2025年高考数学复习热搜题速递之一元函数导数及其应用（2024年7月）

第1页（共1页）2025年高考数学复习热搜题速递之一元函数导数及其应用（2024年7月）一．选择题（共10小题）1．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）2．若x＝﹣2是函数f（x）＝（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（）A．﹣1 B．﹣2e﹣3 C．5e﹣3 D．13．若函数f（x）＝x-13sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则A．[﹣1，1] B．[﹣1，13] C．[-13，13] D．[﹣4．设函数f（x）＝ex（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．[-32e，1） B．[-32e，34） 5．设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y＝﹣2x B．y＝﹣x C．y＝2x D．y＝x6．已知f（x）＝alnx+12x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有f(xA．（0，1] B．（1，+∞） C．（0，1） D．[1，+∞）7．已知a为函数f（x）＝x3﹣12x的极小值点，则a＝（）A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．28．已知曲线y=x24-3A．3 B．2 C．1 D．19．函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0 C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜010．设a≠0，若x＝a为函数f（x）＝a（x﹣a）2（x﹣b）的极大值点，则（）A．a＜b B．a＞b C．ab＜a2 D．ab＞a2二．填空题（共5小题）11．若直线y＝kx+b是曲线y＝lnx+2的切线，也是曲线y＝ln（x+1）的切线，则b＝．12．已知函数f（x）＝2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是．13．曲线y＝3（x2+x）ex在点（0，0）处的切线方程为．14．已知函数f（x）＝x3﹣2x+ex-1ex，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是15．曲线y＝x2+1x在点（1，2）处的切线方程为三．解答题（共5小题）16．已知函数f（x）=1x-x（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：f(x1)-17．已知函数f（x）＝（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（Ⅰ）当a＝4时，求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．18．已知函数f（x）＝aex﹣lnx﹣1．（1）设x＝2是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间；（2）证明：当a≥1e时，f（x）≥19．设函数f（x）＝（1﹣x2）•ex．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求实数a的取值范围．20．已知函数f（x）＝（x﹣2）ex+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．

2025年高考数学复习热搜题速递之一元函数导数及其应用（2024年7月）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】创新题型；函数的性质及应用；导数的综合应用．【答案】A【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=f(x)x为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g【解答】解：设g（x）=f则g（x）的导数为：g′（x）=xf∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=f又∵g（﹣x）=f(-x)∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）=f(-1)∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔x＞0g⇔0＜x＜1或x＜﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．2．若x＝﹣2是函数f（x）＝（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（）A．﹣1 B．﹣2e﹣3 C．5e﹣3 D．1【考点】利用导数求解函数的极值．【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用．【答案】A【分析】求出函数的导数，利用极值点，求出a，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可．【解答】解：函数f（x）＝（x2+ax﹣1）ex﹣1，可得f′（x）＝（2x+a）ex﹣1+（x2+ax﹣1）ex﹣1，x＝﹣2是函数f（x）＝（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，可得：f′（﹣2）＝（﹣4+a）e﹣3+（4﹣2a﹣1）e﹣3＝0，即﹣4+a+（3﹣2a）＝0．