和数值一致。【变式演练】1.设，，则当___________时，的最小值为___________.2.若，则的最小值为____________．3.是不同时为0的实数，则的最大值为（）A． B． C． D．【题型十一】齐次同除型【典例分析】若a，b均为正实数，则的最大值为A． B． C． D．2天津市南开区2019届高三上学期末数学试卷（文)【提分秘籍】基本规律一般情况下，满足（1）分式；（2）分子分母齐次。则可以同除构造单变量来求最值。【变式演练】1.已知，，则的最小值为____．2.函数的最大值为（）A. B. C. D.3.已知，，则的最大值是．【题型十二】多元均值【典例分析】己知，，，且，则的最小值为．【变式演练】1.已知正数满足，则的最小值是()A． B． C． D．2..设是三个正实数，且，则的最大值为_______．3.（2021·全国高三专题练习）设且不等式恒成立，则实数t的最大值为（

）A．13 B．6 C．8 D．62.【题型十三】代数式换元【典例分析】（2019·天津高考模拟（文））已知，若点在直线上，则的最小值为__________【变式演练】1.（黑龙江大庆实验中学高三模拟）设为正实数，且，则的最小值为__2.若实数x,y满足,则的取值范围是．3.设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为（）A． B． C． D．【题型十四】三角函数式换元【典例分析】已知实数x,y满足方程x2+y2+2x2y=0，则|x|+|y|的最大值为A.2 B.4 C. D.【变式演练】1.已知x2−23xy+5y2.（2021嘉兴期末）已知实数x,y满足，则的取值范围是___3.设a，b∈R，a2+2b2=6,则a+b的最小值是().A.B.C. D.【题型十五】“万能K”法【典例分析】（2021·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习）已知，若，则的最小值是（

）A．8 B．7 C．6 D．5【提分秘籍】基本规律一般情况下的“万能K法”设K法的三个步骤：⑴、问谁设谁：求谁，谁就是K；⑵、代入整理：整理成某个变量的一元二次方程（或不等式）；⑶、确认最值：方程有解（或不等式用均值放缩），≥0确定最值。【变式演练】1.已知正数满足，则的最大值为__________．2.已知，若，则的最小值是（）A. B. C. D.3.已知x+y=1x+4yA．53B．9C．4+26【题型十六】因式分解型【典例分析】若实数、、，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【提分秘籍】基本规律1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理2.最常见的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1）【变式演练】1.（2022·全国高三课时练习）已知正实数，，若，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2.已知，且，则的最小值是___．3.已知，且，则的取值范围是A． B． C． D．【题型十七】权方和不等式应用【典例分析】（2019·赤峰二中高三月考（理））若正数满足，则的最小值为A． B． C．2 D．【提分秘籍】基本规律：二元结构形式：取，设则，当且仅当时等号成立.三元结构形式：取，设则，当且仅当时等号成立.【变式演练】1.已知正数满足，则的最大值为__________．2.已知实数m,n∈(0,+∞)且m+n=1，则43m+n3.【2019届徐州市12月月考12】已知正实数满足，则的最小值为．【题型十八】复杂的求“和”型【典例分析】【变式演练】1.（2019·浙江高三期末）已知，，且，则的最小值为A． B． C．5 D．92.已知，且满足，则的最小值为【题型十九】公式扩展：不等式链【典例分析】（2022·全国高三课时练习）若不等式对任意正数a，b恒成立，则实数x的最大值为A． B．3 C． D．1【提分秘籍】基本规律均不等式链：【变式演练】1.（2020·重庆十八中高三阶段练习）已知，且，则最大值与最小值的和为（

）A．16 B．15 C．14 D．132.（2021·全国高三专题练习）的最大值为（

）A． B．13 C． D．3.（2020·浙江高三期末）若，则下列关系正确的是（

）A． B．C． D．1,（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（

）A． B．C． D．2．（2020·全国·高考真题（理））设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（

）A．4 B．8 C．16 D．323．（·重庆·高考真题（文））f(x)=x+（x＞2），在x=a处取最小值，则a=A．1+ B．1+ C．3 D．44．（山东·高考真题（文））设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为A． B． C． D．5．（2022·全国·高考真题）若x，y满足，则（

）A． B．C． D．6．（2020·海南·高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（

）A． B．C． D．7．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________．8．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为_________．9．（2020·江苏·高考真题）已知，则的最小值是_______．10．（2019·天津·高考真题（文））设，，，则的最小值为__________.11．（2019·天津·高考真题（理））设，则的最小值为______.12．（·浙江·高考真题（理））设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是___________．13．（·浙江·高考真题（文））_____14．（·江苏·高考真题）的最小值为_______________．1.（2021·江苏高三专题练习）不等式（x-2y）+≥2成立的前提条件为（

）A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y2.（2021·安徽省六安中学高三模拟）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是①已知，由，求得的最小值为2②由，求得的最小值为2③已知，由，当且仅当即时等号成立，把代入得的最小值为4.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个3.（2019·江西师大附中高三模拟）的最小值是()A． B． C． D．4.（2021·江苏高三单元测试）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（

）A．或 B．或C． D．5.（2022·全国高三课时练习）已知正实数