【八年级上册数学冀教版】第十七章 特殊三角形（B卷-拔高卷）-【单元测试】（解析版）

第十七章特殊三角形（B卷-拔高卷）注意事项：本试卷满分100分，试题共23题，选择10道．填空6道、解答7道.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．答题时间：60分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022·江西景德镇·八年级期中）下列各组数中，是勾股数的是（

）A．3，4，7 B．7，24，25 C．，， D．3，-4，5【答案】B【分析】根据勾股数的定义(凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数.)及勾股定理的逆定理计算判断即可．【详解】A.因为,所以3，4，7不是勾股数；B.因为,所以7，24，25是勾股数；C.因为,所以，，不是勾股数；D.因为勾股数不能为负数，所以3，-4，5不是勾股数；故选B．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，灵活运用平方差公式计算是解题的关键．2．（2022·浙江·杭州市开元中学八年级期中）用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，第一步应先假设（

）A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中有一个内角大于C．三角形的三个内角都小于 D．三角形的三个内角都大于【答案】C【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．【详解】解：用反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于60°”时，第一步应假设这个三角形中三个内角内角都小于60°，故选：C．【点睛】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．3．（2022·山东·龙口市教学研究室七年级期中）如图，是等边三角形，为中线，，若，则的长为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据等边三角形及为中线，可得：,,再根据含直角三角形的性质可得出，，即可得出答案．【详解】解：在等边三角形ABC中，为中线，∴,,∴∵,∴,∴∴,在中：,∴，在中,∴，∴．故答案为：C．【点睛】此题考查了等边三角形的性质，含直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解．4．（2022·山东·济南九中模拟预测）如图，在中，点D是上的点，，将沿翻折得到，若，则等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据等边对等角得到，根据翻折的性质以及三角形内角和定理得到，再利用外角性质得到，进一步求出．【详解】解：∵，∴∵将沿翻折得到，∴，∵，∴，故选：A【点睛】此题考查翻折的性质，等边对等角，三角形外角性质，三角形内角和定理，关键是掌握翻折的性质，等边对等角，三角形外角性质．5．（2022·江苏常州·八年级期中）如图，在由单位正方形组成的网格图中标有四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设出正方形的边长，利用勾股定理，解出各自的长度，再由勾股定理的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形．【详解】解：设小正方形的边长为1，则，，，，因为，所以能构成一个直角三角形三边的线段是．故选：A．【点睛】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．6．（2022·广东·广州市番禺执信中学九年级期中）如图，中，，．将绕点逆时针旋转得到．使点的对应点恰好落在边上，则的度数是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可得：，，由旋转的性质可得，，，利用等腰三角形的性质，即可求解．【详解】解：由题意可得：，，由旋转的性质可得：，∴∴故选：C【点睛】此题考查了直角三角形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．7．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，已知中，，在直线BC或射线AC取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的点P有（

