河南省开封市五校2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题

开封五校2024~2025学年上学期期中联考高二数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第三章第2节．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线和直线的位置关系为（）A.垂直 B.平行C.重合 D.相交但不垂直【答案】A【解析】【分析】由两直线的斜率关系即可判断.【详解】直线和直线的斜率分别为，因，所以．故选：A．2.已知双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的性质，即可解题.【详解】由题意可知，所以，所以双曲线的渐近线方程为.故选：D.3.已知向量，若，则（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】根据题意先求，再根据向量垂直的坐标运算求解.【详解】因为，则，若，则，解得．故选：B．4.已知离心率为3的双曲线与椭圆有相同的焦点，则（）A.13 B.21 C.29 D.31【答案】C【解析】【分析】由双曲线离心率为3可得，根据双曲线与椭圆焦点相同，得，求解可得.【详解】由题意解得，所以．故选：C．5.已知圆及圆，则与圆都相切的直线的条数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】先根据圆的一般方程得出圆心和半径，再判断圆与圆的位置关系得出两圆内切即可得出切线个数.【详解】圆的标准方程为，圆心，半径，圆的标准方程为，圆心，半径，所以，圆内切，所以与圆都相切的直线只有1条．故选：A．6.已知椭圆的左、右焦点分别为的离心率为，过点的直线与交于点（在轴下方），若，则的周长与的比值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据椭圆定义得到的周长为,运用椭圆对称性可得，作比，结合离心率公式得到答案.【详解】设，由椭圆定义易得的周长为，由对称性可得，所以，所以的周长与的比值为．故选：B．7.3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为，则该塔筒的高为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据模型建立平面直角坐标系，由已知条件先求双曲线的标准方程，再计算高度即可.【详解】该塔筒的轴截面如图所示，以喉部的中点为原点，建立平面直角坐标系，设A与分别为上，下底面对应点.设双曲线的方程为，因为双曲线的离心率为，所以.又喉部（中间最细处）的直径为，所以，所以双曲线的方程为.由题意可知，代入双曲线方程，得，所以该塔筒的高为.故选:C.8.已知椭圆：()的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，的延长线交椭圆于点，且，的面积为，记与的面积分别为，，则（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】由椭圆的定义，几何性质，余弦定理解焦点三角形得出结果.【详解】不妨设，，焦距，由的面积为，得，由余弦定理，得，则，所以，即，所以，所以，易得，，所以，所以，由椭圆定义知，所以，所以，所以，，所以．故选：C．【点睛】关键点睛：本题考查椭圆的定义，性质，焦点三角形的面积计算等知识，计算量较大.具体做法可画出图形，辅助理解；由椭圆的定义，几何性质，余弦定理解焦点三角形得出结果.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知曲线（其中为常数），则曲线可能为（）A.平行于轴的两条直线B.单位圆C.焦点在轴上的双曲线D.焦点在轴上的椭圆【答案】BC【解析】【分析】根据圆，双曲线，椭圆的方程特征，依次分析各选项即可.【详解】对于A，当，即时，，表示平行于轴的两直线，故A错误；对于B，当时，，表示以原点为圆心，半径为1的单位圆，故B正确；对于C，当，即或时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故C正确；对于D，当，且时，则，所以，因此曲线表示焦点在轴上的椭圆，故D错误.故选：BC.10.已知双曲线与直线无公共点，过的右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，若，则的离心率可以是（）A. B.2 C.3 D.4【答案】BC【解析】【分析】由题意可得：渐近线方程为，分析，，进而可得，再结合渐近线结合性质可得，即可得离心率.【详解】因为双曲线的渐近线方程为，则的右焦点到的距离，即，因为，则，又因为，则，可得，又因为与直线无公共点，则，所以的离心率．故选：BC．11.如图，曲线可以看作“蝴蝶结”的一部分，已知曲线上除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点横纵坐标之积的绝对值的商恒为定值（），则（）A.曲线关于直线对称B.曲线经过点，其方程为C.曲线围成的图形面积小于D.存在，使得曲线上有5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）【答案】ACD【解析】【分析】首先根据已知条件求出曲线方程，再运用曲线的对称性、放缩解决曲线所围图形面积以及整点的概念，分别分析每个选项.【详解】对于A，先求曲线方程，设曲线上一点（），由已知，即.若点在曲线上，则也满足曲线方程，所以曲线关于直线对称，A选项正确.对于B，将代入曲线方程，得，即，，此时方程为，B选项错误.对于C，，则，所以C在以圆心为O，半径为的圆内，结合图形知道，C选项正确.对于D，由于，所以，由曲线的对称性可知，要使曲线上有5个整点，则曲线在第一象限内有两个整点，当整点为时，，此时整点都在曲线上，其有3个整点，不满足题意;当整点为时，，此时整点均在曲线上，且均不在曲线上，其有5个整点，满足题意，D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题关键是找准图形的信息，求出曲线方程，后运用性质，如对称性，整点，面积借助放缩成半圆即可求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.