解得a＝﹣1．可得f′（x）＝（2x﹣1）ex﹣1+（x2﹣x﹣1）ex﹣1，＝（x2+x﹣2）ex﹣1，函数的极值点为：x＝﹣2，x＝1，当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0函数是增函数，x∈（﹣2，1）时，函数是减函数，x＝1时，函数取得极小值：f（1）＝（12﹣1﹣1）e1﹣1＝﹣1．故选：A．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查计算能力．3．若函数f（x）＝x-13sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则A．[﹣1，1] B．[﹣1，13] C．[-13，13] D．[﹣【考点】由函数的单调性求解函数或参数．【专题】转化思想；分类法；导数的综合应用．【答案】C【分析】求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）≥0恒成立，设t＝cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，对t讨论，分t＝0，0＜t≤1，﹣1≤t＜0，分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）＝x-13sin2x+asinx的导数为f′（x）＝1-23cos2x+由题意可得f′（x）≥0恒成立，即为1-23cos2x+acosx≥即有53-43cos2x+acos设t＝cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，当t＝0时，不等式显然成立；当0＜t≤1时，3a≥4t-5由4t-5t在（0，1]递增，可得t＝1时，取得最大值﹣可得3a≥﹣1，即a≥-1当﹣1≤t＜0时，3a≤4t-5由4t-5t在[﹣1，0）递增，可得t＝﹣1时，取得最小值可得3a≤1，即a≤1综上可得a的范围是[-13，1另解：设t＝cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，由题意可得5﹣4+3a≥0，且5﹣4﹣3a≥0，解得a的范围是[-13，1故选：C．【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和换元法，考查函数的单调性的运用，属于中档题．4．设函数f（x）＝ex（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．[-32e，1） B．[-32e，34） 【考点】利用导数研究函数的极值；函数的零点．【专题】创新题型；导数的综合应用．【答案】D【分析】设g（x）＝ex（2x﹣1），y＝ax﹣a，问题转化为存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y＝ax﹣a的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得﹣a＞g（0）＝﹣1且g（﹣1）＝﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解关于a的不等式组可得．【解答】解：设g（x）＝ex（2x﹣1），y＝ax﹣a，由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y＝ax﹣a的下方，∵g′（x）＝ex（2x﹣1）+2ex＝ex（2x+1），∴当x＜-12时，g′（x）＜0，当x＞-12时，g′（∴当x=-12时，g（x）取最小值﹣当x＝0时，g（0）＝﹣1，当x＝1时，g（1）＝e＞0，直线y＝ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，故﹣a＞g（0）＝﹣1且g（﹣1）＝﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得32e≤故选：D．【点评】本题考查导数和极值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．5．设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y＝﹣2x B．y＝﹣x C．y＝2x D．y＝x【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用．【答案】D【分析】利用函数的奇偶性求出a，求出函数的导数，求出切线的斜率然后求解切线方程．【解答】解：函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，f（﹣x）＝﹣f（x），﹣x3+（a﹣1）x2﹣ax＝﹣（x3+（a﹣1）x2+ax）＝﹣x3﹣（a﹣1）x2﹣ax．所以：（a﹣1）x2＝﹣（a﹣1）x2可得a＝1，所以函数f（x）＝x3+x，可得f′（x）＝3x2+1，曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y＝x．故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法，考查计算能力．6．已知f（x）＝alnx+12x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有f(xA．（0，1] B．（1，+∞） C．（0，1） D．[1，+∞）【考点】导数及其几何意义；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；压轴题；数学建模；数学运算．