2025高考数学一轮复习-7.2-空间点、直线、平面之间的位置关系-专项训练【含答案】

2025高考数学一轮复习-7.2-空间点、直线、平面之间的位置关系-专项训练【A级基础巩固】1.下列结论正确的是()A.梯形可以确定一个平面B.若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行C.若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥αD.如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合2.在底面半径为1的圆柱OO1中,过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD,其中母线AB=2,E是弧BC的中点,F是AB的中点,则()A.AE=CF,AC与EF是共面直线B.AE≠CF,AC与EF是共面直线C.AE=CF,AC与EF是异面直线D.AE≠CF,AC与EF是异面直线3.已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的等边三角形,侧棱长为3,A1在底面ABC上的射影D为BC的中点,则异面直线AB与CC1所成的角为()A.π6 B.π4 C.π34.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,AB=AA1,则异面直线A1C与BC1所成角的余弦值为()A.12 B.C.14 D.6.已知a,b是两条直线,α,β是两个平面,则下列说法中正确的序号为.

①若a平行于α内的无数条直线,则a∥α;②若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线;③若α∥β,a⊂α,则a∥β;④若α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交.7.如图,在四棱锥PABCD中,O为CD上的动点,VP−OAB恒为定值,且△PDC是正三角形,则直线PD与直线AB所成角的大小是.

8.在四面体ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点.若BD,AC所成的角为60°,且BD=AC=1,则EF的长为.9.如图,正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直,且AC=BC=4,∠ACB=90°,F,G分别是线段AE,BC的中点,求AD与GF所成的角的余弦值.INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【B级能力提升】10.平面α过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()A.32 B.22 C.3311.如图所示,四边形ABEF和ABCD都是梯形,BC12AD,BE12FA,G,H分别为FA,FD的中点.(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;(2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?12.如图所示,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AB,CC1的中点.(1)求异面直线A1E与D1F所成角的余弦值;(2)求三棱锥A1D1EF的体积.INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【C级应用创新练】13.如图,四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧棱AA1⊥底面ABCD,四边形ABCD为菱形,E,F分别为AA1,CC1的中点,M为AB上一点.(1)若D1E与CM相交于点K,求证:D1E,CM,DA三条直线相交于同一点;(2)若AB=2,AA1=4,∠BAD=π3,求点D1参考答案【A级基础巩固】1.解析:因为梯形的上、下两底面平行,所以梯形是平面图形,故A正确;若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线可能相交、平行或异面,故B错误;当直线和平面相交时,该直线上也有无数个点不在平面内,故C错误;如果两个平面有三个公共点且它们共线,那么这两个平面可能相交,故D错误.故选A.2.解析:如图,由已知得,AE=AB2+BEBC2+BF3.解析:连接A1D,AD,A1B(图略),因为CC1∥AA1,所以∠A1AB为异面直线AB与CC1所成的角.由题可知AD=4-1=3,A1D=9-3=(6)2+1=7,由余弦定理,可得cos∠A1AB=9+4-72×3×2=12,所以∠A4.解析:直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”⇒“平面α和平面β相交”,反之不成立.所以“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.故选A.5.解析:延长AC至D使得CD=AC,连接C1D,BD,则CDA1C1,所以四边形CDC1A1是平行四边形,所以A1C∥C1D,所以∠BC1D是异面直线A1C与BC1所成的角或其补角,在正三棱柱ABCA1B1C1中,CC1⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以CC1⊥BC,同理CC1⊥CD,设AB=1,则A1C=BC1=C1D=2,∠BCD=120°,CD=AC=CB=1,∠CBD=∠CDB=30°,所以BD=2×1×cos30°=3,所以cos∠BC1D=BC12+C1D2-BD故选C.6.解析:①忽略了a在α内这一情况,故①错误;②直线a与b没有交点,所以直线a与b可能异面也可能平行,故②错误;③直线a与平面β没有公共点,所以a∥β,故③正确;④直线a与平面β可能相交也可能平行,故④错误.答案:③7.解析:因为VP−OAB所以S△ABO为定值,即O到AB的距离为定值.因为O为CD上的动点,所以CD∥AB,所以∠PDC为异面直线PD与AB所成的角.因为△PDC为正三角形,所以∠PDC=60°.所以直线PD与直线AB所成的角为60°.答案:60°8.解析:如图,取BC的中点O,连接OE,OF,由题意,得OE∥AC,OF∥BD,所以OE与OF所成的锐角即为AC与BD所成的角,而AC,BD所成的角为60°,所以∠EOF=60°或∠EOF=120°.当∠EOF=60°时,EF=OE=OF=12当∠EOF=120°时,取EF的中点M,则OM⊥EF,EF=2EM=2×34=3答案:12或9.解:取DE的中点H,连接HF,GH.由题设,HF∥AD且HF=12所以∠GFH为异面直线AD与GF所成的角(或其补角).在△GHF中,可求HF=22,GF=GH=26,所以cos∠GFH=HF2+GF所以AD与GF所成的角的余弦值为36INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【B级能力提升】10.解析:如图所示,过点A补作一个与正方体ABCDA1B1C1D1相同棱长的正方体,易知平面α为平面AF1E,则m,n所成的角为∠EAF1.因为△AF1E为正三角形,所以sin∠EAF1=sin60°=3211.(1)证明:由已知FG=GA,FH=HD,可得GH12AD.又BC12AD,所以GHBC,所以四边形BCHG为平行四边形.(2)解:因为BE12FA,G为FA的中点,所以BEFG,所以四边形BEFG为平行四边形,所以EF∥BG.由(1)知BGCH,所以EF∥CH,所以EF与CH共面.又D∈FH,所以C,D,F,E四点共面.12.解:(1)如图,设BB1的中点为H,连接HF,EH,A1H,因为F是CC1的中点,所以A1D1∥CB∥HF,A1D1=CB=HF,因此四边形A1D1FH是平行四边形,所以D1F∥A1H,D1F=A1H,因此∠EA1H是异面直线A1E与D1F所成的角或其补角,又正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,E是AB的中点,所以A1E=A1H=22+12=5,EH=12A1E2+A1H2-EH(2)因为A1D1∥HF,HF⊄平面A1D1E,A1D1⊂平面A1D1E,所以HF∥平面A1D1E,因此点H,F到平面A1D1E的距离相等,所以VA1−D=VD1−A1EH=1=13×2×(22-12×2×1×2-12×=1,所以三棱锥A1-D1EF的体积为1.INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【C级应用创新练】13.(1)证明:因为D1E与CM相交于点K,所以K∈D1E,K∈CM,而D1E⊂平面ADD1A1,CM⊂平面ABCD,且平面ADD1A1∩平面ABCD=AD,所以K∈AD,所以D1E,CM,DA三条直线相交于同一点K.(2)解:因为四边形ABCD为菱形,AB=2,所以BC=CD=2,而四棱柱的侧棱AA1⊥底面ABCD,所以CC1⊥底面A