等差数列的概念第1课时课件高二上学期数学人教A版选择性

4.2.1等差数列的概念第4章

数列

1.数列的定义

一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数都叫做数列的项.2.

数列的通项公式

3.

数列的递推公式

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.导入实例1

北京天坛圜丘坛的地面是由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外的石板数依次为

9，18，27，36，45，54，63，72，81

①

圜丘坛是我国明朝嘉庆年间建立的一个三层露天圆台，别名祭天台，有圜丘，皇穹宇、神厨、三库及宰牲亭等组成。其位于天坛南部，为皇帝冬至日祭天大典的场所。导入实例2

XXS，XS，S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上对应的意大利尺码分别是：

34，36，38，40，42，44，46，48②导入实例3

测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为：25，24.4，23.8，23.2，22.6

③导入

ar,

ar－br,

ar－2br,

ar－3br,

...

④等额本金还款方式是将本金每月等额偿还，然后根据剩余本金计算利息。好处：总利息较少(在贷款期限、金额和利率相同的情况下，等额本金还款方式所需利息较少),并且贷款年限越长，优势越明显。缺点：前期还款压力较大，每月还款额不同，不便于规划收支。比较适合有一定经济基础，能承担前期较大还款压力的人群。导入问题1

我们常通过运算来发现规律，你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？对于数列①：9，18，27，36，45，54，63，72，81

我们发现

18=9+9，27=18+9....81=72+9，换一种写法，就是

18-9=9，27-18=9....81-72=9.如果用{an}表示数列

①

，

那么有

a2-a1=9，a3-a2

=9，...，a9-a8=9.这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数.数列②~④，也有这样的取值规律.①9，18，27，36，45，54，63，72，81②34，36，38，40，42，44，46，48③25.0，24.4，23.8，23.2，22.6④ar，ar－br，ar－2br，ar－3br，...探究新知

一

般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.1、等差数列

等差数列的符号语言注意：①公差d必须为“同一个常数”

②公差d可正、可负、也可为0，它是一个与n无关的常数探究新知请写出下式的公差①9，18，27，36，45，54，63，72，81②34，36，38，40，42，44，46，48③25.0，24.4，23.8，23.2，22.6④ar，ar－br，ar－2br，ar－3br，...公差d=9公差d=2公差d=﹣0.6公差d=﹣br探究新知练习1

判断下列数列是否为等差数列，若是，求出首项和公差（1）1，3，5，7，9，2，4，6，8，10（2）3，3，3，3，3，3（3）95，82，69，56，43，30（4）1，1.1，1.11，1.111，1.1111（5）1，－2，3，－4，5，－6（6）a1=3，公差d=0常数列×a1=95公差

d=－13××a1=1公差

d=练习问题2：在如下的两个数之间插入一个什么数之后这三个数会成为一个等差数列。

（1）2，___,8

（2）－6，____,0

（3）a,___,b

5－3x由等差数列的定义得：

探究新知如果三个数a，A，b成等差数列.这时，A叫做a与b的

.由等差数列的概念可知：等差中项2.等差中项的定义问题3

在等差数列a1,a2,a3,…,an,…中，an、an−1、an+1之间有什么关系？

2an=an-1

+an+1探究新知

问题3

你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？∴a2-a1=da3-a2=da4-a3=d

…an-an-1=d（n≥2）累加以上n-1个式子得an-a1=（n-1）d解：∵由等差数列的定义可得累加法又∵当n=1时，上式也成立

∴an=a1+（n-1）dan+1-an=d∴

an=a1+（n-1）d探究新知首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为等差数列的通项公式的变式：an＝am＋(n－m)d3、等差数列的通项公式a1,an,n,d知三求一探究新知 ①公差d≠0的等差数列{an}的图象是点(n，an)组成的集合，

这些点均匀分布在直线f(x)＝dx＋(a1－d)上.（k＋b）k

an＝a1＋（n－1）d=dn＋（a1－d）②任给一次函数f(x)＝kx＋b（k，b为常数），则f(1)＝k＋b，f(2)＝2k＋b，…，f(n)＝nk＋b，构成一个等差数列{nk＋b}，其首项为________，公差为__.思考：我们知道数列是自变量为n的函数，你认为等差数列与我们熟悉的哪一类函数有关？4.

等差数列与一次函数的关系直线上均匀排开的一群孤立的点③d＞0,等差数列单调增；

d＜0,等差数列单调减；d＝0,等差数列为常函数.探究新知在数列{an}中,

an=pn+q(p、q是常数)，证明数列{an}是等差数列.证明:an+1-an=[p(n+1)+q]-(pn+q)

=

p(n∈N*),故该数列为等差数列.结论：数列{an}是等差数列⟺an=pn+q(p、q是常数).探究新知

方法符号语言结论定义法{an}是等差数列等差中项法通项公式为

n

的一次函数5、判断一个数列是否为等差数列的方法：总结an=pn+q(p、q是常数).例1

(1)已知等差数列{an}的通项公式为an＝5－2n，求{an}公差和首项;

(2)求等差数列8，5，2，···的第20项.解:(1)当n≥2时，由{an}的通项公式为an＝5－2n，可得

an－1＝5－2(n－1)

＝7－2n.

于是d＝an－an-1＝5－2n－(7－2n)＝－2，

a1＝5－2＝3.∴{an}公差为－2，首项为3.(2)由已知条件，得d＝5－8＝－3，a1＝8.∴an＝a1＋

(n－1)d＝8－3(n－1)＝－3n＋11.

∴a20＝－3×20＋11＝－49.例题巩固练习

在下列等差数列{an}中，（1）已知a1=2，d=3，n=10，求a10。解：a10=a1+9d=2+9×3=29.（2）已知a1=3，an=21，d=2，求n。解：∵21=3+（n-1）×2，∴n=10.（3）已知a1=12，a6=27，求d。解：∵a6=a1+5d，即27=12+5d，

∴d=3.（4）已知d=-2，a7=8，求a1。解：∵a7=a1+6d8=a1+6×(-2)，∴a1=20.（5）已知a6=13，a12=31，求a18.练习解：由题意可知解得：

(5)已知a6=13,a12=31,求a18.归纳：在等差数列{an}的通项公式中a1、d、an、n，知三求一.练习例2－401是不是等差数列－5，－9，－13，···的项？如果是，是第几项？解:由a1＝－5，d＝－9＋(－5)＝－4，得数列{an}的通项公式为

an＝a1＋(n－1)d

＝－5－4(n－1)＝－4n－1.

设

－4n－1＝－401，解得

n＝100.

∴－401是这个数列第100项.例题巩固例3.在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列.例题巩固例4、已知数列{an}满足

，

.(1)求证：

是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式.例题巩固解：(1)因为

，

则

，所以

，又

，∴是以

为首项，4为公差的等差数列.(2)由(1)可知

，所以.构造等差数列法练习迭代归纳法；累加法通项公式与一次函数的关系概念方程思想、抽象、运算素养

等差中项等差数列的概念小结1.已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n(n∈N*)，则它的公差d为A.2 B.3 C.－2 D.－3√2.若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为A.26 B.29 C.39 D.52√3.在等差数列{an}中，若a1＝84，a2＝80，则使