专题4-1 三角函数恒等变形-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（解析版）

专题4-1三角函数恒等变形目录一、热点题型归纳TOC\o"1-3"\h\u【题型一】辅助角1：基础（化正与化余） 1【题型二】辅助角2：非特殊角的辅助角 3【题型三】辅助角3：最值 4【题型四】恒等变形1：“互余与互补”拆角 7【题型五】恒等变形2：拆角（和与差） 8【题型六】恒等变形3：拆角（30，60等） 11【题型七】恒等变形4：拆角（分式型） 12【题型八】恒等变形5：正切 13【题型九】恒等变形6：求角 15【题型十】恒等变形7：二倍角与降幂 17【题型十一】恒等变形8：正余弦对偶式（平方） 18【题型十二】恒等变形9：正余弦对偶（和、差与积） 20二、真题再现 22三、模拟检测 25【题型一】辅助角1：基础（化正与化余）【典例分析】化简：解：化正化余：【提分秘籍】基本规律特殊角的的辅助角，源于正余弦“两角和与差”公式sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))正余余正sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))正余余正正角减余角cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β))余余正正偶函数。谁减谁无所谓cos(α－β)=cos(β－α)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))【变式演练】1.化简：答案：2化简：答案：3.（2021·全国·高三课时练习）若，则k的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】将等式左边用辅助角公式化简得到左边的取值范围，则等式右边也在这个范围，最后解不等式即可.【详解】∵，∴所以.故选：B.【题型二】辅助角2：非特殊角的辅助角【典例分析】（2022·全国·高三课时练习）当函数取得最大值时，的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用辅助角将函数利用两角差的正弦公式进行化简，求得函数取得最大值时的与的关系，从而求得，，可得结果.【详解】，其中，，当时，函数取得最大值，此时，∴，，∴故选：C.【提分秘籍】基本规律非特殊角的辅助角应用，虽然可以用公式，但是处理拔高题，仅仅简单的用此公式是远远不够的，要学会推导过程。知其然知其所以然。并且，深层次应用，不仅仅会“化正”，更要会“化余”。【变式演练】1.（2022·河南河南·模拟预测（理））已知函数在处取得最大值，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根辅助角公式和正弦函数最值求解即可.【详解】，其中为锐角，.因为当处取得最大值，所以，，即，，所以.故选：A2.已知，则tana=3.（2020·全国·高三课时练习）若函数f（x）=2sinx+cosx在[0，α]上是增函数，当α取最大值时，sinα的值等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用辅助角公式把目标函数化简，求出的值，从而可得sinα的值.【详解】，设，则.由于在[0，α]上是增函数，所以，的最大值为，.故选B.【题型三】辅助角3：最值【典例分析】已知函数，周期，，且在处取得最大值，则使得不等式恒成立的实数的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】先根据三角恒等变换和三角形函数的性质，以及同角的三角函数的关系可得，①，再根据，可得，②，通过①②求出的值，再根据三角函数的性质可得，，求出，根据不等式恒成立，则，即可求出答案．【详解】，其中，处取得最大值，，即，，，①，，，，，②，①②得，，即，解得，（舍去），由①得，，，在第一象限，取，，由，即，，，，，使最小，则，即，若不等式恒成立，则，故选：B【提分秘籍】基本规律辅助角满足：【变式演练】1.（2020·江西·南昌市八一中学高三开学考试）函数f（x）=sin（x+）+cos（x-）的最大值是（）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】先利用三角恒等变化公式将函数化成的形式，然后直接得出最值.【详解】整理得，利用辅助角公式得，所以函数的最大值为，故选A.2..若，函数f(x)=3sinωx【答案】【解析】【分析】首先利用辅助角公式对化简，可得f(x)=5sinωx+φ，再利用的值域，可求出π2≤π3ω+φ≤π−φ的范围，即得0<π2【详解】f=5sinωx+φ，其中sinφ=因为，所以φ≤ωx+φ≤π3令ωx+φ=t，则y=5sint的值域为，可得y=sint又因为sinφ=45即0<π2−φ≤因为cosπcosπ−2φ所以cosπ3ω的取值范围是3.（2015·河北唐山·一模（文））函数的值域为A． B． C． D．【答案】D【分析】先求得的最小正周期，进而在一个周期内分类讨论去掉绝对值，分别求得各部分的值域后即可得到函数的值域【详解】∵，∴为周期函数，其中一个周期为，故只需考虑在上的值域即可，当时，，（为锐角，且，，）由，为锐角，可得又，，，则当时，，（为锐角，且，，）由，为锐角，可得又，，，则综上，的值域为.故选：D【题型四】恒等变形1：“互余与互补”拆角【典例分析】（2021·四川德阳·高三期末）已知点是轴上到距离和最小的点，且，则的值为______(用数据作答)．【答案】##-0.5【分析】求出点A关于y轴的对称点，求出直线与y的交点即得m值，再利用诱导公式及二倍角公式计算作答.【详解】依题意，点A关于y轴的对称点，则经过点，B的直线斜率，直线的方程为，于是得点，此时有，由两点之间线段最短知，点是轴上到距离和最小的点，因此，，，则，所以的值为.故答案为：【提分秘籍】基本规律利用诱导公式来构造【变式演练】1.（2022·全国·高三专题练习（文））已知为锐角，且，则（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】利用诱导公式及二倍角的余弦公式，将化为，结合为锐角，即可求得答案.【详解】解：因为，所以，所以或1，又因为为锐角，则，则，所以，所以.故选：C.2.（2021·广东北江实验学校高三阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】用诱导公式和二倍角公式计算．【详解】．故选：A．3.（2022·广东·广州市第四中学高三阶段练习）已知，则=（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】用诱导公式化简已知式和求值式，求值式变形有后用二倍角公式计算．【详解】由题意，所以，所以．故选：B．【题型五】恒等变形2：拆角（和与差）【典例分析】（2022·四川·射洪中学高三阶段练习）若都是锐角，且，，则A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】先计算出，再利用余弦的和与差公式，即可.【详解】因为都是锐角，且，所以又，所以，所以，，故选A.【提分秘籍】基本规律拆角变形要注意：（1）角的范围的判断；（2）根据条件进行合理的拆角，如等；（，，，，，，等.（）3）尽量用余弦和正切，如果用正弦需要把角的范围缩小.【变式演练】1.（2022·全国·高三专题练习）已知，则等于A． B． C． D．【答案】D【分析】利用拼凑法将表示成，再结合，可得，结合辅助角公式和诱导公式进一步化简即可【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以，即，所以，故选D.2.（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知，，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】易知，利用角的范围和同角三角函数关系可求得和，分别在和两种情况下，利用两角和差正弦公式求得，结合的范围可确定最终结果.【详解】且，，.又，，.当时，，，，不合题意，舍去；当，同理可求得，符合题意.综上所述：.故选：.3.3.（2023·全国·高三专题练习）已知，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据待求式的结构，求解即可．【详解】解：因为=-.，；，，所以，故．故选：D.【题型六】恒等变形3：拆角（30，60等）【典例分析】（2023·全国·高三专题练习）求的值（）A．1 B．3 C． D．【答案】D【分析】化切为弦，通分后变形，利用两角和的正弦及余弦求解．【详解】解：．故选：D．【提分秘籍】基本规律拆角时，可以拆为的加减关系【变式演练】1.（2019·重庆市綦江南州中学校高二阶段练习（理））A． B． C． D．【答案】C【分析】首先利用同角三角函数关系式，将切化弦，之后利用诱导公式化简，借助于正弦的差角公式化简，最后应用辅助角公式求得结果.【详解】，故选C.2.（2022·全国·高三专题练习）化简所得的结果是（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】先切化弦并整理得，再结合展开整理即可得答案.【详解】解：.故选：B3.（2021·全国·高三专题练习）＝（

