2025高考数学一轮复习-5.3-平面向量的数量积及平面向量的应用-专项训练【含答案】

2025高考数学一轮复习-5.3-平面向量的数量积及平面向量的应用-专项训练【A级基础巩固】1.已知向量a=(1,2),b=(x,1),若(a+b)⊥(a-b),则x等于()A.-2 B.±2C.±2 D.22.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,<a,b>=2π3,则a·A.-2 B.-1 C.0 D.23.已知单位向量a,b满足a·b=0,若向量c=a+3b,则cos<a,c>等于()A.32 B.12 C.344.在水流速度为10km/h的自西向东的河中,如果要使船以103km/h的速度从河的南岸垂直到达北岸,则船出发时行驶速度的方向和大小分别为()A.北偏西30°,20km/hB.北偏西60°,102km/hC.北偏东30°,102km/hD.北偏东60°,20km/h5.若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则a-b与b的夹角为()A.π6 B.π3 C.2π36.已知在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,且∠DAB=90°,AB=2,AD=1,若点Q满足AQ→=2QB→,则QC→A.-109 B.109 C.-1397.已知平面向量a=(3,3),则与a夹角为45°的一个非零向量b的坐标可以为.(写出满足条件的一个向量即可)

8.已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,a·b+b·c+c·a=.9.在△ABC中,BC的中点为D,设向量AB→=a,AC(1)用a,b表示向量AD→(2)若向量a,b满足|a|=3,|b|=2,<a,b>=60°,求AB→·ADINCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【B级能力提升】10.(多选题)若向量a,b满足|a|=|b|=2,|a+b|=23,则()A.a·b=-2B.a与b的夹角为πC.|a-b|>|a+b|D.a-b在b上的投影向量为-1211.(多选题)已知O为坐标原点,点P1(cosα,sinα),P2(cosβ,-sinβ),P3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则()A.|OP→1|=|B.|AP→1|=|C.OA→·OP→3=D.OA→·OP→1=12.在△ABC中,满足AB→⊥AC→,M是BC的中点,若O是线段AM上任意一点,且|AB→|=|AC→|=2,求OA→·13.在如图所示的平面直角坐标系中,已知点A(1,0)和点B(-1,0),|OC→(1)若θ=3π4,设点D为线段OA上的动点,求|OC→+(2)若θ∈[0,π2],向量m=BC→,n=(1-cosθ,sinθ-2cosθ),求mINCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【C级应用创新练】14.(多选题)定义一种向量运算“⊗”:a⊗b=a·A.a⊗b=b⊗aB.λ(a⊗b)=(λa)⊗b(λ∈R)C.(a+b)⊗c=a⊗c+b⊗cD.若e是单位向量,则|a⊗e|≤|a|+115.向量的数量积可以表示为:以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一,即如图所示,a·b=14(|AD→|2-|BC→AM=3,BC=10,则AB→·AC→=参考答案【A级基础巩固】1.解析:a+b=(1+x,3),a-b=(1-x,1),因为(a+b)⊥(a-b),所以(a+b)·(a-b)=0,即(1+x)·(1-x)+3=0,解得x=±2.故选C.2.解析:a·(a+b)=a2+a·b=1+1×2×(-123.解析:由单位向量a,b,则|a|=1,|b|=1,即|c|2=(a+3b)2=|a|2+23a·b+3|b|2=4,得|c|=2,又a·c=a·(a+3b)=|a|2+3a·b=1,所以cos<a,c>=a·c|4.解析:如图,船从点O出发,沿OC→方向行驶才能垂直到达对岸,|OA10,|OB→|=103,则|OC→|=|OA→|2+|OB5.解析:|a+b|=|a-b|=2|a|,等号左右同时平方,得|a+b|2=|a-b|2=4|a|2,即|a|2+|b|2+2a·b=|a|2+|b|2-2a·b=4|a|2,所以a·b=0且|b|2=3|a|2,所以|a-b|=|a-b|2所以cos<a-b,b>=(a-b)·b所以<a-b,b>=5π66.解析:以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,则B(2,0),C(1,1),D(0,1).又AQ→=2QB→,所以Q(所以QC→=(-13,1),QD→所以QC→·QD→=497.解析:设b=(x,y),所以a·b=3x+3y=6·x2+y所以x2题意,所以b=(1,0).答案:(1,0)(答案不唯一,满足b=(x,y),xy=0,且x2+y2≠0的任意一个均可)8.解析:由已知可得(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=9+2(a·b+b·c+c·a)=0,因此a·b+b·c+c·a=-92答案:-99.解:(1)AD→=12(AB→+AC→)=所以AD→=12a+(2)AB→·AD→=a·(12=12a2+12a·b=12×32+12×3×2所以AB→·ADINCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【B级能力提升】10.解析:因为|a|=|b|=2,|a+b|=23,所以12=|a+b|2=a2+2a·b+b2=4+2a·b+4,解得a·b=2,A错误;设a,b的夹角为α,则cosα=a·b|a||所以a与b的夹角为π3|a-b|=(a-b)2=aa-b在b上的投影向量为b·(a-b)|b|·b|故选BD.11.解析:由题意可知,|OP→1|=|OP→2|=所以|OP→1|=|取α=π4,则P1(22,取β=5π4,则P2(-22,则|AP→1|≠|cos(α+β),所以OA→·OP→3=OP因为OA→·OP→1=cosα,OPsinβsin(α+β)=cos(α+2β),取α=π4,β=π4,则OA→·OPOP→2·OP→3=cos3π4=-22,所以OA→12.解:由AB→⊥AC→,|AB→|=|AC所以△ABC为等腰直角三角形,以A为原点,AB,AC所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图所示,所以A(0,0),B(2,0),C(0,2),因为M是BC的中点,所以M(22,2所以可设O(x,x),0≤x≤22所以OB→=(2OC→=(-x,-x+2),OA所以OB→+OC→=(2-2x,所以OA→·(OB→+OC→)=(-x)(2-2x)+(-x)·(2-2x)=4x24(x-24)2-12,故当x=24时,OA→·(OB→13.解:(1)设D(t,0)(0≤t≤1),由题意知C(-22,2所以OC→+OD→=(-22所以|OC→+OD→|2=(t-22)2所以当t=22时,|OC→+OD→(2)由题意得C(cosθ,sinθ),m=BC→则m·n=1-cos2θ+sin2θ-2sinθcosθ=1-cos2θ-sin2θ=1-2sin(2θ+π4因为θ∈[0,π2],所以π4≤2θ+π4所以当2θ+π4=π2,即θ=sin(2θ+π4即m·n取得最小值1-2.所以m·n的最小值为1-2,此时θ=π8INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【C级应用创新练】14.解析:当a,b共线时,a⊗b=|a-b|=|b-a|=b⊗a,当a,b不共线时,a⊗b=a·b=b·a=b⊗a,故A正确;当λ=0,b≠0时,λ(a⊗b)=0,(λa)⊗b=|0-b|≠0,故B错误;当a+b与c共线时,则存在a,b与c不共线,(a+b)⊗c=|a+b-c|,a⊗c+b⊗c=a·