2025年高考数学复习热搜题速递之一、二次函数及方程、不等式（2024年7月）

第1页（共1页）2025年高考数学复习热搜题速递之一、二次函数及方程、不等式（2024年7月）一．选择题（共10小题）1．若变量x，y满足x+y≤22x-A．4 B．9 C．10 D．122．若函数f（x）＝x2+ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（）A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关3．如果函数f（x）=12（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[12，A．16 B．18 C．25 D．814．已知关于x的不等式kx2﹣6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是（）A．0≤k≤1 B．0＜k≤1 C．k＜0或k＞1 D．k≤0或k≥15．若函数y＝x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[-254，﹣4]，则A．（0，4] B．[32，4] C．[6．函数f（x）＝（x﹣1）2的单调递增区间是（）A．[0，+∞） B．[1，+∞） C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1]7．二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|﹣1＜x＜13}，则A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．68．若变量x、y满足约束条件x-y+1≤0y≤1x＞-A．322 B．5 C．92 9．不等式3xA．{x|34≤x≤2} B．{x|34≤C．{x|x＞2或x≤34} D．{x|x10．关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）二．填空题（共5小题）11．若x，y满足约束条件x-1≥0x-y12．不等式﹣x2﹣3x+4＞0的解集为．（用区间表示）13．已知函数f（x）＝x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]都有f（x）＜0，则实数m的取值范围为．14．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．15．设x∈R，使不等式3x2+x﹣2＜0成立的x的取值范围为．三．解答题（共5小题）16．若不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}．（1）解不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0；（2）b为何值时，ax2+bx+3≥0的解集为R．17．设函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）．（Ⅰ）当b=a24+1时，求函数f（x）在[﹣1，1]上的最小值（Ⅱ）已知函数f（x）在[﹣1，1]上存在零点，0≤b﹣2a≤1，求b的取值范围．18．设函数f（x）＝x2+（a﹣4）x+4﹣2a，（1）解关于x的不等式f（x）＞0；（2）若对任意的x∈[﹣1，1]，不等式f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．19．已知二次函数f（x）满足条件f（0）＝1和f（x+1）﹣f（x）＝2x．（1）求f（x）；（2）求f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值．20．设函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）∀x∈R，使f（x）≥t2-112t，求实数

2025年高考数学复习热搜题速递之一、二次函数及方程、不等式（2024年7月）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．若变量x，y满足x+y≤22x-A．4 B．9 C．10 D．12【考点】简单线性规划．【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式．【答案】C【分析】由约束条件作出可行域，然后结合x2+y2的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求得x2+y2的最大值．【解答】解：由约束条件x+y∵A（0，﹣3），C（0，2），∴|OA|＞|OC|，联立x+y=22x-3∵|OB∴x2+y2的最大值是10．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．2．若函数f（x）＝x2+ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（）A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关【考点】二次函数的性质与图象．【专题】分类讨论；分类法；函数的性质及应用．【答案】B【分析】结合二次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下M﹣m的取值与a，b的关系，综合可得答案．【解答】解：函数f（x）＝x2+ax+b的图象是开口朝上且以直线x=-①当-a2＞1或-a2＜0，即a＜﹣函数f（x）在区间[0，1]上单调，此时M﹣m＝|f（1）﹣f（0）|＝|a+1|，故M﹣m的值与a有关，与b无关②当12≤-a2≤1，即﹣2函数f（x）在区间[0，-a2]上递减，在[-a且f（0）＞f（1），此时M﹣m＝f（0）﹣f（-a2）故M﹣m的值与a有关，与b无关③当0≤-a2＜12，即﹣1函数f（x）在区间[0，-a2]上递减，在[-a且f（0）＜f（1），此时M﹣m＝f（1）﹣f（-a2）＝1+a故M﹣m的值与a有关，与b无关综上可得：M﹣m的值与a有关，与b无关故选：B．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．3．如果函数f（x）=12（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[12，A．16 B．18 C．25 D．81【考点】二次函数的性质与图象；利用导数研究函数的极值；基本不等式及其应用．【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用；不等式的解法及应用．【答案】B【分析】函数f（x）=12（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[12，2]上单调递减，则f′（x）≤0，故（m﹣2）x+n﹣8≤0在[12，2]上恒成立．分m＝2与m≠2进行讨论，当m≠2时，（m﹣2）x+n﹣8是一次函数，在[12，2]上的图象是一条线段．故只需在两个端点处f′（12）≤0，【解答】解：∵函数f（x）=12（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[1∴f′（x）≤0，故（m﹣2）x+n﹣8≤0在[12，2]上恒成立当m＝2时，n﹣8＜0在[12，2]上恒成立，即n＜8，此时mn＜16当m≠2时，y＝（m﹣2）x+n﹣8是一次函数，在[12，2]上的图象故只需在两个端点处f′（12）≤0，f′（2）≤0即可．