【答案】D【分析】先将条件“对任意两个不等的正实数x1，x2，都有f(x1)-f(x2)x1-x2＞2恒成立”转换成f（x1）﹣2x1＞f（x2）﹣2x【解答】解：对任意两个不等的正实数x1，x2，都有f(x1)-f(x2f（x1）﹣f（x2）＞2x1﹣2x2，即f（x1）﹣2x1＞f（x2）﹣2x2对于任意x1＞x2＞0成立，令h（x）＝f（x）﹣2x，h（x）在（0，+∞）为增函数，∴h'（x）=ax+x﹣2≥0在（0，+ax+x﹣2≥0，则a≥（2x﹣x2）max故选：D．【点评】本题主要考查了导数的几何意义，以及函数恒成立问题，同时考查了转化与化归的数学思想，属于基础题．7．已知a为函数f（x）＝x3﹣12x的极小值点，则a＝（）A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】计算题；函数思想；综合法；导数的综合应用．【答案】D【分析】可求导数得到f′（x）＝3x2﹣12，可通过判断导数符号从而得出f（x）的极小值点，从而得出a的值．【解答】解：f′（x）＝3x2﹣12；∴x＜﹣2时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0；∴x＝2是f（x）的极小值点；又a为f（x）的极小值点；∴a＝2．故选：D．【点评】考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，要熟悉二次函数的图象．8．已知曲线y=x24-3A．3 B．2 C．1 D．1【考点】导数及其几何意义．【答案】A【分析】根据斜率，对已知函数求导，解出横坐标，要注意自变量的取值区间．【解答】解：设切点的坐标为（x0，y0）∵曲线y=x2∴y′=x02-3x0=12，解得x故选：A．【点评】考查导数的几何意义，属于基础题，对于一个给定的函数来说，要考虑它的定义域．比如，该题的定义域为{x＞0}．9．函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0 C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】开放型；函数的性质及应用．【答案】A【分析】根据函数的图象和性质，利用排除法进行判断即可．【解答】解：f（0）＝d＞0，排除D，当x→+∞时，y→+∞，∴a＞0，排除C，函数的导数f′（x）＝3ax2+2bx+c，则f′（x）＝0有两个不同的正实根，则x1+x2=-2b3a＞0且x1x2=∴b＜0，c＞0，方法2：f′（x）＝3ax2+2bx+c，由图象知当x＜x1时函数递增，当x1＜x＜x2时函数递减，则f′（x）对应的图象开口向上，则a＞0，且x1+x2=-2b3a＞0且x1x2=∴b＜0，c＞0，方法3：f（0）＝d＞0，排除D，函数的导数f′（x）＝3ax2+2bx+c，则f′（0）＝c＞0，排除B，C，故选：A．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合函数的极值及f（0）的符号是解决本题的关键．10．设a≠0，若x＝a为函数f（x）＝a（x﹣a）2（x﹣b）的极大值点，则（）A．a＜b B．a＞b C．ab＜a2 D．ab＞a2【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】数形结合；数形结合法；导数的综合应用；数学运算．【答案】D【分析】分a＞0及a＜0，结合三次函数的性质及题意，通过图象发现a，b的大小关系，进而得出答案．【解答】解：令f（x）＝0，解得x＝a或x＝b，即x＝a及x＝b是f（x）的两个零点，当a＞0时，由三次函数的性质可知，要使x＝a是f（x）的极大值点，则函数f（x）的大致图象如下图所示，则0＜a＜b；当a＜0时，由三次函数的性质可知，要使x＝a是f（x）的极大值点，则函数f（x）的大致图象如下图所示，则b＜a＜0；综上，ab＞a2．故选：D．【点评】本题考查三次函数的图象及性质，考查导数知识的运用，考查数形结合思想，属于中档题．二．填空题（共5小题）11．若直线y＝kx+b是曲线y＝lnx+2的切线，也是曲线y＝ln（x+1）的切线，则b＝1﹣ln2．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【答案】1﹣ln2．【分析】先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可【解答】解：设y＝kx+b与y＝lnx+2和y＝ln（x+1）的切点分别为（x1，kx1+b）、（x2，kx2+b）；由导数的几何意义可得k=1x1=1x2再由切点也在各自的曲线上，可得k联立上述式子解得k=2从而kx1+b＝lnx1+2得出b＝1﹣ln2．法二：函数y＝lnx+2的导函数为y′=1x，函数y＝ln（x+1）的导函数为y′设曲线y＝lnx+2和曲线y＝ln（x+1）上的切点的横坐标分别为m，n，则该切线方程可以写为y=1m（x﹣m）+lnm也可以写为y=1n+1（x﹣n）+ln（整理后对比得1m=1所以b＝1﹣ln2．故答案为：1﹣ln2．【点评】本题考查了导数的几何意义，体现了方程思想，对学生综合计算能力有一定要求，中档题12．已知函数f（x）＝2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是-33【考点】利用导数研究函数的最值；三角函数的最值．【专题】计算题；方程思想；综合法；导数的综合应用；三角函数的求值．【答案】-3【分析】由题意可得T＝2π是f（x）的一个周期，问题转化为f（x）在[0，2π）上的最小值，求导数计算极值和端点值，比较可得．【解答】解：由题意可得T＝2π是f（x）＝2sinx+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）＝2sinx+sin2x在[0，2π）上的值域，先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f′（x）＝2cosx+2cos2x＝2cosx+2（2cos2x﹣1）＝2（2cosx﹣1）（cosx+1），令f′（x）＝0可解得cosx=12或cosx＝﹣可得此时x=π3，π或∴y＝2sinx+sin2x的最小值只能在点x=π3，π或5π3和边界点计算可得f（π3）=332，f（π）＝0，f（5π3）=-∴函数的最小值为-3故答案为：-3【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及导数法求函数区间的最值，属中档题．