山东专用2025版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第三讲逻辑联结词全称量词与存在量词学案含解析

PAGE9-第三讲逻辑联结词、全称量词与存在量词ZHISHISHULISHUANGJIZICE学问梳理·双基自测eq\x(知)eq\x(识)eq\x(梳)eq\x(理)学问点一简洁的逻辑联结词(1)用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，(2)用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，(3)对一个命题p的否定记作¬p，(4)命题p∧q，p∨q，¬p的真假推断真值表pq¬pp∨qp∧q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假学问点二全称量词与存在量词1．全称量词与全称命题(1)短语“全部的”“随意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．(3)全称命题“对M中随意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x).2．存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题．(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0).3．含有一个量词的命题的否定(1)命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，¬p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，¬p(x)(2)p∨q的否定是(¬p)∧(¬q)；p∧q的否定是(¬p)∨(¬q).eq\x(重)eq\x(要)eq\x(结)eq\x(论)1．逻辑联结词与集合的关系．(1)“或”与集合的“并”亲密相关，集合的并集是用“或”来定义的，命题“p∨q”为真有三个含义：只有p成立，只有q成立，p、q同时成立；(2)“且”与集合的“交”亲密相关，集合的交集是用“且”来定义的，命题p∧q为真表示p、q同时成立；(3)“非”与集合中的补集相类似．2．常用短语的否定词若给定语为等于大于是且或肯定都是至多有一个至少有一个至多有n个其否定语为不等于小于或等于不是或且肯定不不都是至少有两个没有至少有n＋1个eq\x(双)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(测)题组一走出误区1．(多选题)下列推断正确的是(ABD)A．命题“2024≥2024”是真命题B．命题p和¬p不行能都是真命题C．“全等三角形的面积相等”是特称命题D．命题¬(p∧q)是假命题，则命题p，q都是真命题题组二走进教材2．(选修2－1P23T2改编)下列命题中的假命题是(C)A．∃x0∈R，lgx0＝1 B．∃x0∈R，sinx0＝0C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R,2x>0[解析]对于C，随意x∈R，x3∈R，故选C．3．(选修2－1P18A1(3)，改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题¬p，¬q，p∨q，p∧q中真命题的个数为(B)A．1 B．2C．3 D．4[解析]命题p是真命题，q是真命题，因此命题¬p，¬q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题，故选B．题组三考题再现4．(2024·全国卷Ⅲ，5分)记不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥6，,2x－y≥0))表示的平面区域为D．命题p：∃(x，y)∈D,2x＋y≥9；命题q：∀(x，y)∈D,2x＋y≤12.下面给出了四个命题①p∨q②(¬p)∨q③p∧(¬q)④(¬p)∧(¬q)这四个命题中，全部真命题的编号是(A)A．①③ B．①②C．②③ D．③④[解析]方法一：作出不等式组表示的平面区域D如图中阴影部分所示，直线2x＋y＝9和直线2x＋y＝12均穿过了平面区域D，不等式2x＋y≥9表示的区域为直线2x＋y＝9及其右上方的区域，所以命题p正确；不等式2x＋y≤12表示的区域为直线2x＋y＝12及其左下方的区域，所以命题q不正确．所以命题p∨q和p∧(¬q)正确．故选A．方法二：在不等式组表示的平面区域D内取点(7,0)，点(7,0)满意不等式2x＋y≥9，所以命题p正确；点(7,0)不满意不等式2x＋y≤12，所以命题q不正确．所以命题p∨q和p∧(¬q)正确．故选A．5．(2024·浙江，5分)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(D)A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n<x2B．∀x∈R，∀x∈N*，使得n<x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n<x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n<x2[解析]依据含有量词的命题的否定的概念可知，选D．6．(2024·山东，5分)若“∀x∈[0，eq\f(π,4)]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为1.