第01讲等腰三角形（第1课时）（原卷版）

第01讲等腰三角形（第1课时）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．掌握AAS证明三角形全等；2．学会等腰三角形的性质及证明；3.掌握等腰三角形中一些线段(如角平分线、中线、高等)的性质。知识点1知识回顾（七年级下册）一、定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.(AAS)已知：如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.求证：△ABC≌△DEF.证明：在△ABC和△DEF中，∵∠A+∠B+∠C=180°,∠D+∠E+∠F=180°,∴∠C=180°(∠A+∠B),∠F=180°(∠D+∠E).∵∠A=∠D,∠B=∠E,∴∠C=∠F.又BC=EF,∠B=∠E,∴△ABC≌△DEF(ASA).七年级下册给出的“全等三角形”的定义是“能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形”,“全等三角形的对应边相等、对应角相等”则是由全等三角形的定义推出来的，本章很多证明都会用到它.因此，这里特别提出这一结论，以便后续证明使用.二、等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．要点：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.三、等腰三角形的性质1.等腰三角形是轴对称图形.2.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”),它们所在的直线是等腰三角形的对称轴.3.等腰三角形的两个底角相等.知识点2等边对等角、“三线合一”定理等腰三角形的两底角相等.（简述为：等边对等角求证：∠B=∠C.分析：我们曾经利用折叠的方法说明了这两个底角相等(如图12).实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形.这启发我们，可以作一条辅助线，把原三角形分成两个全等的三角形，从而证明这两个底角相等.证明：如图13,取BC的中点D,连接AD.∵AB=AC,BD=CD,AD=AD,∴△ABD≌△ACD(SSS).∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).交流与讨论：你还有其他证明方法吗?与同伴交流.想一想：在图13中，线段AD还具有怎样的性质?为什么?由此你能得到什么结论?推论等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(也称“三线合一”),知识点3等腰三角形中一些线段(如角平分线、中线、高等)的性质引入：在等腰三角形中画出一些线段(如角平分线、中线、高等),你能发现其中一些相等的线段吗?能证明你的结论吗?例1证明：等腰三角形两底角的平分线相等.已知：如图14,在△ABC中，AB=AC,BD和CE是△ABC的角平分线.求证：BD=CE.证明：∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).∵BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB,∴∠1=，∠2=.∴∠1=∠2.在△BDC和△CEB中，∵∠ACB=∠ABC,BC=CB,∠1=∠2,∴△BDC≌△CEB(ASA).∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).交流与讨论：等腰三角形两腰上的中线相等吗?高呢?还有其他的结论吗?请你证明它们，并与同伴交流.议一议：如图15,在△ABC中，AB=AC,点D,E边AC和AB上.果呢?由此你能得到一个什么结论?结论：在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠ACB,那么BD=CE呢?由此你能得到一个什么结论?结论：在△ABC中，AB=AC，∠AD=AC,AE=AB,那么BD=CE考点一：等腰三角形的定义例1．若一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则第三边的长可能是（

）A．2 B．4 C．6 D．2或4【变式11】．等腰三角形的顶角是，则它的底角是．【变式12】．等腰三角形的一边长，另一边长，则它的周长是（

）A． B． C．或 D．或【变式13】．已知等腰三角形有一个角是，则其顶角的度数为（

）．A． B． C． D．或考点二：等边对等角例2．在中，，，则的度数是（

）A． B． C． D．【变式21】．如图，在中，，，点D、E分别在、的延长线上，且，则的度数是（

）A． B． C． D．【变式22】．如图，在中，点在边上，，，则的度数为（

）A． B． C． D．【变式23】．如图，在中，点D在上，，，将沿着翻折得到，则的度数是（

）A． B． C． D．考点三：根据等边对等角证明例3．如图，，，连接交于点O，．求证：．【变式31】．如图，在中，，点D、E都在边BC上，且，求证：．

【变式32】．如图，已知和，，，，与交于点P，点C在上．求证：．【变式33】．如图，在中，，过点A作且，连接．试说明：．考点四：根据等边对等角求边长或角度例4．如图，在中，为中线，E为上一点，交于点F，且．求证：．【变式41】．如图，在中，平分，平分，经过点O与，分别相交于点M，N，且(1)若，请直接写出的度数；(2)已知，，求的周长．【变式42】．如图，在中，，点D、E、F分别在边、、上，且，．(1)求证：；(2)若，求的度数．【变式43】．证明体验(1)思考探究如图1，在中，点在边上，点在边上，，，与相交于点．求证：．(2)拓展延伸如图2，在（1）的条件下，过点作的平行线交于点，若，，求的长．考点五：等腰三角形的“三线合一”例5．如图，在中，，，若，则的长是（