直线与间的距离为______．【答案】##【解析】【分析】根据直线方程可得两条直线平行，由平行线间的距离公式求解即可.【详解】将直线化为，所以两直线之间的距离．故答案为：.13.已知椭圆的离心率为，若椭圆上的点到直线的最短距离不小于，则长半轴长的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】先判断椭圆在上方，与平行且距离为的直线方程，联立与椭圆方程，由根的判别式得到不等式，结合离心率，得到.【详解】过第二，三，四象限，由题意得椭圆与直线没有公共点，故在椭圆下方，设直线在上方，与平行，且它们之间距离为，设直线方程为，故，解得或7，时，直线在下方，不合要求，当时，直线在上方，则的方程为，由整理得，因为上的点到直线的最短距离不小于，所以，整理得，由椭圆的离心率为，可知，所以，所以，则，所以．故答案为：14.在棱长为2的正方体中，点，分别是底面、侧面的中心，点分别是棱，所在直线上的动点，且，当取得最小值时，点到平面的距离为__________.【答案】【解析】【分析】建立空间直角坐标系，根据探索两点坐标之间的关系，确定最小时两点的坐标，再用空间向量的方法求点到面的距离.【详解】如图所示,建立空间直角坐标系，则,设,则，因为,所以,即，所以,又,则，当时,取得最小值，此时,即，所以,设平面的一个法向量为，则即,令,解得,所以,则点到平面距离为故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.根据所给条件求曲线的标准方程：（1）已知椭圆的右焦点为，且过点；（2）已知双曲线的一条渐近线方程为，且过点.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据右焦点得到左焦点，也得到c，再根据定义求得a，再得到b，即可.（2）所求双曲线的方程为，代入定点可解.【小问1详解】由题意知的右焦点为，则其左焦点为，所以，所以，所以，所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】设所求双曲线的方程为，又过点，所以，解得，所以所求双曲线的方程为，即标准方程为.16.已知圆.（1）直线过点，且与圆相切，求直线的方程；（2）设直线与圆相交于，两点，点为圆上的一动点，求的面积S的最大值.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）分类讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解；（2）根据垂径定理求弦长，结合圆的性质求面积最大值.【小问1详解】由题意得，圆的半径，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，由直线与圆相切，得，解得，所以直线的方程为；当直线的斜率不存在时，直线的方程为，显然与圆相切；综上，直线的方程为或.【小问2详解】由题意得圆心到直线的距离，所以，点到直线的距离的最大值为，则面积的最大值.17.如图，在四棱锥中，，，，点为棱上一点．（1）证明：；（2）当二面角的余弦值为时，求．【答案】（1）证明见解析（2）．【解析】【分析】（1）根据线线垂直先证平面，再利用线面垂直的性质定理即可得证；（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的一个法向量，利用向量法求解即可．【小问1详解】因为，所以，所以，又，且平面，所以平面，又平面，所以．【小问2详解】因为，所以，则．由（1）可知两两垂直，以为原点，以所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．可知，设，则，设平面的一个法向量n1=则即令，解得，，故，设平面的一个法向量为，由，得令，解得，故，所以，即，整理，得，解得或（舍去）．故．18.已知双曲线的渐近线上一点与右焦点的最短距离为．（1）求双曲线的方程；（2）为坐标原点，直线与双曲线的右支交于、两点，与渐近线交于、两点，与在轴的上方，与在轴的下方．（ⅰ）求实数的取值范围．（ⅱ）设、分别为的面积和的面积，求的最大值．【答案】（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）【解析】【分析】（1）根据焦点到渐近线距离求出，再求出即可得解；（2）（ⅰ）直线与双曲线方程联立消元后由根与系数关系及直线与右支相交可得；（ⅱ）根据弦长公式及点到直线的距离分别求出三角形面积，根据面积表达式换元后利用不等式性质求最值即可.【小问1详解】设双曲线的焦距为，且，因为到直线的距离为，故，则，故双曲线的方程为：．【小问2详解】如图，（ⅰ）设Ax1,y1消元得，则，因为直线与双曲线右支交于两点，故，则，故的取值范围为−1,1．（ⅱ）由（ⅰ）知，，原点到直线的距离，设，，联立，则，，，，则，而，令，则，当即时取到等号．综上所述，的最大值为．19.由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比．已知椭圆：与椭圆：相似．（1）求椭圆的离心率；（2）若椭圆与椭圆的相似比为，设为上异于其左、右顶点，的一点．①当时，过分别作椭圆的两条切线，，切点分别为，，设直线，的斜率为，，证明：为定值；②当时，若直线与交于，两点，直线与交于，两点，求的值．【答案】（1）（2）①证明见解析；②【解析】【分析】（1）首先得到、的长轴长、短轴长、焦距、依题意可得，从而得到，再由离心率公式计算可得；（2）①设，则直线的方程为，进而与椭圆联立方程，并结合判别式得，同理得到，进而得，再根据即可求得答案；②由题知椭圆的标准方程为，进而结合点在椭圆上得，故设直线的斜率为，则直线的斜率为，进而得其对应的方程，再与椭圆联立方程并结合韦达定理，弦长公式得、，进而得．【小问1详解】对于椭圆：，则长轴长为，短轴长为，焦距为，椭圆：的长轴长为，短轴长为，焦距为，依题意可得，所以，则椭圆的离心率.【小问2详解】①由相似比可知，，解得，所以椭圆：，设，则直线的方程为，即，记，则的方程为，将其代入椭圆的方程，消去，得，因为直线与椭圆有且只有一个公共点，所以，即，将代入上式，整理得，同理可得，所以为关于的方程的两根，所以．