）A．－ B．－C． D．【答案】D【解析】先由诱导公式化为锐角的三角函数，然后利用结合两角差的正弦公式可求解．【详解】原式＝＝＝.故选：D.【题型七】恒等变形4：拆角（分式型）【典例分析】（2022·全国·高三专题练习）＝（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】先求出，然后，利用，代入的值求解即可【详解】，令，得，，，所以，，所以，故选：A【提分秘籍】基本规律分式型最终目标是分别把分子分母化为积的形式，便于约分来化简。【变式演练】1.（2022·江苏扬州·高三开学考试）等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将拆成，利用两角和的余弦公式展开，化简可得答案。【详解】,故选：B2.（2018·广东·华南师大附中高三期末）A． B． C． D．1【答案】A【分析】分析：由题意结合切化弦公式和两角和差正余弦公式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得：.【题型八】恒等变形5：正切【典例分析】（2022·云南省下关第一中学高三开学考试）若，则的值为（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】利用二倍角公式和同角三角函数间的关系对化简变形，用表示，从而可求出的值，再利用两角和的正切公式化简计算，然后将所求的值代入计算即可.【详解】因为，所以，，所以．故选：D．【提分秘籍】基本规律正切有关的恒等变形与求值：主要运用【变式演练】1.（2022·全国·高三专题练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由两角和的正切公式可得出，再结合两角和的正切公式化简可得结果.【详解】因为，所以，所以.故选：D.2,。2.（2023·全国·高三专题练习）已知，则（