即1由（2）得m≤12（12﹣∴mn≤12n（12﹣n）≤12(n+12-n2)经检验m＝3，n＝6满足（1）和（2）．故选：B．解法二：∵函数f（x）=12（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[1∴①m＝2，n＜8，对称轴x=-②m-2＞③m-2＜设x＞22x+设y=kx，y′当切点为（x0，y0），k取最大值．①-kx02=-2．k∴y0＝﹣2x0+12，y0=2x02x0=2x0，可得x0＝∵x＝3＞2，∴k的最大值为3×6＝18，②-kx02y0=12y0+x0﹣18＝0，解得：x0＝9，y0=9∵x0＜2，∴不符合题意，③m＝2，n＝8，k＝mn＝16，综合得出：m＝3，n＝6时k最大值为18．故选：B．【点评】本题综合考查了函数方程的运用，线性规划问题，结合导数的概念，运用几何图形判断，难度较大，属于难题．4．已知关于x的不等式kx2﹣6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是（）A．0≤k≤1 B．0＜k≤1 C．k＜0或k＞1 D．k≤0或k≥1【考点】一元二次不等式及其应用．【专题】分类讨论；分类法；不等式的解法及应用．【答案】A【分析】对k进行分类讨论，当k＝0时恒成立，k＜0时不等式不能恒成立，当k＞0时，只需△≤0求得k的范围，最后综合得到答案．【解答】解：当k＝0时，不等式kx2﹣6kx+k+8≥0化为8≥0恒成立，当k＜0时，不等式kx2﹣6kx+k+8≥0不能恒成立，当k＞0时，要使不等式kx2﹣6kx+k+8≥0恒成立，需Δ＝36k2﹣4（k2+8k）≤0，解得0≤k≤1，故选：A．【点评】本题主要考查了二次函数的性质．考查了学生分类讨论思想，数形结合思想以及不等式的相关知识．5．若函数y＝x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[-254，﹣4]，则A．（0，4] B．[32，4] C．[【考点】二次函数的性质与图象．【专题】函数的性质及应用；数学建模；数学运算．【答案】C【分析】根据函数的函数值f（32）=-254，f（0）＝﹣【解答】解：∵f（x）＝x2﹣3x﹣4＝（x-32）2∴f（32）=-254，又f（故由二次函数图象可知：m的值最小为32最大为3．m的取值范围是：[32，3]故选：C．【点评】本题考查了二次函数的性质，特别是利用抛物线的对称特点进行解题，属于基础题．6．函数f（x）＝（x﹣1）2的单调递增区间是（）A．[0，+∞） B．[1，+∞） C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1]【考点】二次函数的性质与图象．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【答案】B【分析】根据二次函数的性质求出函数的递增区间即可．【解答】解：函数f（x）的对称轴是x＝1，开口向上，故f（x）在[1，+∞）递增，故选：B．【点评】本题考查了二次函数的性质，是一道基础题．7．二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|﹣1＜x＜13}，则A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6【考点】一元二次不等式及其应用；基本不等式及其应用．【专题】不等式的解法及应用；数学运算．【答案】D【分析】先对原不等式进行等价变形，进而利用韦达定理求得ba和1a的值，进而求得a和b，则【解答】解：∵不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|﹣1＜x＜13∴a＜0，∴原不等式等价于﹣ax2﹣bx﹣1＜0，由韦达定理知﹣1+13=-ba，﹣∴a＝﹣3，b＝﹣2，∴ab＝6．故选：D．【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法．注意和一元二次方程的相关问题解决．8．若变量x、y满足约束条件x-y+1≤0y≤1x＞-A．322 B．5 C．92 【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【答案】D【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z＝（x﹣2）2+y2，利用距离公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设z＝（x﹣2）2+y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D（2，0）的距离的平方，由图象知CD的距离最小，此时z最小．由y=1x-y+1=0得x=0y此时z＝（x﹣2）2+y2＝4+1＝5，故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及两点间的距离公式，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．9．不等式3xA．{x|34≤x≤2} B．{x|34≤C．{x|x＞2或x≤34} D．{x|x【考点】一元二次不等式及其应用．【专题】计算题．【答案】B【分析】把原不等式的右边移项到左边，通分计算后，然后转化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即为原不等式的解集．【解答】解：不等式3x移项得：3x-12-x可化为：x-34解得：34≤x＜则原不等式的解集为：34≤x故选：B．【点评】此题考查了其他不等式的解法，考查了转化及分类讨论的数学思想，是高考中常考的题型．学生进行不等式变形，在不等式两边同时除以﹣1时，注意不等号方向要改变．10．关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）【考点】一元二次不等式及其应用．【专题】函数思想；转化法；不等式的解法及应用．【答案】A【分析】关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，等价于a＜(2x-x)max，x∈[1，4]，求出f（x）=2【解答】解：关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，等价于a＜(2x-x)max设f（x）=2x-x，x∈[1则函数f（x）在x∈[1，4]单调递减，且当x＝1时，函数f（x）取得最大值f（1）＝1；所以实数a的取值范围是（﹣∞，1）．故选：A．【点评】本题考查了函数的单调性、分离参数法，考查了等价转化能力，是综合性题目．二．填空题（共5小题）11．若x，y满足约束条件x-1≥0x-y【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【答案】见试题解答内容【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定yx【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设k=yx，则由图象知OA的斜率最大，由x=1x+y-4=0，解得x=1kOA=31即yx的最大值为3故答案为：3．