13．曲线y＝3（x2+x）ex在点（0，0）处的切线方程为y＝3x．【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．【专题】计算题；导数的概念及应用．【答案】见试题解答内容【分析】对y＝3（x2+x）ex求导，可将x＝0代入导函数，求得斜率，即可得到切线方程．【解答】解：∵y＝3（x2+x）ex，∴y'＝3ex（x2+3x+1），∴当x＝0时，y'＝3，∴y＝3（x2+x）ex在点（0，0）处的切线斜率k＝3，∴切线方程为：y＝3x．故答案为：y＝3x．【点评】本题考查了利用导数研究函数上某点的切线方程，切点处的导数值为斜率是解题关键，属基础题．14．已知函数f（x）＝x3﹣2x+ex-1ex，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是[﹣1，1【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【答案】见试题解答内容【分析】求出f（x）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f（x）在R上递增；再由奇偶性的定义，可得f（x）为奇函数，原不等式即为2a2≤1﹣a，运用二次不等式的解法即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）＝x3﹣2x+ex-1f′（x）＝3x2﹣2+ex+1ex≥-可得f（x）在R上递增；又f（﹣x）+f（x）＝（﹣x）3+2x+e﹣x﹣ex+x3﹣2x+ex-1e可得f（x）为奇函数，则f（a﹣1）+f（2a2）≤0，即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）由f（﹣（a﹣1））＝﹣f（a﹣1），f（2a2）≤f（1﹣a），即有2a2≤1﹣a，解得﹣1≤a≤1故答案为：[﹣1，12]【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．15．曲线y＝x2+1x在点（1，2）处的切线方程为x﹣y+1＝0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用．【答案】见试题解答内容【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，利用点斜式求解切线方程即可．【解答】解：曲线y＝x2+1x，可得y′＝2x切线的斜率为：k＝2﹣1＝1．切线方程为：y﹣2＝x﹣1，即：x﹣y+1＝0．故答案为：x﹣y+1＝0．【点评】本题考查切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．三．解答题（共5小题）16．已知函数f（x）=1x-x（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：f(x1)-【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】分类讨论；转化法；导数的综合应用．【答案】见试题解答内容【分析】（1）求出函数的定义域和导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．（2）将不等式进行等价转化，构造新函数，研究函数的单调性和最值即可得到结论．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x）=-1x设g（x）＝x2﹣ax+1，当a≤0时，g（x）＞0恒成立，即f′（x）＜0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，当a＞0时，判别式Δ＝a2﹣4，①当0＜a≤2时，△≤0，即g（x）≥0，即f′（x）≤0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，②当a＞2时，x，f′（x），f（x）的变化如下表：x（0，a-a（a-a2a（a+a2f′（x）﹣0+0﹣f（x）递减递增递减综上当a≤2时，f（x）在（0，+∞）上是减函数，当a＞2时，在（0，a-a2-4则（a-a2（2）由（1）知a＞2，不妨设x1＜x2，则0＜x1＜1＜x2，x1x2＝1，则f（x1）﹣f（x2）＝（x2﹣x1）（1+1x1x2）+a（lnx1﹣lnx2）＝2（x2﹣x1）+a（lnx则f(x1则问题转为证明lnx1即证明lnx1﹣lnx2＞x1﹣x2，则lnx1﹣ln1x1＞x即lnx1+lnx1＞x1-1即证2lnx1＞x1-1x1在（0，1设h（x）＝2lnx﹣x+1x，（0＜x＜1），其中h（1）＝求导得h′（x）=2x-1则h（x）在（0，1）上单调递减，∴h（x）＞h（1），即2lnx﹣x+1x故2lnx＞x-1则f(x1)-（2）另解：注意到f（1x）＝x-1x-alnx＝﹣即f（x）+f（1x）＝0不妨设x1＜x2，由韦达定理得x1x2＝1，x1+x2＝a＞2，得0＜x1＜1＜x2，x1=1可得f（x2）+f（1x2）＝0，即f（x1）+f（x2）＝要证f(x1)-f(x2)x即证2alnx2﹣ax2+ax2＜0，（x构造函数h（x）＝2alnx﹣ax+ax，（x＞1），h′（x）=∴h（x）在（1，+∞）上单调递减，∴h（x）＜h（1）＝0，∴2alnx﹣ax+ax＜0成立，即2alnx2﹣ax2+ax2＜即f(x1)-【点评】本题主要考查函数的单调性的判断，以及函数与不等式的综合，求函数的导数，利用导数的应用是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．