）A． B． C．3 D．【答案】A【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得答案.【详解】.故选：A．3.（2023·全国·高三专题练习）已知，，则（

）A． B． C．1 D．2或6【答案】A【分析】根据两角和的正切公式求得，再利用，即可求得答案.【详解】因为，所以，解得，又，所以.故选:A.【题型九】恒等变形6：求角【典例分析】（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用三角函数的符号确定角、、的范围，再利用两角差的正弦公式、同角三角函数基本关系的商数关系得到关于和的方程组，再利用两角和的正弦公式求出，进而结合角的范围进行求解.【详解】因为，，所以或；若，则，此时（舍）；若，则，此时（符合题意），所以，即；因为且，所以且，解得，，则，所以.故选：C.【提分秘籍】基本规律求角拆角技巧注意角的范围【变式演练】1.（2022·江苏省滨海中学模拟预测）已知cos(α－β)＝，cos2α＝，α∈(0，)，β∈(0，π)，且α＜β，则α＋β＝（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据同角公式求出，，再根据以及两角差的余(正)弦公式计算出，根据的范围可得答案.【详解】，且，，，，，.又.，.故选：B2.（2022·江苏省江阴高级中学高三开学考试）已知且，则=（

）A． B．C． D．或【答案】C【分析】根据给定条件利用三角恒等变换求出的值，再判断的范围即可得解.【详解】因，则，，因，，则，又，有，于是得，因此，，所以.故选：C3.（2020·全国·高三专题练习（理））设且，则（

）.A． B． C． D．【答案】A【分析】切化弦，再利用两角差的正弦公式以及诱导公式可得，即求.【详解】∵，，∴，∴，即，∵，∴，∴，即，故选：A.【题型十】恒等变形7：二倍角与降幂【典例分析】（2023·全国·高三专题练习）的值为（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】根据给定条件，利用二倍角正弦公式的变式结合诱导公式，化简计算作答.【详解】依题意，，所以的值为.故选：A【提分秘籍】基本规律1.二倍角公式sin2α＝2sinαcosα(S2α)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α(C2α)2.降幂公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，3.升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)，1－cosα＝2sin2eq\f(α,2).【变式演练】1.（2022·全国·高三课时练习）已知，则的值为（

）A． B．0 C．2 D．0或2【答案】D【分析】由，通过二倍角公式，得到或原式化简为再分别求解.【详解】因为所以所以解得或当时当时故选：D2.（2022·全国·模拟预测）已知，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由已知可得，化简后可求出的值，然后对化简可得，从而可求出其值【详解】因为，所以，即，整理得，即，解得或．又，所以，则．故选：D．3.（2023·全国·高三专题练习）已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用诱导公式和二倍角公式化简即得解.【详解】解：.故选：A.【题型十一】恒等变形8：正余弦对偶式（平方）【典例分析】（2021·江西南昌·高三阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意得，进而结合二倍角公式降幂求解即可.【详解】解：因为所以所以，，所以，整理得：所以故选：B【提分秘籍】基本规律对偶特征：正弦对应余弦，加和减对应【变式演练】1.（2023·全国·高三专题练习）已知，则（