）A．2个 B．4个 C．5个 D．7个【答案】C【分析】分为三种情况：①PA＝PB，②AB＝AP，③AB＝BP，求出即可得出答案．【详解】解：①作线段AB的垂直平分线，交AC于点P，交直线BC于一点，此时PA＝PB，共2个点符合条件；②是以A为圆心，以AB长为半径作圆，交直线BC于两点（B和另一个点），交射线AC于一点，此时AB＝AP，共2个点符合条件；③以B为圆心，以BA长为半径作圆，交直线BC于两点，交射线AC于一点，共3个点∵作线段AB的垂直平分线交直线BC的点，以A为圆心，AB长为半径作圆交直线BC的点，以及以B为圆心，AB长为半径作圆交直线BC与右侧的点，这三个点是同一个点．∴符合条件的一共有：2＋2＋3−2＝5个点，故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题以及垂直平分线的性质，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．8．（2022·江苏南通·八年级期中）如图，在中，，，点为边上一点，过点A作交延长线于点，若满足，那么的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】延长、交于点，证，得，再证，则，然后由等腰三角形的性质得，即可解决问题．【详解】解：如图，延长、交于点，，，，，，∴，，，，，在和中，，，，，，，，，，，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．9．（2022·江苏扬州·八年级期中）如图，在第1个中，；在边上任取一点，延长到，使，得到第2个；在边上任取一点，延长到，使，得到第3个，…按此做法继续下去，则第2021个三角形中以为顶点的底角度数是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，及的度数，找出规律即可得出第个三角形中以为顶点的底角度数．【详解】解∵在中，，∴，∵，是的外角，∴，同理可得，，∴第个三角形中以为顶点的底角度数是，∴第2021个三角形中以为顶点的底角度数是．故选：A【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出，及的度数，找出规律是解答此题的关键．10．（2022·浙江·宁波市海曙区雅戈尔中学八年级期中）如图，等腰中，，，于点，的平分线分别交、于、两点，为的中点，的延长线交于点，连接，下列结论：①；②为等腰三角形；③；④；⑤，其中正确结论有（）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】D【分析】先根据等腰直角三角形的性质得出，进而证得，故①正确；连接，证明是的垂直平分线，可得，再由直角三角形的性质可得，可得到为等腰三角形，故②正确；先证得，可得，可证得，可得到，故③正确；由①知：，可得，故④正确；由③知：，可得到，从而得到为等腰直角三角形，进而得到，可得到，故⑤正确，即可．【详解】解：，，，，，，，平分，，，，，，，，在和中，，，，故①正确；连接，如图，，，，．，是的垂直平分线，，，为斜边上的中线，，为等腰三角形，故②正确；连接，如图，，，，．在和中，，，，故③正确；由①知：，，，故④正确；由③知：，，，，为等腰直角三角形，，，故⑤正确，综上，正确的结论有：①②③④⑤，故选：D．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，根据题意得到全等三角形是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2022·江苏·苏州市立达中学校八年级期中）如图，点是的内角和外角的两条角平分线的交点，过点作，交于点，交于点，若，则线段的长度为___________．【答案】6【分析】根据角平分线的意义与平行线的性质，得出，再根据等腰三角形的性质得，即可得解．【详解】解：点是的内角和外角的两条角平分线的交点，，，，，，，即；故答案为：6．【点睛】此题考查了角平分线的意义、平行线的性质与等腰三角形的判定等知识，熟练掌握相关性质与判定进行逻辑推理是解答此题的关键．12．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校八年级期中）如图，中，，以为边作等边，过D作，交延长线于E，若，则______________．【答案】7【分析】首先作辅助线，延长使得，连接交CA的延长线于，再证明，利用直角三角形的性质求，进而求得，由此即可解决问题．【详解】解：如图，延长到使得，连接交CA的延长线于是等边三角形，在和中，，故答案为7．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、直角三角形的性质、等边三角形的性质和判定，解题关键是做辅助线构建两三角形全等．13．（2022·江苏常州·八年级期中）如图，AB，BC，CD，DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A，C，E共线．若cm，，则______cm2．【答案】【分析】作，，垂足分别为G、H，利用证明得到，，利用勾股定理及等腰三角形的性质求出，,再根据等腰三角形的性质即可求出的长度，再结合三角形的面积公式即可得出答案．【详解】解：作，，垂足分别为、，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，，在中，由勾股定理得：，∴，∵，∴，∴，故答案为：【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线，证得是解决问题的关键．