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及直线的斜率，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．12．不等式﹣x2﹣3x+4＞0的解集为（﹣4，1）．（用区间表示）【考点】一元二次不等式及其应用．【专题】不等式的解法及应用．【答案】见试题解答内容【分析】首先将二次项系数化为正数，然后利用因式分解法解之．【解答】解：原不等式等价于x2+3x﹣4＜0，所以（x+4）（x﹣1）＜0，所以﹣4＜x＜1；所以不等式的解集为（﹣4，1）；故答案为：（﹣4，1）．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法；一般的首先将二次项系数化为正数，然后选择适当的方法解之；属于基础题．13．已知函数f（x）＝x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]都有f（x）＜0，则实数m的取值范围为（-22，0【考点】二次函数的性质与图象．【专题】函数的性质及应用．【答案】见试题解答内容【分析】利用二次函数的性质可得f(m)【解答】解：∵二次函数f（x）＝x2+mx﹣1的图象开口向上，对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴f(即-22＜m＜2故答案为：（-22，【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．14．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；规律型；数形结合；函数思想；转化思想．【答案】见试题解答内容【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得x∈N，y∈N1.5x不等式组表示的可行域如图：由题意可得x+0.3y=905x+3y=600，解得：目标函数z＝2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100＝216000元．故答案为：216000．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键．15．设x∈R，使不等式3x2+x﹣2＜0成立的x的取值范围为（﹣1，23）【考点】一元二次不等式及其应用．【专题】计算题；集合思想；不等式的解法及应用．【答案】见试题解答内容【分析】解一元二次不等式即可．【解答】解：3x2+x﹣2＜0，将3x2+x﹣2分解因式即有：（x+1）（3x﹣2）＜0；（x+1）（x-23）＜由一元二次不等式的解法“小于取中间，大于取两边”可得：﹣1＜x＜2即：{x|﹣1＜x＜23}；或（﹣1，故答案为：（﹣1，23【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．三．解答题（共5小题）16．若不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}．（1）解不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0；（2）b为何值时，ax2+bx+3≥0的解集为R．【考点】一元二次不等式及其应用．【专题】不等式的解法及应用．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}，利用根与系数关系列式求出a的值，把a代入不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0后直接利用因式分解法求解；（2）代入a得值后，由不等式对应的方程的判别式小于等于0列式求解b的取值范围．【解答】解：（1）由题意知，1﹣a＜0，且﹣3和1是方程（1﹣a）x2﹣4x+6＝0的两根，∴1-a＜04∴不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0即为2x2﹣x﹣3＞0，解得x＜﹣1或x＞3∴所求不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞32（2）ax2+bx+3≥0即为3x2+bx+3≥0，若此不等式的解集为R，则b2﹣4×3×3≤0，∴﹣6≤b≤6．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了一元二次方程的根与系数的关系，是基础的运算题．17．设函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）．（Ⅰ）当b=a24+1时，求函数f（x）在[﹣1，1]上的最小值（Ⅱ）已知函数f（x）在[﹣1，1]上存在零点，0≤b﹣2a≤1，求b的取值范围．【考点】二次函数的性质与图象；函数零点的判定定理．【专题】开放型；分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）求出二次函数的对称轴方程，讨论对称轴和区间[﹣1，1]的关系，运用函数的单调性即可得到最小值；（Ⅱ）设s，t是方程f（x）＝0的解，且﹣1≤t≤1，运用韦达定理和已知条件，得到s的不等式，讨论t的范围，得到st的范围，由分式函数的值域，即可得到所求b的范围．【解答】解：（Ⅰ）当b=a24+1时，f（x）＝（x+a2）当a≤﹣2时，函数f（x）在[﹣1，1]上递减，则g（a）＝f（1）=a24当﹣2＜a≤2时，即有﹣1≤-a2＜1，则g（a）＝f（-当a＞2时，函数f（x）在[﹣1，1]上递增，则g（a）＝f（﹣1）=a24综上可得，g（a）=a（Ⅱ）设s，t是方程f（x）＝0的解，且﹣1≤t≤1，则s+由于0≤b﹣2a≤1，由此-2t2+t≤s≤1-2t当0≤t≤1时，-2t2由-23≤-2t2t+2≤0，由t-2t2t+2=得-13≤t-所以-23≤b≤9﹣当﹣1≤t＜0时，t-2t由于﹣2≤-2t2t+2＜0和﹣3≤t故b的取值范围是[﹣3，9﹣45]．【点评】本题考查二次函数在闭区间上的最值的求法，同时考查二次方程和函数的零点的关系，以及韦达定理的运用，考查不等式的性质和分式函数的最值的求法，属于中档题．18．设函数f（x）＝x2+（a﹣4）x+4﹣2a，（1）解关于x的不等式f（x）＞0；（2）若对任意的x∈[﹣1，1]，不等式f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．【考点】一元二次不等式及其应用．【专题】分类讨论；转化法；不等式的解法及应用．【答案】见试题解答内容【分析】（1）x2+（a﹣4）x+4﹣2a＞0，化为：（x﹣2）[x﹣（2﹣a）]＞0．对a分类讨论即可解出．（2）由题意得：a（x﹣2）＞﹣（x﹣2）2恒成立，由x∈[﹣1，1]，可得x﹣2∈[﹣3，﹣1]，可得a＜﹣x+2恒成立．即可得出．【解答】解：（1）x2+（a﹣4）x+4﹣2a＞0，化为：（x﹣2）[x﹣（2﹣a）]＞0．a＞0时，不等式的解集为{x|x＞2或x＜2﹣a}；a＝0时，不等式的解集为{x|x≠2}；a＜0时，不等式的解集为{x|x＞2﹣a或x＜2}．（2）由题意得：a（x﹣2）＞﹣（x﹣2）2恒成立，∵x∈[﹣1，1]，∴x﹣2∈[﹣3，﹣1]，∴a＜﹣x+2恒成立．