山东专用2025版高考数学一轮复习练案72第十章统计统计案例第二讲用样本估计总体含解析

PAGE6-[练案72]其次讲用样本估计总体A组基础巩固一、单选题1．(2024·云南省昆明市质检)下图是某商场2024年洗衣机、电视机和电冰箱三种电器各季度销量的百分比积累图(例如：第3季度内，洗衣机销量约占20%，电视机销量约占50%，电冰箱销量约占30%)．依据该图，以下结论中肯定正确的是(C)A．电视机销量最大的是第4季度B．电冰箱销量最小的是第4季度C．电视机的全年销量最大D．电冰箱的全年销量最大2．(2024·辽宁沈阳东北育才学校模拟)在某次数学测验后，将参与考试的500名学生的数学成果制成频率分布直方图(如图)，则在该次测验中成果不低于100分的学生数是(C)A．210 B．205C．200 D．195[解析]由频率分布直方图可知，低于100分的人数的频率为(0.012＋0.018＋0.030)×10＝0.6，所以低于100分的人数为500×0.6＝300，则不低于100分的人数为500－300＝200，所以选C.3.(2024·云南昆明适应性检测)AQI(AirQualityIndex，空气质量指数)是报告每日空气质量的参数，描述了空气清洁或污染的程度．AQI共分六级，从一级优(0～50)，二级良(51～100)，三级轻度污染(101～150)，四级中度污染(151～200)，直至五级重度污染(201～300)，六级严峻污染(大于300)．如图是昆明市2024年4月份随机抽取10天的AQI茎叶图，利用该样本估计昆明市2024年4月份空气质量优的天数为(C)A．3 B．4C．12 D．21[解析]由茎叶图知10天中有4天空气质量为优，所以空气质量为优的频率为eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，所以估计昆明市2024年4月份空气质量为优的天数为30×eq\f(2,5)＝12，故选C.4．(2024·甘肃张掖诊断)如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为(C)A．11 B．11.5C．12 D．12.5[解析]由题意，0.06×5＋x×0.1＝0.5，所以x为2，所以由图可估计样本重量的中位数是12，故选：C.5．(2024·河北省石家庄市质检)甲、乙两人8次测评成果的茎叶图如图，由茎叶图知甲的成果的平均数和乙的成果的中位数分别是(D)A.2322 B．2322.5C．2122 D．2122.5[解析]由题甲8次测评成果为：10,11,14,21,23,23,32,34，所以甲的平均成果为eq\f(10＋11＋14＋21＋23＋23＋32＋34,8)＝21；乙8次测评成果为：12,16,21,22,23,23,33,34，所以乙的中位数为eq\f(22＋23,2)＝22.5.故选D.6．某校100名学生的数学测试成果的频率分布直方图如图所示，分数不低于a为优秀，假如优秀的人数为20人，则a的估计值是(C)A．130 B．140C．133 D．137[解析]由题意可知，分数在140～150分的有10人，在130～140分的有15人，因为优秀的人数为20人，故取130～140分数段的后10人，故eq\f(10,15)＝eq\f(140－a,10)，得a≈133，a的估计值为133.二、多选题7．(2024·济南模拟改编)某老师任教高三A班、高三B班两个班，两个班各有50个学生，如图反映的是两个班在某学期5次数学测试中的班级平均分，依据图表，下列结论正确的是(ABD)A．A班的数学成果平均水平高于B班B．B班的数学成果没有A班稳定C．下次考试B班的数学成果平均分要高于A班D．在第1次考试中，A，B两个班的总平均分为98分[解析]A班的数学成果平均值为100＋eq\f(1－2＋1＋0＋5,5)＝101(分)，B班的数学成果平均值为100＋eq\f(－5－4＋5＋0＋0,5)＝99.2(分)，即A正确；A班平均成果的方差为eq\f(1,5)×(0＋9＋0＋1＋16)＝5.2，B班平均成果的方差为eq\f(1,5)×(4.22＋0.64＋3.22＋5.82＋0.64)＝12.56，即B正确；在第1次考试中，A，B两个班的总平均分为eq\f(101＋95,2)＝98(分)，即D正确；无法依据图表知下次考试成果的状况，C不正确，故选A、B、D.8．(2024·山东枣庄期末)某特长班有男生和女生各10人，统计他们的身高，其数据(单位：cm)如下面的茎叶图所示，则下列结论正确的是(AB)A.女生身高的极差为12 B．男生身高的均值较大C．女生身高的中位数为165 D．男生身高的方差较小[解析]女生身高的极差为173－161＝12，A正确；B明显正确，D明显错误；女生身中学位数eq\f(165＋167,2)＝166，C错，故选AB.9．在某次中学学科学问竞赛中，对4000名考生的参赛成果进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是(ABC)A．成果在[70,80)的考生人数最多B．不及格的考生人数为1000C．考生竞赛成果的平均分约为70.5分D．考生竞赛成果的中位数为75分[解析]由频率分布直方图可得，成果在[70,80)的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；成果在[40,60)的频率为0.01×10＋0.015×10＝0.25，因此，不及格的人数为4000×0.25＝1000，故B正确；考生竞赛成果的平均分约为45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5，故C正确；因为成果在[40,70)的频率为0.45，在[70,80)的频率为0.3，所以中位数为70＋10×eq\f(0.05,0.3)≈71.67，故D错误．