山东专用2024新高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.3圆的方程学案含解析

PAGE第三节圆的方程课标要求考情分析1.驾驭确定圆的几何要素，驾驭圆的标准方程与一般方程．2．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1.圆的方程、与圆有关的最值问题、与圆有关的轨迹问题是近几年高考命题方向方向的热点．2．常与直线、椭圆、抛物线等学问结合考查．3．题型以选择题、填空题为主，有时也会以解答题的形式出现.学问点一圆的定义及方程1.假如没给出r>0，则圆的半径为|r|.2．当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))；当D2＋E2－4F<0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0没有意义，不表示任何图形．学问点二点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.1．思索辨析推断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．(×)(2)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，－a))，半径为eq\f(1,2)eq\r(－3a2－4a＋4)的圆．(×)(3)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0.(√)(4)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(√)解析：(1)t≠0时，方程表示圆心为(－a，－b)，半径为|t|的圆．(2)a2＋(2a)2－4(2a2＋即－2<a<eq\f(2,3)时表示圆．(3)因为点M(x0，y0)在圆外，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(D,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0＋\f(E,2)))2>eq\f(D2＋E2－4F,4)，即xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0.(4)设M(x，y)是圆上异于直径端点A，B的点，由eq\f(y－y1,x－x1)·eq\f(y－y2,x－x2)＝－1得(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.2．小题热身(1)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(D)A．(2,3) B．(－2,3)C．(－2，－3) D．(2，－3)(2)方程x2＋y2＋x＋y－m＝0表示一个圆，则m的取值范围是(A)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))(3)以线段AB：x－y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为(B)A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝8D．(x－1)2＋(y＋1)2＝8(4)若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(－1,1)．(5)过点A(0,1)和B(1,2)，且与x轴相切的圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1或(x＋3)2＋(y－5)2＝25.解析：(1)圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)．(2)由题1＋1＋4m>0，所以m>－eq\f(1,2).故选A.(3)∵线段AB：x－y－2＝0(0≤x≤2)的两个端点为(0，－2)，(2,0)，∴圆心为(1，－1)．半径为eq\f(\r(－22＋22),2)＝eq\r(2)，∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.(4)由条件知(1－a)2＋(1＋a)2<4，即2＋2a2<4.∴a2<1.即－1<a(5)本题主要考查待定系数法求圆的方程．设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.因为圆过点A(0,1)和B(1,2)，且与x轴相切，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0－a2＋1－b2＝r2，,1－a2＋2－b2＝r2，,|b|＝r，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1，,r＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝5，,r＝5.))所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1或(x＋3)2＋(y－5)2＝25.考点一求圆的方程【例1】(1)过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4(2)经过A(4,2)，B(－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程为____________．【解析】(1)方法1：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a2＋－1－b2＝r2，,－1－a2＋1－b2＝r2，,a＋b－2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1，,r＝2，))因此圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4，故选C.方法2：AB的中垂线方程为y＝x，所以由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x＋y－2＝0))得圆心为(1,1)，所以半径为2，因此圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4，故选C.(2)设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.令y＝0得x2＋Dx＋F＝0，所以圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D.令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E.由题设x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2，即D＋E＝－2①.因为A(4,2)，B(－1,3)在圆上，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0②，1＋9－D＋3E＋F＝0③，由①②③解得D＝－2，E＝0，F＝－12，故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.【答案】(1)C(2)x2＋y2－2x－12＝0方法技巧求圆的方程一般有两种常用方法：1几何法，通过探讨圆的几何性质，确定圆心坐标与半径长，即得到圆的方程；2代数法，用待定系数法求解，其关键是依据条件选择圆的方程，若已知圆上三点，则选用圆的一般方程，若已知条件与圆心及半径有关，则选用圆的标准方程.1．