[解析]由已知可得m≥tanx(x∈[0，eq\f(π,4)])恒成立．设f(x)＝tanx(x∈[0，eq\f(π,4)])，明显该函数为增函数，故f(x)的最大值为f(eq\f(π,4))＝taneq\f(π,4)＝1，由不等式恒成立可得m≥1，即实数m的最小值为1.KAODIANTUPOHUDONGTANJIU考点突破·互动探究考点一含逻辑联结词的命题及其真假推断——自主练透例1(1)在一次跳高竞赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次．设命题p表示“甲的试跳成果超过2米”，命题q表示“乙的试跳成果超过2米”，则命题p∨q表示(D)A．甲、乙两人中恰有一人的试跳成果没有超过2米B．甲、乙两人中至少有一人的试跳成果没有超过2米C．甲、乙两人中两人的试跳成果都没有超过2米D．甲、乙两人中至少有一人的试跳成果超过2米(2)若命题“p∨q”是真命题，“¬p”为真命题，则(B)A．p真，q真 B．p假，q真C．p真，q假 D．p假，q假(3)(多选题)已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为假命题的是(ACD)A．p∧q B．p∧(¬q)C．(¬p)∧q D．(¬p)∧(¬q)(4)(2024·四川成都双流中学模拟)在射击训练中，某战士射击了两次，设命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“其次次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是(A)A．(¬p)∨(¬q)为真命题 B．p∨(¬q)为真命题C．(¬p)∧(¬q)为真命题 D．p∨q为真命题[解析](1)因为命题p表示“甲的试跳成果超过2米”，命题q表示“乙的试跳成果超过2米”，所以命题p∨q表示“甲、乙两人中至少有一人的试跳成果超过2米”，故选D．(2)“¬p”为真命题，所以p为假命题；又因为命题“p∨q”是真命题，所以q为真命题．(3)∵x>0，∴x＋1>1，∴ln(x＋1)>ln1＝0，∴命题p为真命题．当a＝1，b＝－2时，a>b成立，但a2>b2不成立．∴命题q为假命题．∴命题p∧(¬q)为真命题，其余三个都是假命题．故选A、C、D．(4)∵命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“其次次射击击中目标”，则命题¬p是“第一次射击没击中目标”，命题¬q是“其次次射击没击中目标”，∴命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”是(¬p)∨(¬q)，故选A．名师点拨☞“p∨q”“p∧q”“¬p”形式命题真假的推断步骤(1)确定命题的构成形式．(2)推断其中命题p、q的真假．(3)确定“p∧q”“p∨q”“¬p”等形式命题的真假．p∧q中p、q有一假为假，p∨q中，p、q有一真为真，p与¬p必定是一真一假．考点二含有一个量词的命题——多维探究角度1全称命题、特称命题的真假例2(多选题)(2024·吉林长春外国语学校高三上期中改编)下列命题中，假命题是(ABD)A．∃x0∈R，sin2eq\f(x0,2)＋cos2eq\f(x0,2)＝eq\f(1,2)B．∀x∈(0，π)，sinx>cosxC．∀x∈(0，＋∞)，x2＋1>xD．∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0＝－1[解析]对于A，由同角三角函数和平方关系，我们知道∀x∈R，sin2eq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)＝1，所以A为假命题；对于B，取特别值，当x＝eq\f(π,4)时，sinx＝cosx＝eq\f(\r(2),2)，所以B为假命题；对于C，一元二次方程根的判别式Δ＝1－4＝－3<0，所以原方程没有实数根，所以C为真命题；对于D，判别式Δ＝1－4＝－3<0，所以D错误．故选A、B、D．角度2含一个量词的命题的否定例3(1)(2024·湖北部分重点中学高三测试)已知p：∃x0∈R,3x0<xeq\o\al(3,0)，那么¬p为(C)A．∀x∈R,3x<x3 B．∃x0∈R,3x0>xeq\o\al(3,0)C．∀x∈R,3x≥x3 D．∃x0∈R,3x0≥xeq\o\al(3,0)(2)(2024·陕西部分学校摸底)命题“∀x∈R，eq\f(x,x－1)≥0”的否定是(D)A．∃x∈R，eq\f(x0,x0－1)<0 B．∃x∈R,0<x0<1C．∀x∈R，eq\f(x,x－1)≤0 D．∃x∈R,0<x0≤1[解析](1)因为特称命题的否定为全称命题，所以¬p：∀x∈R,3x≥x3，故选C．(2)∀x∈R，eq\f(x,x－1)≥0的否定是∃x0∈R，使eq\f(x,x－1)不大于等于0，包括小于零和无意义，即∃x0∈R,0<x0<1或x0＝1，故选D．名师点拨☞全(特)称命题真假的推断方法全称命题特称命题真假真假真假法一证明全部对象使命题为真存在一个对象使命题为假存在一个对象使命题为真证明全部对象使命题为假法二否定为假否定为真否定为假否定为真注：当推断原命题的真假有困难时，可通过推断它的逆否命题的真假来实现．角度3含参命题中参数的取值范围例4(1)(2024·湖南邵阳高三上10月联考)若命题“∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2mx0＋m＋2<0”为假命题，则m的取值范围是(C)A．