故选ABC.10．(2024·山东模拟)下图为某地区2006年～2024年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图．依据该折线图可知，该地区2006年～2024年(AD)A．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势B．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同C．财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量D．城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大[解析]由图可以看出两条曲线均在上升，从而选项A正确；图中两曲线间隔越来越大，说明年增长速度不同，差额逐年增大，故选项B错误，选项D正确；又从图中可以看出财政预算内收入年平均增长应当小于城乡储蓄年末余额年平均增长量，所以选项C错误；故选AD.三、填空题11.(2024·湖南衡阳模拟)如图，茎叶图表示甲、乙两人在5次测验中的数学分数，其中有一个被污损，若乙的中位数恰好等于甲的平均数，则●的值为__6__.12．(2024·宜春调研)为了探讨某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．全部志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的依次分别编号为第一组，其次组，…，第五组．下图是依据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与其次组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为__12__.[解析]全体志愿者共有：eq\f(20,0.24＋0.16×1)＝50(人)，所以第三组有志愿者：0.36×1×50＝18(人)，∵第三组中没有疗效的有6人，∴有疗效的有18－6＝12(人)．13.(2024·南京六校联合体联考)如图是甲、乙两名篮球运动员在五场竞赛中所得分数的茎叶图，则在这五场竞赛中得分较为稳定的那名运动员的得分的方差为__6.8__.[解析]在这五场竞赛中乙运动员的得分较为稳定，其平均成果为eq\f(8＋9＋10＋13＋15,5)＝11，∴方差S2＝eq\f(11－82＋11－92＋11－102＋11－132＋11－152,5)＝6.8.四、解答题14．(2024·江西南昌一中、十中、南铁一中联考)某校高一某班的某次数学测试成果(满分为100分)的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏，可见部分如图所示，据此解答下列问题：(1)求分数在[50,60]的频率及全班人数；(2)求分数在[80,90]的频数，并计算频率分布直方图中[80,90]的矩形的高．[解析](1)分数在[50,60]的频率为0.008×10＝0.08，全班人数为eq\f(2,0.08)＝25(人)(2)分数在[80,90]的频数25－21＝4，∴频率直方图中[80,90]的矩形的高为eq\f(4,10×25)＝0.016.15．(2024·四川省联合诊断)我国是世界上严峻缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了激励居民节约用水，安排在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准：(单位：吨)，用水不超过x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费，为了了解全部市民用水量分布状况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量(单位：吨)，将数据依据[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中a的值；(2)若该市政府期望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由．[解析](1)由直方图，可得(0.08＋0.16＋a＋0.40＋0.52＋a＋0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝1，解得a＝0.30.(2)因为前6组频率之和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52＋0.30)×0.5＝0.88>0.85.而前5组的频率之和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52)×0.5＝0.73<0.85.所以2.5≤x<3.由0.3×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9.因此，估计月用水量标准为2.9吨，85%的居民每月的用水量不超过标准．16．(2024·青海西宁六校期末)某次有1000人参与的数学摸底考试，其成果的频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀．(1)下表是这次考试成果的频数分布表，求正整数a，b的值；区间[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100]人数50a350300b(2)现在要用分层抽样的方法从这1000人中抽取40人的成果进行分析，求其中成果为优秀的学生人数；(3)在(2)中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参座谈会，记“其中成果为优秀的人数”为X，求X的分布列与数学期望．[解析](1)依题意，a＝0.04×5×1000＝200，b＝0.02×5×1000＝100.(2)设其中成果为优秀的学生人数为x，则eq\f(x,40)＝eq\f(350＋300＋100,1000)，解得：x＝30，即其中成果为优秀的学生人数为30名．(3)依题意，X的取值为0,1,2，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,10),C\o\al(2,40))＝eq\f(3,52)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,10)C\o\al(1,30),C\o\al(2,40))＝eq\f(5,13)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,30),C\o\al(2,40))＝eq\f(29,52)，所以X的分布列为X012Peq\f(3,52)eq\f(5,13)eq\f(29,52)所以X的数学期望为E(X)＝0×eq\f(3,52)＋1×eq\f(5,13)＋2×eq\f(29,52)＝eq\f(3,2).B组实力提升1．(多选题)(2024·辽宁大连双基测试改编)已知某中学的一次测验中，甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图如图所示，下列推断正确的是(ABC)A．乙班的理科综合成果强于甲班B．甲班的文科综合成果强于乙班C．两班的英语平均分分差最大D．两班的语文平均分分差最小[解析]由甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图可得：乙班的理科综合成果强于甲班，即选项A正确；甲班的文科综合成果强于乙班，即选项B正确；两班的英语平均分分差最大，即选项C正确；两班地理平均分分差最小，即选项D错误．故选A、B、C.2.(2024·河南新乡模拟)某地有两个国家AAAA组旅游景区——甲景区和乙景区．相关部分统计了这两个景区2024年1月至6月的客流量(单位：百人)，得到如图所示的茎叶图关于2024年1月至6月这两个景区的客流量，以下结论正确的是(D)A．甲景区客流量的中位数为13000B．乙景区客流量的中位数为13000C．甲景区客流量的平均值比乙景区客流量的平均值小D．甲景区客流量的极差比乙景区客流量的极差大[解析]甲景区客流量的中位数为12950，乙景区客流量的中位数为12450.依据茎叶图的数据，可知甲景区客流量的平均值比乙景区客流量的平均值大，甲景区客流量的极差为3200，乙景区客流量的极差为3000，故选D.3．(2024·湖南省永州市模拟)“远离毒品，珍爱生命”，某校为强化禁毒教化，驾驭学生对禁毒宣扬资料的了解程度，随机抽取30名学生参与禁毒学问测试，得分状况如图所示，若全部得分的中位数为M，众数为N，平均数为eq\x\to(x)，则(A)A．N<M<eq\o(x,\s\up6(－)) B．N<eq\o(x,\s\up6(－))<MC．M<N<eq\o(x,\s\up6(－)) D．M＝N＝eq\o(x,\s\up6(－))[解析]由中位数的定义，得M＝eq\f(5＋6,2)＝5.5，众数为N＝5，平均数为eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×10,30)＝5.96，所以N<M<eq\o(x,\s\up6(－))，故选A.4．(2024·安徽马鞍山质检)某公司新研发了一款手机应用APP，投入市场三个月后，公司对部分用户做了调研：抽取了400位运用者，每人填写一份综合评分表(满分为100分)．现从400份评分表中，随机抽取40份(其中男、女运用者的评分表各20份)作为样本，经统计得到如下的茎叶图：记该样本的中位数为M，按评分状况将运用者对该APP的看法分为三种类型：评分不小于M的称为“满足型”，评分不大于M－10的称为“不满足型”，其余的都称为“须改进型”．(1)求M的值，并估计这400名运用者中“须改进型”运用者的个数；(2)为了改进服务，公司对“不满足型”运用者进行了回访，依据回访看法改进后，再从“不满足型”运用者中随机抽取3人进行其次次调查，记这3人中的女性运用者人数为X，求X的分布列和数学期望．[解析](1)中位数等于eq\f(80＋82,2)＝81，所以M＝81,40个样本数据中共有13人是“须改进型”，从而可得400名运用者中约eq\f(13,40)×400＝130人是“须改进型”运用者；(2)不满足型运用者共7人，其中男性5人，女性2人，故X的全部可能的取值为0,1,2，且P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,7))＝eq\f(2,7)；P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(1,2),C\o\al(3,7))＝eq\f(4,7)；P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,2),C\o\al(3,7))＝eq\f(1,7).故X的分布列为X012Peq\f(2,7)eq\f(4,7)eq\f(1,7)所以X的数学期望E(X)＝eq