(2024·浙江卷)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝－2，r＝eq\r(5).解析：解法1：设过点A(－2，－1)且与直线2x－y＋3＝0垂直的直线方程为l：x＋2y＋t＝0，所以－2－2＋t＝0，所以t＝4，所以l：x＋2y＋4＝0.令x＝0，得m＝－2，则r＝eq\r(－2－02＋－1＋22)＝eq\r(5).解法2：因为直线2x－y＋3＝0与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(－2，－1)，所以eq\f(m＋1,0－－2)×2＝－1，所以m＝－2，r＝eq\r(－2－02＋－1＋22)＝eq\r(5).2．已知圆C经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，将P，Qeq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2D－4E－F＝20，①,3D－E＋F＝－10.②))又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③设x1，x2是方程③的两根，由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36，联立①②④，解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.考点二与圆有关的最值问题命题方向1利用几何关系求最值【例2】直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()A．[2,6] B．[4,8]C．[eq\r(2)，3eq\r(2)] D．[2eq\r(2)，3eq\r(2)]【解析】圆心(2,0)到直线的距离d＝eq\f(|2＋0＋2|,\r(2))＝2eq\r(2)，所以点P到直线的距离d1∈[eq\r(2)，3eq\r(2)]．依据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(－2,0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2eq\r(2)，所以△ABP的面积S＝eq\f(1,2)|AB|d1＝eq\r(2)d1.因为d1∈[eq\r(2)，3eq\r(2)]，所以S∈[2,6]，即△ABP面积的取值范围是[2,6]．【答案】A命题方向2利用函数关系求最值【例3】(1)若点P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，点A(－1,0)，B(1,0)为两个定点，则|PA|＋|PB|的最大值为()A．2B．2eq\r(2)C．4D．4eq\r(2)(2)已知圆C的方程为x2－2x＋y2＝0，直线l：kx－y＋2－2k＝0与圆C交于A，B两点，则当△ABC面积最大时，直线l的斜率k＝()A．1 B．6C．1或7 D．2或6【解析】(1)易得|PA|2＋|PB|2＝4，由基本不等式得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PA|＋|PB|,2)))2≤eq\f(|PA|2＋|PB|2,2)＝2，所以|PA|＋|PB|≤2eq\r(2).(2)圆C的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，圆心为C(1,0)，半径r＝1.直线l变形为y＝k(x－2)＋2，过定点(2,2)，记∠ACB＝θ，由面积公式，得S＝eq\f(1,2)r2sinθ＝eq\f(1,2)sinθ≤eq\f(1,2)，当θ＝eq\f(π,2)时，△ABC面积最大，此时，点C到直线l距离为d＝eq\f(|－k＋2|,\r(k2＋1))＝eq\f(\r(2),2)，解得k＝1或7.【答案】(1)B(2)C方法技巧1利用几何关系求最值,一般依据距离、斜率等学问的几何意义，结合圆的几何性质数形结合求解.2建立函数关系式求最值,依据已知条件列出相关的函数关系式，再依据关系式的特征选用基本不等式、函数单调性等方法求最值.1．(方向1)圆x2＋y2－4x－4y＋6＝0上的点到直线x＋y－8＝0的最大距离与最小距离分别是(B)A．2eq\r(2)，eq\r(2) B．3eq\r(2)，eq\r(2)C．4,2 D．4eq\r(2)，2eq\r(2)解析：∵圆x2＋y2－4x－4y＋6＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝2，∴圆心为(2,2)，半径r＝eq\r(2).圆心到直线的距离d＝eq\f(|2＋2－8|,\r(2))＝2eq\r(2)，∴圆x2＋y2－4x－4y＋6＝0上的点到直线x＋y－8＝0的最大距离与最小距离分别是d＋r＝3eq\r(2)，d－r＝eq\r(2)，故选B.2．(方向1)已知点P为直线y＝x＋1上的一点，M，N分别为圆C1：(x－4)2＋(y－1)2＝4与圆C2：x2＋(y－2)2＝eq\f(1,4)上的点，则|PM|－|PN|的最大值为(C)A．4 B.eq\f(9,2)C.eq\f(11,2) D．7解析：设C2(0,2)关于直线y＝x＋1的对称点为C(m，n)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n－2,m)＝－1，,\f(n＋2,2)＝\f(m,2)＋1，))解得C(1,1)．由对称性可得|PC|＝|PC2|，则|PC1|－|PC2|＝|PC1|－|PC|≤|C1C|＝3，由于|PM|≤|PC1|＋2，|PN|≥|PC2|－eq\f(1,2)，∴|PM|－|PN|≤|PC1|－|PC2|＋eq\f(5,2)≤eq\f(11,2)，即|PM|－|PN|的最大值为eq\f(11,2)，故选C.3．(方向2)若直线ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)把圆(x＋4)2＋(y＋1)2＝16分成面积相等的两部分，则eq\f(1,2a)＋eq\f(2,b)的最小值为(B)A．10 B．8C．5 D．4解析：因为圆(x＋4)2＋(y＋1)2＝16的圆心坐标为(－4，－1)，直线ax＋by＋1＝0把圆分成面积相等的两部分，所以该直线过点(－4，－1)，－4a－b＋1＝0，即4a＋b＝1，eq\f(1,2a)＋eq\f(2,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)＋\f(2,b)))(4a＋b)＝4＋eq\f(8a,b)＋eq\f(b,2a)≥4＋2eq\r(\f(8a,b)×\f(b,2a))＝8，当且仅当a＝eq\f(1,8)，b＝eq\f(1,2)时取“＝”．考点三与圆有关的轨迹问题【例4】古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数λ(λ>0，λ≠1)的点M的轨迹是圆．若两定点A，B的距离为3，动点M满意|MA|＝2|MB|，则M点的轨迹围成区域的面积为()A．π B．2πC．3π D．4π【解析】以A点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则可取B(3,0)．设M(x，y)，依题意有，eq\f(\r(x2＋y2),\r(x－32＋y2))＝2，化简整理得，x2＋y2－8x＋12＝0，即(x－4)2＋y2＝4，圆的面积为4π.故选D.【答案】D方法技巧求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法1干脆法：依据题设条件干脆列出