山东专用2025版高考数学一轮复习第九章计数原理概率随机变量及其分布第六讲几何概型学案含解析

PAGE1-第六讲几何概型ZHISHISHULISHUANGJIZICE学问梳理·双基自测学问梳理学问点一几何概型的定义假如每个事务发生的概率只与构成该事务区域的__长度(面积或体积)__成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．学问点二几何概型的特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．学问点三几何概型的概率公式P(A)＝__eq\f(构成事务A的区域长度面积或体积,试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积)__.学问点四随机模拟方法(1)运用计算机或者其他方式进行的模拟试验，通过这个试验求出随机事务的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是：①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并给予每个随机数肯定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；③计算频率fn(A)＝eq\f(M,N)作为所求概率的近似值．重要结论几种常见的几何概型(1)与长度有关的几何概型，其基本领件只与一个连续的变量有关．(2)与面积有关的几何概型，其基本领件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本领件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题．(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．双基自测题组一走出误区1．(多选题)下列结论中正确的是(ABC)A．在一个正方形区域内任取一点的概率是零B．几何概型中，每一个基本领件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等C．随机模拟方法是以事务发生的频率估计概率D．从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P＝eq\f(1,9)题组二走进教材2．(P140T1)有四个嬉戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的嬉戏盘是(A)[解析]∵P(A)＝eq\f(3,8)，P(B)＝eq\f(1,4)，P(C)＝eq\f(1,3)，P(D)＝eq\f(1,3)，∴P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．故选A．3．(P146B组T4)设不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤2))表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是(D)A．eq\f(π,4) B．eq\f(π－2,2)C．eq\f(π,6) D．eq\f(4－π,4)[解析]如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的平面区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分(不包括eq\o\ac(AC,\s\up10(︵)))表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满意条件的概率是eq\f(4－π,4)，故选D．题组三考题再现4.(2024·全国Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(B)A．eq\f(1,4) B．eq\f(π,8)C．eq\f(1,2) D．eq\f(π,4)[解析]不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形＝4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑＝S白＝eq\f(1,2)S圆＝eq\f(π,2)，所以由几何概型知，所求概率P＝eq\f(S黑,S正方形)＝eq\f(\f(π,2),4)＝eq\f(π,8).故选B．5．(2024·福建龙岩质检)在区间[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]上随机取一个实数x，使cosx≥eq\f(1,2)的概率为(B)A．eq\f(3,4) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,3)[解析]由y＝cosx在区间[－eq\f(π,2)，0]上单调递增，在(0，eq\f(π,2)]上单调递减，则不等式cosx≥eq\f(1,2)在区间[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]上的解为－eq\f(π,3)≤x≤eq\f(π,3)，故cosx≥eq\f(1,2)的概率为eq\f(\f(2π,3),π)＝eq\f(2,3).KAODIANTUPOHUDONGTANJIU考点突破·互动探究考点一与长度有关的几何概型——自主练透例1(1)(2024·浙江模拟)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(B)A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)(2)(2024·山东模拟)在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事务“－1≤logeq\s\do8(\f(1,2))(x＋eq\f(1,2))≤1”发生的概率为(A)A．eq\f(3,4) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,4)(3)(2024·山东省青岛市模拟)已知圆C：x2＋y2＝1和直线l：y＝k(x＋2)，在(－eq\r(3)，eq\r(3))上随机选取一个数k，则事务“直线l与圆C相交”发生的概率为(C)A．