）A．2 B．4 C．6 D．8【变式51】．等腰三角形的“三线合一”指的是（

）A．中线，高线，角平分线互相重合 B．顶角的平分线，中线，高线三线互相重合C．腰上的中线，腰上的高线，底角的平分线互相重合 D．顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线三线互相重合【变式52】．对于运用等腰三角形“三线合一”性质定理的推理过程，下列合理的是（）A．∵，平分B．∵，平分，，C．∵，平分，，D．∵，∴【变式53】．如图，在中，，，点E为的中点，于点F，则的长度为（

）

A．5 B．10 C．16 D．考点六：根据等腰三角形的“三线合一”求解或证明例6．如图，在中，，点D在上．(1)若，则_______________．(2)若，则_______________．(3)若，则_______________．【变式61】．如图所示，在△ABC中，∠ABC=∠C，BD⊥AC交AC于D．

求证：∠DBC=∠A．【变式62】．如图，在中，，为的中线．点，分别在AB，上，且，连接DE，．(1)求证：；(2)若，求的度数．【变式63】．如图，中，，，点D在斜边上，且，过点B作交直线于点E，过点A作于点F．

(1)求的度数；(2)求证：．考点七：等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角问题例7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是46°，则它的底角度数是．【变式71】．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角度数为．【变式72】．如果一个等腰三角形其中一腰上的高与另一腰的夹角是30°，那么这个等腰三角形的顶角等于【变式73】．如果等腰三角形的顶角为α，那么这个等腰三角形一条腰上的高与底边的夹角为．考点八：等腰三角中一些线段(如角平分线、中线、高等)的性质例8．求证：等腰三角形两腰上的中线相等．已知：如图，在中，，分别是腰上的中线．求证：．【变式81】．下面是命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的证明过程，把空格补充完整．已知：如图，在中，，，是的角平分线．求证：（1）．证明：，（2）．∵，分别是，的角平分线，，（3）．即．在和中，．（4）．【变式82】．求证：等腰三角形两腰上的高线长相等．【变式83】．等腰三角形两底角的平分线相等吗？两腰上的中线呢？两腰上的高呢？证明其中的一个结论．考点九：等边对等角与“三线合一”综合例9．如图，在中，，点是的中点，点在上，，，求的度数．

【变式91】．如图所示，在中，，，是边上的中线，是上一点，且，求(1)求的度数(2)的度数．【变式92】．如图，在中，，AD是角平分线，E是AB边上一点，连接ED，CB是的平分线，ED的延长线与CF交于点F．（1）求证：；（2）若，，则______度．【变式93】．如图，在中，，点是边的中点，以为底边向上作等腰，使得，交于点．(1)若，求的度数；(2)若，求证：．一、单选题1．若等腰三角形一个角为，则顶角的度数是（

）A． B． C．或 D．或2．如图，已知，则的度数是（

）A． B． C． D．3．如图所示，分别是的中线和角平分线，若，，则的度数是（

）A． B． C． D．4．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆．工程人员这种操作方法的依据是（

）A．等角对等边 B．等腰三角形三线合一的性质C．两点之间线段最短 D．垂线段最短5．如图，中，，点在线段上，且满足．若，则的度数是（

）A． B． C． D．6．如图，在中，，，于点D，点E为中点，与交于点F，则等于（

）A． B． C． D．7．如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（

）A．18 B． C．9 D．8．如图，在中，，点C是上一点，过点C作，交于点F，连接，且，则下列结论正确的个数是（

）

．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题9．如图，在中，，平分，，，则．10．如图，在中，点D在上，，E为的中点，若，则．11．如图，在中，，，，则的度数为度．12．如图，在平面直角坐标系中，，，两点的坐标分别为，，，则点的坐标为．13．如图，在等腰三角形中，是边上的高，，点E、F是上的两点，则图中阴影部分的面积是．14．如图，在中，为中线，，，，将沿着翻折到，连接、，则．三、解答题15．在中，，，，，求的度数．16．如图，在中．．点、分别在、上，，与相交于点．求证：(1)；(2)．17．如图，在中，为边上的一点，，为外部一点，，且，连接，与交于点．(1)求证：．(2)若，求的度数．18．如图，在等腰三角形中，，D为延长线上一点，且，垂足为C，连接，若，求的面积．19．如图，在中，，点在上，且．(1)求证：；(2)若为中点，，求的度数．20．如图①所示，点D，E在的边上，．(1)若，求证：．(2)如图②所示，若，F为的中点，，求的度数．21．问题情境：如图1，△中，，，点为△外一点，，过作，垂足分别为、．求证：．实践探究：如图2，△中