17．已知函数f（x）＝（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（Ⅰ）当a＝4时，求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．【考点】简单复合函数的导数．【专题】综合题；转化思想；综合法；导数的概念及应用．【答案】见试题解答内容【分析】（I）当a＝4时，求出曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线的斜率，即可求出切线方程；（II）先求出f′（x）＞f′（1）＝2﹣a，再结合条件，分类讨论，即可求a的取值范围．【解答】解：（I）当a＝4时，f（x）＝（x+1）lnx﹣4（x﹣1）．f（1）＝0，即点为（1，0），函数的导数f′（x）＝lnx+（x+1）•1x-则f′（1）＝ln1+2﹣4＝2﹣4＝﹣2，即函数的切线斜率k＝f′（1）＝﹣2，则曲线y＝f（x）在（1，0）处的切线方程为y＝﹣2（x﹣1）＝﹣2x+2；（II）∵f（x）＝（x+1）lnx﹣a（x﹣1），∴f′（x）＝1+1x+lnx∴f″（x）=x∵x＞1，∴f″（x）＞0，∴f′（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f′（x）＞f′（1）＝2﹣a．①a≤2，f′（x）＞f′（1）≥0，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）＞f（1）＝0，满足题意；②a＞2，存在x0∈（1，+∞），f′（x0）＝0，函数f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，由f（1）＝0，可得存在x0∈（1，+∞），f（x0）＜0，不合题意．综上所述，a≤2．【点评】本题主要考查了导数的应用，函数的导数与函数的单调性的关系的应用，导数的几何意义，考查参数范围的求解，考查学生分析解决问题的能力，有难度．18．已知函数f（x）＝aex﹣lnx﹣1．（1）设x＝2是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间；（2）证明：当a≥1e时，f（x）≥【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】证明题；转化思想；综合法；导数的综合应用．【答案】见试题解答内容【分析】（1）推导出x＞0，f′（x）＝aex-1x，由x＝2是f（x）的极值点，解得a=12e2，从而f（x）=12e2ex﹣lnx﹣1，进而（2）法一：当a≥1e时，f（x）≥exe-lnx﹣1，设g（x）=exe-lnx﹣1，x＞0，则g法二：f（x）≥0，即a≥lnx+1ex，x＞0，令g（x）=lnx+1ex，x＞0，则g'(x)=1x-lnx-1ex，利用导数性质得g（x）在（0，1）单调递增，在（1，+法三：当a≥1e时，f（x）≥e【解答】解：（1）∵函数f（x）＝aex﹣lnx﹣1．∴x＞0，f′（x）＝aex-1∵x＝2是f（x）的极值点，∴f′（2）＝ae2-12=0，解得∴f（x）=12e2ex﹣lnx﹣1，∴f′（当0＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调递减区间是（0，2），单调递增区间是（2，+∞）．（2）证法一：当a≥1e时，f（x）≥ex设g（x）=exe-lnx﹣1，x＞由g'(x)=ex当0＜x＜1时，g′（x）＜0，当x＞1时，g′（x）＞0，∴x＝1是g（x）的最小值点，故当x＞0时，g（x）≥g（1）＝0，∴当a≥1e时，f（x）＝aex﹣lnx﹣1≥证法二：∵函数f（x）＝aex﹣lnx﹣1，∴f（x）≥0，即a≥lnx+1ex，令g（x）=lnx+1ex，x＞0，则g'(x)=1x-当0＜x＜1时，1x-1＞0，﹣lnx＞0，g当x＞1时，1x-1＜0，﹣lnx＜0，g∴g（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，g（x）≤g（1）=1∵a≥1e，∴a≥g（∴当a≥1e时，f（x）≥证法三：当a≥1e时，f（x）≥e由于ex则ex≥elnex⇔xex≥exlnex⇔xex≥elnexlnex，令g（x）＝xex，则g'（x）＝ex（x+1）＞0，即g（x）为增函数，又易证x≥lnex＝lnx+1，故g（x）≥g（lnex），即xex≥elnexlnex成立，故当a≥1e时，f（x【点评】本题考查函数的单调性、导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题．19．设函数f（x）＝（1﹣x2）•ex．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用．【答案】（1）f（x）在（﹣∞，﹣1-2），（﹣1+2，+∞）上单调递减，在（﹣1-2，﹣（2）a的取值范围是[1，+∞）．【分析】（1）求出函数的导数，求出极值点，利用导函数的符号，判断函数的单调性即可．（2）化简f（x）＝（1﹣x）（1+x）ex．f（x）≤ax+1，下面对a的范围进行讨论：①当a≥1时，②当0＜a＜1时，设函数g（x）＝ex﹣x﹣1，则g′（x）＝ex﹣1＞0（x＞0），推出结论；③当a≤0时，推出结果，然后得到a的取值范围．【解答】解：（1）因为f（x）＝（1﹣x2）ex，x∈R，所以f′（x）＝（1﹣2x﹣x2）ex，令f′（x）＝0可知x＝﹣1±2，当x＜﹣1-2或x＞﹣1+2时f′（x）＜0，当﹣1-2＜x＜﹣1+2时f所以f（x）在（﹣∞，﹣1-2），（﹣1+2，+∞）上单调递减，在（﹣1-2，﹣（2）由题可知f（x）＝（1﹣x）（1+x）ex．