eq\f(1,5) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)[解析](1)由题意知，小明在7：50至8：30之间到达发车站，故他只能乘坐8：00或8：30发的车，所以他等车的时间不超过10分钟的概率为P＝eq\f(10＋10,40)＝eq\f(1,2).(2)不等式－1≤logeq\s\do8(\f(1,2))(x＋eq\f(1,2))≤1可化为logeq\s\do8(\f(1,2))2≤logeq\s\do8(\f(1,2))(x＋eq\f(1,2))≤logeq\s\do8(\f(1,2))eq\f(1,2)，即eq\f(1,2)≤x＋eq\f(1,2)≤2，解得0≤x≤eq\f(3,2)，故由几何概型的概率公式得P＝eq\f(\f(3,2)－0,2－0)＝eq\f(3,4)．(3)直线l与C相交⇒eq\f(|2k|,\r(1＋k2))<1⇒－eq\f(\r(3),3)<k<eq\f(\r(3),3).∴所求概率P＝eq\f(\f(\r(3),3)－－\f(\r(3),3),\r(3)－－\r(3))＝eq\f(1,3).故选C．名师点拨☞与长度有关的几何概型假如试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为P(A)＝eq\f(构成事务A的区域长度,试验的全部结果所构成的区域长度).〔变式训练1〕(1)(2024·江苏卷)记函数f(x)＝eq\r(6＋x－x2)的定义域为D．在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是__eq\f(5,9)__.(2)(2024·湖北模拟)在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满意|x|≤m的概率为eq\f(5,6)，则m＝__3__.[解析](1)D＝{x|6＋x－x2≥0}＝[－2,3]，∴所求概率P＝eq\f(3－－2,5－－4)＝eq\f(5,9).(2)由几何概型知：eq\f(5,6)＝eq\f(m－－2,6)⇒m＝3.考点二与面积有关的几何概型——师生共研角度1与平面图形有关的问题例2(1)(2024·湖北四地七校联考)如图，AB和CD是圆O两条相互垂直的直径，分别以OA，OB，OC，OD为直径作四个圆，在圆O内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是(A)A．1－eq\f(2,π) B．eq\f(1,2)－eq\f(1,π)C．eq\f(2,π) D．eq\f(1,π)(2)设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为(C)A．eq\f(3,4)＋eq\f(1,2π) B．eq\f(1,2)＋eq\f(1,π)C．eq\f(1,4)－eq\f(1,2π) D．eq\f(1,2)－eq\f(1,π)[解析](1)依据圆的对称性只需看四分之一即可，设扇形的半径为r，则扇形OBC的面积为eq\f(1,4)πr2，连接BC，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，则阴影部分的面积为：eq\f(1,4)πr2－eq\f(1,2)r2，∴此点取自阴影部分的概率是eq\f(\f(1,4)πr2－\f(1,2)r2,\f(1,4)πr2)＝1－eq\f(2,π).故选A．(2)∵|z|＝eq\r(x－12＋y2)≤1，∴(x－1)2＋y2≤1，其几何意义表示为以(1,0)为圆心，1为半径的圆面，如图所示，而y≥x所表示的区域如图中阴影部分，故P＝eq\f(\f(π,4)－\f(1,2),π)＝eq\f(1,4)－eq\f(1,2π).[引申]本例(1)中图形改成下图，则此点取自图中阴影部分的概率为__eq\f(π－2,2π)__.[解析]不妨设大圆的半径为2，则小圆的半径为1，∴所求概率P＝eq\f(2\f(π,4)－\f(1,2),\f(1,4)×4π)＝eq\f(π－2,2π).角度2与线性规划交汇的问题例3在满意不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y－3≤0，,y≥0))的平面点集中随机取一点M(x0，y0)，设事务A为“y0<2x0”，那么事务A发生的概率是(B)A．eq\f(1,4) B．eq\f(3,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)[解析]如图所示，不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0,x＋y－3≤0，,y≥0))表示的平面区域为△ABC且A(1,2)，B(－1,0)，C(3,0)，明显直线l：y＝2x过A且与x轴交于O，∴所求概率P＝eq\f(S△AOC,S△ABC)＝eq\f(|OC|,|BC|)＝eq\f(3,4).选B．名师点拨☞解决与面积有关的几何概型的方法求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事务对应的几何元素，必要时可依据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．〔变式训练2〕(1)(2024·唐山模拟)下图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分的面积为(B)A．8 B．9C．10 D．12(2)(2024·河北“五个一名校联盟”联考)如图所示的图形是弧三角形，又叫莱洛三角形，它是分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧得到的封闭图形，在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率为(B)A．eq\f(\r(3),2π－\r(3)) B．eq\f(\r(3),2π－2\r(3))C．eq\f(\r(3),π－\r(3)) D．eq\f(\r(3),4π－2\r(3))[解析](1)依据面积之比与点数之比相等的关系，得黑色部分的面积S＝4×4×eq\f(225,400)＝9，故选B．