14．（2022·江苏连云港·八年级期中）如图，是边长为2的等边三角形，直线经过顶点，且与边平行，在直线上有一点，当的值为_____时，使得．【答案】2或4##4或2【分析】在直线上分别截取，连接，根据等边三角形的性质即可解决问题．【详解】解：当或4时，使得，理由如下：∵是边长为2的等边三角形，∴，如下图，在直线上分别截取，点为中点，连接，∴，∵直线经过顶点，且与边平行，∴，∴，∴，∴；如图，连接，∵，∵，∴是等边三角形，∴，，∴，∴．∴当AP的值为2或4时，使得．故答案为：2或4．【点睛】本题主要考查了作图—尺规作图、平行线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，解题关键是灵活运用所学知识．15．（2022·江苏南京·八年级期中）已知，M是边OA上的一个定点，且，N、P分别是边、上的动点，则的最小值是_____．【答案】4【分析】作M关于的对称点Q，过Q作于N，交于P，则此时的值最小，连接，得出，，，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．【详解】解：作M关于的对称点Q，过Q作于N，交于P，连接，如图，∵作点M、点Q关于的对称，∴，∴，根据垂线段最短可知：当时，最小，∴根据作图可知此时：最小，且最小为，∵，作点M、点Q关于的对称，，∴，，∴，∵，∴在中有：，∴，故答案为：4．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形性质，轴对称−最短路线问题，垂线段最短的应用，关键是确定P、N的位置．16．（2022·湖北武汉·八年级期中）如图，是等边三角形，为的中点，点在线段上，连接，以为边在的右下方作等边，的延长线交于，连，当点在线段上（不与，重合）运动时：①与互补；②；③是定值；④是定值．以上结论中正确的有___________．【答案】①②③【分析】在四边形中，运用对角互补，证得①正确；如图，在线段上截取，使得，证，推导出，，从而得到②③正确．【详解】解：∵是等边三角形，是等边三角形，∴，∴，在四边形中，∵，又∵，，∴，即与互补，选项①说法正确，符合题意；如图，在线段上截取，使得，∵是等边三角形，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∵是等边三角形，∴，∵，，∴，，即，∵是等边三角形，是等边三角形，∴，，在与中，∵，∴，∴选项②说法正确，符合题意；同理，如图，在线段上截取，使得，②中已证，，∴，∵是等边三角形，为的中点，∴，∴，∵是等边三角形，∴，∴，∵，∴，∴，选项③说法正确，符合题意；点在线段上运动，的延长线交于，无法证明是定值，选项④说法错误，不符合题意；综上，说法正确的为①②③，故答案为：①②③．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，其中添加正确的辅助线是解题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022·山东德州·八年级期中）如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且．(1)若，则_________；(2)若周长，，求的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出，，利用三角形内角和求出，再利用三角形外角和求出即可；（2）根据得出的长，再推出，即可列式求解．【详解】（1），，∴垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴∵垂直平分，∴，∴，故答案为：；（2）∵周长，，∴，∵，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形的内角和，三角形外角性质的应用，主要考查学生综合运行性质进行推理和计算的能力．18．（2022·湖南邵阳·八年级期中）如图，在等腰直角三角形中，，是斜边上任一点，于，交的延长线于，于，交于．求证：(1)；(2)．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据等腰三角形的定义及各角之间的关系得出，然后利用全等三角形的判定证明即可；（2）根据等腰直角三角形的定义得出，，结合图形得出，再利用全等三角形的判定和性质证明即可．【详解】（1）∵等腰直角三角形∴，∵，∴∵，∴，在和中，∴；（2）是等腰直角三角形，，，．，，．，，．在和中，，．．【点睛】本题利用了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．19．（2022·江苏泰州·八年级期中）如图，在ΔABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DG⊥CE，垂足为G．(1)求证：CD=AB；(2)若∠AEC=66°，求∠BCE的度数．【答案】(1)见解析(2)∠BCE=22°【分析】（1）连接DE．由G是CE的中点，DG⊥CE得到DG是CE的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到DE=DC，由DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DE=AB，即可得到CD=AB．