易知（﹣x+2）min＝1，∴a的取值范围为：a＜1．【点评】本题考查了不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．已知二次函数f（x）满足条件f（0）＝1和f（x+1）﹣f（x）＝2x．（1）求f（x）；（2）求f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值．【考点】二次函数的性质与图象．【专题】计算题．【答案】见试题解答内容【分析】（1）设f（x）＝ax2+bx+c，则f（x+1）﹣f（x）＝a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）＝2ax+a+b，根据对应项的系数相等可分别求a，b，c．（2）对函数进行配方，结合二次函数在[﹣1，1]上的单调性可分别求解函数的最值．【解答】解：（1）设f（x）＝ax2+bx+c，则f（x+1）﹣f（x）＝a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）＝2ax+a+b∴由题c=12∴2∴f（x）＝x2﹣x+1（2）f（x）＝x2﹣x+1=(x-12)2+34在[﹣1∴f(x)min=f(12)=34【点评】本题主要考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式，及二次函数在闭区间上的最值的求解，要注意函数在所给区间上的单调性，一定不能直接把区间的端点值代入当作函数的最值．20．设函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）∀x∈R，使f（x）≥t2-112t，求实数【考点】一元二次不等式及其应用；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最值．【专题】不等式．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣2|中的绝对值符号，求解不等式f（x）＞2，（2）由（1）得出函数f（x）的最小值，若∀x∈R，f(x)≥t2【解答】解：（1）f当x＜-12，当-12≤x＜2当x≥2，x+3＞2，x＞﹣1，∴x≥2综上所述{x|x＞1或x＜﹣5}．（2）由（1）得f(x)min=-52，若∀则只需f(综上所述12【点评】考查了绝对值的代数意义、一元二次不等式的应用、分段函数的解析式等基本，去绝对值体现了分类讨论的数学思想，属中档题．

考点卡片1．基本不等式及其应用【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）2实例解析例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．A：a，b均为负数，则2ab+b2a≥2．B：x2+2解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．对于C选项中sinx≠±2，不满足“相等”的条件，再者sinx可以取到负值．故选：C．A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求y=xx2+2的最值？当0＜x解：当x＝0时，y＝0，当x≠0时，y=用基本不等式若x＞0时，0＜y≤2若x＜0时，-24≤y综上得，可以得出-24≤∴y=xx2+2这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．【解题方法点拨】基本不等式的应用1、求最值例1：求下列函数的值域．2、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【命题方向】技巧一：凑项点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．技巧二：凑系数例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．y＝x（8﹣2x）=12[2x•（8﹣2x）]≤12（2当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分离例3：求y=x解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．y=x2+7x+10x+1当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2(x+1)×4x+1+5技巧四：换元对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f（x）＝x+a技巧六：整体代换点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．技巧七：取平方点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．2．二次函数的性质与图象【知识点的认识】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【解题方法点拨】二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．这里面略谈一下他的一些性质．①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x=-b2a；最值为：f（-b2a）；判别式△＝b2﹣4ac，当△＝0时，函数与x②根与系数的关系．若△≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2=-ba，x1•x③二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，p2），准线方程为y=-p④平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；【命题方向】熟悉二次函数的性质，会画出抛物线的准确形状，特别是注意抛物线焦点和准线的关系，抛物线最值得取得，这也是一个常考点．3．一元二次不等式及其应用【知识点的认识】含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．特征当△＝b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）当△＝b2﹣4ac＝0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．当△＝b2﹣4ac＜0时．一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．【解题方法点拨】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案为：（﹣2，3）．这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．【命题方向】①一元二次不等式恒成立问题：一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等价条件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等价条件是：a＜0且△＜0．②分式不等式问题：f(x)g(x)＞0⇔f（f(x)g(x)＜0⇔f（f(x)gf(x)g4．