）A．- B．- C． D．【答案】C【分析】将已知两式平方后相加，结合同角的三角函数关系，以及两角差的余弦公式求得答案.【详解】由，，两边平方后相加得，即,得，所以,故选:C.2.（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据，，两式平方相加得到，根据，得到代入求解.【详解】因为，，所以两式平方相加得，即，又因为，所以，即，，将代入，得，即，所以，∴.故选：D.3.（2021·福建·厦门大学附属科技中学高三阶段练习）已知，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将题设中等式两边平方后相加可得，结合角的范围可求，从而可得正确的选项.【详解】由题意知，，，将两式分别平方相加，得，，故选项AB错误；，，，又，，，故选项D正确，C错误．故选：D【题型十二】恒等变形9：正余弦对偶（和、差与积）【典例分析】（2021·全国·高三专题练习）已知，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题要对命题所给信息的各种可能性一一进行分析，既要考虑题设条件，又要挖掘隐含条件，尤其是灵活应用同角三角函数关系式与和差公式，同时结合三角函数的性质求的取值范围.【详解】解法一：设，则，从而可得，即，①又由，得，所以，

②综合①②得.故选：D.解法二：由，得，而，.故选：D.【变式演练】1.（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（文））已知，均为锐角，且满足，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】可根据已知条件，先求解出，然后结合使用余弦的和差公式构造出，然后根据条件给的，的范围排除增根，即可完成求解.【详解】，所以，，因为，均为锐角.所以，故选：D.2.（2022·浙江·高三专题练习）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知求出，，两式相除即得解.【详解】由题得，（1），（2）（1）+（2）得，（3）（2）-（1）得，（4）（3）÷（4）得9.故选：D1．（2022·全国·高考真题）若，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】由已知得：,即：，即：,所以,故选：C2．（2021·全国·高考真题（文））（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解.【详解】由题意，.故选：D.3．（2021·全国·高考真题（文））若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】，，，，解得，，.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.4．（2021·全国·高考真题（文））函数的最小正周期和最大值分别是（

）A．和 B．和2 C．和 D．和2【答案】C【分析】利用辅助角公式化简，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.【详解】由题，，所以的最小正周期为，最大值为.故选：C．5．（2021·全国·高考真题）若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：．故选：C．【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．6．（山东·高考真题（文））已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据余弦二倍角公式计算即可得到答案.【详解】.故选：D【点睛】本题主要考查余弦二倍角公式，属于简单题.7．（陕西·高考真题（理））若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】先由求出，再由同角三角函数基本关系，以及二倍角的正弦公式，将所求式子化简，即可得出结果.【详解】因为，所以，因此.故选：A.【点睛】本题主要考查由同角三角函数基本关系化简求值，涉及二倍角的正弦公式，属于基础题型.8．（2020·全国·高考真题（文））已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.【详解】由题意可得：，则：，，从而有：，即.故选：B.【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.9．（2020·全国·高考真题（理））已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（

）A．–2 B．–1 C．1 D．2【答案】D【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.【详解】，，令，则，整理得，解得，即.故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.10．（2019·全国·高考真题（文））已知∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A． B．C． D．【答案】B【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．【详解】，．，又，，又，，故选B．【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．11．（2018·全国·高考真题（理））若，则A． B． C． D．【答案】B【详解】分析：由公式可得结果.详解：故选B.点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题.12.（2022·浙江·高考真题）若，则__________，_________．【答案】

【分析】先通过诱导公式变形，得到的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出，接下来再求．【详解】，∴，即，即，令，，则，∴，即，∴，则．故答案为：；．.1.2022·江西上饶·高三期末）已知函数的图象关于对称，且，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先对函数化简变形，然后由题意可得，求得，再由可得，再利用诱导公式和二倍角公式可求得结果【详解】因为，其中，，由于函数的图象关于对称，所以，即，化简得，所以，即，所以，故选：C.2.（2020·全国·高三课时练习）若函数f（x）=2sinx+cosx在[0，α]上是增函数，当α取最大值时，sinα的值等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用辅助角公式把目标函数化简，求出的值，从而可得sinα的值.【详解】，设，则.由于在[0，α]上是增函数，所以，的最大值为，.故选B.3.已知当时，函数取到最大值，则是（）A．奇函数，在时取到最小值； B．偶函数，在时取到最小值；C．奇函数，在时取到最小值； D．偶函数，在时取到最小值；浙江省绍兴市诸暨市海亮高级中学2021-2022学年高三上学期12月选考数学试题【答案】B【分析】由辅助角公式可得，根据时有最大值可得，求出，再根据奇偶性并计算、可得答案.【详