（2）由DE=DC得到∠DEC=∠BCE，由DE=BE得到∠B=∠EDB，根据三角形外角性质得到∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE，则∠B=2∠BCE，由此根据外角的性质即可求得∠BCE的度数．【详解】（1）如图，连接DE，∵是的中点，DG⊥CE，∴是的垂直平分线，∴，∵是高，是中线，∴是的斜边上的中线，∴，∴；（2）∵DC=DE，∴∠DEC=∠BCE，∴∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE，∵DE=BE，∴∠B=∠EDB，∴∠B=2∠BCE，∴∠AEC=3∠BCE=66°，∴∠BCE=22°．【点睛】本题考查直角三角形斜边的中线的性质、线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质以及等腰三角形的性质．正确作出辅助线是解题关键．20．（2022·江苏·仪征市第三中学八年级期中）如图a，圆柱的底面半径为，圆柱高为，是底面直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．小明设计了两条路线：路线1：高线＋底面直径，如图a所示，设长度为．路线2：侧面展开图中的线段，如图b所示，设长度为．(1)你认为小明设计的哪条路线较短？请说明理由；(2)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为，高为”继续按前面的路线进行计算．（结果保留）①此时，路线1的长度，路线2的长度；②所以选择哪条路线较短？试说明理由．【答案】(1)选择路线1较短，理由见解析(2)①8，；②选择路线2较短，理由见解析【分析】（1）利用勾股定理计算后，比较大小即可；（2）把条件改成：“圆柱底面半径为，高为”继续按前面的路线进行计算即可．【详解】（1）解：剪开前，，，∴，剪开后，，，∴；∵∴即所以选择路线1较短；（2）解：①，．②，∴即所以选择路线2较短．【点睛】此题主要考查了平面展开最短路径问题，比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便，比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减．注意运用类比的方法做类型题．21．（2022·江苏扬州·八年级期中）如图，中，，，点O在边上运动（O不与B、C重合），点D在线段上，连结，．点O运动时，始终满足．(1)当时，判断的形状并说明理由；(2)当的最小值为2时，此时；(3)在点O的运动过程中，的形状是等腰三角形时，求此时的度数．【答案】(1)直角三角形(2)3(3)的度数是60°或105°【分析】（1）证明即可解答；（2）根据垂线段最短可知时，的值最小，求出，的值即可解答；（3）分三种情况，由等腰三角形的性质分别求出的度数即可．【详解】（1）解：为直角三角形，理由如下，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴为直角三角形．（2）解：当时，的值最小，如图，在中，，，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴．故答案为：3．（3）解：的形状可以是等腰三角形，理由如下，分三种情况：①时，，∴；②时，，∴；③时，，∴，点O与C重合，不合题意，综上所述，的度数是60°或105°．【点睛】本题考查三角形综合题，涉及等腰三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．22．（2022·江西赣州·九年级期中）【问题提出】如图1，在等边三角形内部有一点P，，，，求的度数．(1)【尝试解决】将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形．∵，，，∴∴为三角形∴的度数为．(2)【类比探究】如图2，在等边三角形ABC外部有一点P，若∠BPA＝30°，求证．(3)【联想拓展】如图3，在中，，．点P在直线上方且，，求的长．【答案】(1)直角；(2)见详解(3)【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可得到为直角三角形，且，即可得到的度数．（2）如图2中，将绕点B逆时针旋转得到，连接．证明，利用勾股定理证明即可．（3）过点C作于T，连接，设交于O．证明是等腰直角三角形，，设，则，利用勾股定理构建方程求出m，即可解决问题．【详解】（1）解：如图1，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形．∵，，，∴，∴为直角三角形．∴的度数为．故答案为：直角；．（2）证明：如图2中，将绕点B逆时针旋转得到，连接．∵，，∴是等边三角形，∴，，由旋转的性质可知：，∴，，∴，∴，∵，，∴．（3）解：过点C作于T，连接，设交于O．∵，，∴，∵，，∴，，∵，∴∵，∴，∴，设，则，∵，∴，解得或（负值舍弃），∴，∴．【点睛】本