简单线性规划【知识点的认识】线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．【解题方法点拨】1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．2．在通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值时，要注意：当b＞0时，截距zb取最大值时，z也取最大值；截距zb取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距zb取最大值时，z取最小值；截距【命题方向】例：若目标函数z＝x+y中变量x，y满足约束条件x+2（1）试确定可行域的面积；（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），则可行域的面积S=1（2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，则平移直线y＝﹣x+z，则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最小，此时z最小为z＝2+3＝5，当直线经过点B（4，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最大，此时z最大为z＝4+3＝7，故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值．题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx+分为面积相等的两部分，则k的值是（）A．73B．37C．43分析：画出平面区域，显然点（0，43）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，4解答：不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y＝kx+43过定点（0，43）．因此只有直线过AB中点时，直线y＝因为A（1，1），B（0，4），所以AB中点D（12，5当y＝kx+43过点（12，52）时，5答案：A．点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．题型二：求线性目标函数的最值典例2：设x，y满足约束条件：，求z＝x+y的最大值与最小值．分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y＝0来寻找最优解，求出目标函数的最值．解答：先作可行域，如图所示中△ABC的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过点B时，可使z＝x+y达到最小值；当l0的平行线l2过点A时，可使z＝x+y达到最大值．故zmin＝2，zmax＝7．点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．题型三：实际生活中的线性规划问题典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（）A．50，0B．30，20C．20，30D．0，50分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题．解析设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知x求目标函数z＝x+0.9y的最大值，根据题意画可行域如图阴影所示．当目标函数线l向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大．故答案为：B点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：（1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；（2）平移﹣﹣将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；（3）求值﹣﹣解方程组求出A点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．题型四：求非线性目标函数的最值典例4：（1）设实数x，y满足，则yx的最大值为．（2）已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则|OA→+OM→|的最小值是分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．解答：（1）yx表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1，3（2）依题意得，OA→+OM→=（x+1，y），|OA→+OM→|=(x+1)2+y2可视为点（x，y）与点（﹣1，0）间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（﹣1，0故答案为：（1）32（2）3点评：常见代数式的几何意义有（1）x2+y2表示点（x，y）与原点（（2）(x-a)2+(y-b（3）yx表示点（x，y）与原点（0，0（4）y-bx-a表示点（x，y5．分段函数的解析式求法及其图象的作法【知识点的认识】分段函数是定义在不同区间上解析式也不相同的函数．若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫分段函数．已知一个分段函数在某一区间上的解析式，求此函数在另一区间上的解析式，这是分段函数中最常见的问题．【解题方法点拨】求解函数解析式的几种常用方法主要有1、待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；2、换元法或配凑法，已知复合函数f[g（x）]的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；3、消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f（x）；另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法．分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题．【命题方向】分段函数是今后高考的热点题型．常考题型为函数值的求解，不等式有关问题，函数的图形相联系的简单问题．6．函数的最值【知识点的认识】函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．【解题方法点拨】①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+8x的最小值，有2x+8x②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．【命题方向】本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．7．函数零点的判定定理【知识点的认识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a