下面对a的范围进行讨论：①当a≥1时，设函数h（x）＝（1﹣x）ex，则h′（x）＝﹣xex＜0（x＞0），因此h（x）在[0，+∞）上单调递减，又因为h（0）＝1，所以h（x）≤1，所以f（x）＝（1+x）h（x）≤x+1≤ax+1；②当0＜a＜1时，设函数g（x）＝ex﹣x﹣1，则g′（x）＝ex﹣1＞0（x＞0），所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，又g（0）＝1﹣0﹣1＝0，所以ex≥x+1．因为当0＜x＜1时f（x）＞（1﹣x）（1+x）2，所以（1﹣x）（1+x）2﹣ax﹣1＝x（1﹣a﹣x﹣x2），取x0=5-4a-12∈（0，1），则（1﹣x0）（1+x0）2﹣ax0所以f（x0）＞ax0+1，矛盾；③当a≤0时，取x0=5-12∈（0，1），则f（x0）＞（1﹣x0）（1+x0）2＝1≥综上所述，a的取值范围是[1，+∞）．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．20．已知函数f（x）＝（x﹣2）ex+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，讨论当a≥0时，a＜-e2时，a=-e2时，-e2＜（Ⅱ）由（Ⅰ）的单调区间，对a讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝（x﹣2）ex+a（x﹣1）2，可得f′（x）＝（x﹣1）ex+2a（x﹣1）＝（x﹣1）（ex+2a），①当a≥0时，由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1，即有f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增（如右上图）；②当a＜0时，（如右下图），由ex+2a＝0，可得x＝ln（﹣2a），由ln（﹣2a）＝1，解得a=-若a=-e2，则f′（x）≥0恒成立，即有f（x若a＜-e2时，由f′（x）＞0，可得x＜1或x＞ln（﹣2由f′（x）＜0，可得1＜x＜ln（﹣2a）．即有f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增；在（1，ln（﹣2a））递减；若-e2＜a＜0，由f′（x）＞0，可得x＜ln（﹣2a）或x由f′（x）＜0，可得ln（﹣2a）＜x＜1．即有f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a）），（1，+∞）递增；在（ln（﹣2a），1）递减；（Ⅱ）①由（Ⅰ）可得当a＞0时，f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增，且f（1）＝﹣e＜0，x→+∞，f（x）→+∞；当x→﹣∞时f（x）＞0或找到一个x＜1使得f（x）＞0对于a＞0恒成立，f（x）有两个零点；②当a＝0时，f（x）＝（x﹣2）ex，所以f（x）只有一个零点x＝2；③当a＜0时，若a＜-e2时，f（x）在（1，ln（﹣2在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增，又当x≤1时，f（x）＜0，所以f（x）不存在两个零点；当a≥-e2时，在（﹣∞，ln（﹣2a））单调增，在（1，在（ln（﹣2a），1）单调减，只有f（ln（﹣2a））等于0才有两个零点，而当x≤1时，f（x）＜0，所以只有一个零点不符题意．综上可得，f（x）有两个零点时，a的取值范围为（0，+∞）．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点的判断，注意运用分类讨论的思想方法和函数方程的转化思想，考查化简整理的运算能力，属于难题．

考点卡片1．三角函数的最值【知识点的认识】三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．【解题方法点拨】例1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝32+22cos（2解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x=1-cos2x2-sin2x2=32+22cos故答案为：32+22cos（这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换．例2：函数y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是．解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]∵二次函数y＝t2﹣t+3的图象开口向上，对称轴是t=∴当t=1而函数的最大值为t＝﹣1时或t＝1时函数值中的较大的那个∵t＝﹣1时，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，当t＝1时，y＝12﹣1+3＝3∴函数的最大值为t＝﹣1时y的值即sinx＝﹣1时，函数的最大值为5．这个题就是典型的换元，把sinx看成是自变量t，最后三角函数看成是一个一元二次函数，在换元的时候要注意到三角函数的定义域和相应的值域．【命题方向】求三角函数的最值是高考的一个常考点，主要方法我上面已经写了，大家要注意的是把一些基本的方法融会贯通，同时一定要注意函数的定义域和相对应的值域．2．函数的零点【知识点的认识】一般地，对于函数y＝f（x）（x∈R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f（x）（x∈D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．【解题方法点拨】解法﹣﹣二分法①确定区间[a，b]，验证f（a）*f（b）＜0，给定精确度；②求区间（a，b）的中点x1；③计算f（x1）；④若f（x1）＝0，则x1就是函数的零点；⑤若f（a）f（x1）＜0，则令b＝x1（此时零点x0∈（a，x1））；⑥若f（x1）f（b）＜0，则令a＝x1．