(2)设等边三角形的边长为a，则每个扇形的面积为S扇形＝eq\f(1,6)×π×a2＝eq\f(πa2,6)，S正三角形＝eq\f(\r(3)a2,4)，所以封闭图形的面积为3S扇形－2S正三角形＝eq\f(πa2,2)－eq\f(\r(3)a2,2)，由几何概型概率公式可得所求概率为P＝eq\f(\f(\r(3)a2,4),\f(πa2,2)－\f(\r(3)a2,2))＝eq\f(\r(3),2π－2\r(3)).故选B．考点三与体积有关的几何概型——师生共研例4(1)(2024·山西省模拟)以正方体各面中心为顶点构成一个几何体，从正方体内任取一点P，则P落在该几何体内的概率为(C)A．eq\f(1,8) B．eq\f(5,6)C．eq\f(1,6) D．eq\f(7,8)(2)已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP－ABC<eq\f(1,2)VS－ABC的概率是__eq\f(7,8)__.[解析](1)如图以正方体各面中心为顶点的几何体是由两同底正四棱锥拼成，不妨设正方体棱长为2，则GH＝eq\r(2)，∴所求概率P＝eq\f(VE－GHIJ－F,V正方体)＝eq\f(2×\f(1,3)×\r(2)×\r(2)×1,2×2×2)＝eq\f(1,6)，故选C．(2)如图，由VP－ABC<eq\f(1,2)VS－ABC知，P点在三棱锥S－ABC内截面A0B0C0(其中A0，B0，C0分别为SA，SB，SC的中点)的下方，故所求概率P＝1－eq\f(VS－A0B0C0,VS－ABC)＝1－eq\f(1,8)＝eq\f(7,8).名师点拨☞求解与体积有关问题的留意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事务的体积(事务空间)，对于某些较困难的问题常转化为其对立事务的概率问题求解．〔变式训练3〕一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“平安飞行”，则蜜蜂“平安飞行”的概率为(C)A．eq\f(4π,81) B．eq\f(81－4π,81)C．eq\f(1,27) D．eq\f(8,27)[解析]由已知条件可知，蜜蜂只能在以正方体的中心为中心直棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型可得蜜蜂“平安飞行”的概率为P＝eq\f(13,33)＝eq\f(1,27).[引申]若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体8个顶点的距离均大于1，称其为“平安飞行”，则蜜蜂“平安飞行”的概率为__1－eq\f(4π,81)__.[解析]所求概率P＝eq\f(33－\f(4,3)π,33)＝1－eq\f(4π,81).考点四与角度有关的几何概型——师生共研例5(1)(2024·陕西联考)已知A是圆上固定的一点，在圆上其他位置上任取一点A′，则AA′的长度小于半径的概率为(D)A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,3)(2)在等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内作一条射线CD与线段AB交于点D，则AD<AC的概率为__eq\f(3,4)__.[解析](1)如图，满意AA′的长度小于半径的点A′位于劣弧eq\o\ac(BAC,\s\up10(︵))上，其中△ABO和△ACO为等边三角形，可知∠BOC＝eq\f(2π,3)，故所求事务的概率P＝eq\f(\f(2,3)π,2π)＝eq\f(1,3).(2)在AB上取AC′＝AC，则∠ACC′＝eq\f(180°－45°,2)＝67.5°.设事务A＝{在∠ACB内部作一条射线CD，与线段AB交于点D，AD<AC}．则全部可能结果的区域角度为90°，事务A的区域角度为67.5°，∴P(A)＝eq\f(67.5,90)＝eq\f(3,4).名师点拨☞与角度有关的几何概型的求解方法(1)若试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率公式为P(A)＝eq\f(构成事务A的区域角度,试验的全部结果所构成区域的角度).(2)解决此类问题时留意事务的全部结果构成的区域及所求事务的全部结果构成的区域，然后再利用公式计算．〔变式训练4〕(1)(2024·山西太原一模)如图，四边形ABCD为矩形，AB＝eq\r(3)，BC＝1，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为__eq\a\vs4\al(\f(1,3))__.(2)如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝eq\r(3)，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，则BM<1的概率为__eq\f(2,5)__.[解析](1)当点P在BC上时，AP与BC有公共点，此时AP扫过△ABC，所以所求事务的概率P＝eq\f(30,90)＝eq\f(1,3).(2)因为∠B＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°，在Rt△ABD中，AD＝eq\r(3)，∠B＝60°，所以BD＝eq\f(AD,tan60°)＝1，∠BAD＝30°.记事务N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<1”，则可得∠BAM<∠BAD时事务N发生．由几何概型的概率公式，得P(N)＝eq\f(30,75)＝eq\f(2,5).MINGSHIJIANGTANSUYANGTISHENG名师讲坛·素养提升转化与化归思想在几何概型中的应用例6(1)(2024·贵州遵义航天中学一模)在区间[0,2]上任取两个数，则这两个数之和大于3的概率是(A)A．eq\f(1,8) B．eq\f(1,4)C．eq\f(7,8) D．eq\f(3,4)(2)(2024·济宁模拟)甲、乙两人约定晚6点到晚7点之间在某处见面，并约定甲若早到则等乙半小时，而乙还有其他支配，若乙早到则不需等待，则甲、乙两人能见面的概率为(A)A．eq\f(3,8) B．eq\f(3,4)C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)[解析]