(－∞，－1]∪[2，＋∞) B．(－∞，－1)∪(2，＋∞)C．[－1,2] D．(－1,2)(2)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝(eq\f(1,2))x－m，若对于∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是(A)A．[eq\f(1,4)，＋∞) B．(－∞，eq\f(1,4)]C．[eq\f(1,3)，＋∞) D．(－∞，eq\f(1,3)][解析](1)由已知得不等式，xeq\o\al(2,0)＋2mx0＋m＋2<0无解，所以Δ≤0即(2m)2－4(m＋2)≤0，解得－1≤m≤2，故选C．(2)当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝eq\f(1,4)－m，由f(x)min≥g(x)min得0≥eq\f(1,4)－m，所以m≥eq\f(1,4).[例4(2)引申1]把本例中“∃x2∈[1,2]”改为：“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是m≥eq\f(1,2).[解析]当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝eq\f(1,2)－m，由f(x)min≥g(x)max得0≥eq\f(1,2)－m，所以m≥eq\f(1,2).[例4(2)引申2]把本例中，∀x1∈[0,3]改为∃x1∈[0,3]其他条件不变，则实数m的取值范围是m≥eq\f(1,4)－ln10.[解析]当x∈[0,3]时，f(x)max＝f(3)＝ln10，当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝eq\f(1,4)－m，由f(x)max≥g(x)min得ln10≥eq\f(1,4)－m，所以m≥eq\f(1,4)－ln10.答案：m≥eq\f(1,4)－ln10[例4(2)引申3]把本例中，∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]改为∃x1∈[0,3]，∀x2∈[1,2]，其他条件不变，则实数m的取值范围是m≥eq\f(1,2)－ln10.[解析]当x∈[0,3]时，f(x)max＝f(3)＝ln10，当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝eq\f(1,2)－m，由f(x)max≥g(x)max，得ln10≥eq\f(1,2)－m，所以m≥eq\f(1,2)－ln10.答案：m≥eq\f(1,2)－ln10名师点拨☞依据复合命题的真假求参数范围的步骤(1)先求出每个简洁命题为真命题时参数的取值范围．(2)再依据复合命题的真假确定各个简洁命题的真假状况(有时不肯定只有一种状况)．(3)最终由(2)的结论求出满意条件的参数取值范围．变式训练1〕(1)(角度1)下列命题中为假命题的是(B)A．∀x∈R，ex>0 B．∀x∈N，x2>0C．∃x0∈R，lnx0<1 D．∃x0∈N*，sineq\f(πx0,2)＝1(2)(角度2)(2024·江西南昌莲塘一中10月月考)命题p：∃x0∈N，xeq\o\al(2,0)<1，则¬p是(D)A．∃x0∈N，xeq\o\al(2,0)≥1 B．∃x0∈N，xeq\o\al(2,0)>1C．∀x∈N，x2>1 D．∀x∈N，x2≥1(3)(角度3)已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋2－a＝0”．若命题“(¬p)∧q”是真命题，则实数a的取值范围是(C)A．(－∞，－2)∪{1} B．(－∞，－2]∪[1,2]C．(1，＋∞) D．[－2,1](4)(角度3)已知函数f(x)＝x2＋2x＋a和g(x)＝2x＋eq\r(x＋1)，对∀x1∈[－1，＋∞)，∃x2∈R使g(x1)＝f(x2)成立，则实数a的取值范围是(－∞，－1].[解析](1)对于选项A，由函数y＝ex的图象可知，∀x∈R，ex>0，故选项A为真命题；对于选项B，当x＝0时，x2＝0，故选项B为假命题；对于选项C，当x0＝eq\f(1,e)时，lneq\f(1,e)＝－1<1，故选项C为真命题；对于选项D，当x0＝1时，sineq\f(π,2)＝1，故选项D为真命题，故选B．(2)特称命题的否定是全称命题，所以¬p是∀x∈N，x2≥1.故选D．(3)命题p为真命题时a≤1；命题q：“∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋2－a＝0”为真命题，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，故Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2.又(¬p)∧q为真命题，即¬p真且q真，所以a>1，即a的取值范围为(1，＋∞)．故选C．(4)因为f(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1，所以f(x)∈[a－1，＋∞)．因为g(x)＝2x＋eq\r(x＋1)在[－1，＋∞)上单调递增，所以g(x)∈[－2，＋∞)．由题意得a－1≤－2，所以a≤－1，故实数a的取值范围是(－∞，－1]．MINGSHIJIANGTANSUYANGTISHENG名师讲坛·素养提升简易逻辑的综合应用例5