（此时零点x0∈（x1，b）⑦判断是否满足条件，否则重复（2）～（4）【命题方向】零点其实并没有多高深，简单的说，就是某个函数的零点其实就是这个函数与x轴的交点的横坐标，另外如果在（a，b）连续的函数满足f（a）•f（b）＜0，则（a，b）至少有一个零点．这个考点属于了解性的，知道它的概念就行了．3．函数零点的判定定理【知识点的认识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．【解题方法点拨】函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；②函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．4．导数及其几何意义【知识点的认识】1、导数的定义如果函数f（x）在（a，b）中每一点处都可导，则称f（x）在（a，b）上可导，则可建立f（x）的导函数，简称导数，记为f′（x）；如果f（x）在（a，b）内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f（x）在闭区间[a，b]上可导，f′（x）为区间[a，b]上的导函数，简称导数．2、导数的几何意义函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）=x【解题方法点拨】（1）利用导数求曲线的切线方程．求出y＝f（x）在x0处的导数f′（x）；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）．（2）若函数在x＝x0处可导，则图象在（x0，f（x0））处一定有切线，但若函数在x＝x0处不可导，则图象在（x0，f（x0））处也可能有切线，即若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．（3）注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，（4）显然f′（x0）＞0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）＜0，切线与x轴正向的夹角为钝角；f（x0）＝0，切线与x轴平行；f′（x0）不存在，切线与y轴平行．【命题方向】题型一：根据切线方程求斜率典例1：已知曲线y=x2A．3B．2C．1D．1解：设切点的横坐标为（x0，y0）∵曲线y=x2∴y′=x02-3x0=12，解得x故选A．题型二：求切线方程典例2：已知函数f(x)=ax2+bx+c，x≥-1f(-x-2)，x＜A．y＝﹣2x﹣3B．y＝﹣2x+3C．y＝2x﹣3D．y＝2x+3解：∵图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1∴f（1）＝2+1＝3∵f（﹣3）＝f（3﹣2）＝f（1）＝3∴（﹣3，f（﹣3））即为（﹣3，3）∴在点（﹣3，f（﹣3））处的切线过（﹣3，3）将（﹣3，3）代入选项通过排除法得到点（﹣3，3）只满足A故选A．5．简单复合函数的导数【知识点的认识】1、基本函数的导函数①C′＝0（C为常数）②（xn）′＝nxn﹣1（n∈R）③（sinx）′＝cosx④（cosx）′＝﹣sinx⑤（ex）′＝ex⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′=1x*（logae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′2、和差积商的导数①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[f(x)g3、复合函数的导数设y＝u（t），t＝v（x），则y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）【解题方法点拨】1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．【命题方向】题型一：和差积商的导数典例1：已知函数f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（）A．0B．2014C．2015D．8解：f′（x）＝acosx+3bx2，∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2∴f′（x）为偶函数；f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0∴f（2014）+f（﹣2014）＝asin（2014）+b•20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8故选D．题型二：复合函数的导数典例2：下列式子不正确的是（）A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinxB．（lnx﹣2x）′=1xC．（2sin2x）′＝2cos2xD．（sinxx）′解：由复合函数的求导法则对于选项A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx成立，故A正确；对于选项B，(lnx-2对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正确；对于选项D，(sinxx)'=故选C．6．利用导数研究函数的单调性【知识点的认识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．【命题方向】题型一：导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）