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文档简介
第三章
圆锥曲线的方程3.3抛物线
3.3.2
抛物线的简单几何性质(第一课时)一二三学习目标依据抛物线的方程、图象研究抛物线的几何性质掌握抛物线的简单几何性质,培养数学抽象的核心素养.掌握抛物线的简单几何性质及其应用,培养数学抽象与数学建模的核心素养.学习目标2.抛物线的标准方程是什么?复习回顾1.抛物线的定义是什么?
在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F—抛物线的焦点,直线l—抛物线的准线.M·Fl·d定义告诉我们:(1)判断抛物线的一种方法(2)抛物线上任一点的性质:|MF|=d准线方程焦点坐标标准方程焦点位置图形
---新课导入问题1类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法,你认为应研究抛物线
y2=2px(p>0)①
的哪些几何性质?如何研究这些性质?椭圆的简单几何性质:1.范围;2.对称性;3.顶点;4.离心率双曲线的简单几何性质:1.范围;2.对称性;3.顶点;4.渐近线;5.离心率
与利用椭圆、双曲线的方程研究它们的几何性质一样,我们利用抛物线的标准方程研究抛物线的几何性质,包括抛物线的范围、形状、大小、对称性和特殊点等.新知探究问题2
观察抛物线y2=2px(p>0)的图像,它的范围是怎样的?KFM••xyOH由抛物线y2=2px(p>0)有
所以抛物线的范围为从图像上看:
抛物线在y轴的右侧,开口方向与x轴的正方向相同;当x的值增大时,ǀyǀ的值也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.问题3
观察抛物线y2=2px(p>0)的图像,它的对称性是如何的?KF••xyOH新知探究从图形上看,抛物线关于x轴对称.若点P(x,y)在抛物线上,即满足
y2=2px,关于x轴对称则(-y)2=2px
我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.新知探究KFM••xyOH问题4
观察抛物线y2=2px(p>0)的图像,它的顶点是什么?抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在y2=2px(p>0)中,令y=0,则x=0.即抛物线y2=2px(p>0)的顶点(0,0).新知探究KFM••xyOH问题5
结合椭圆与双曲线的第二定义,并观察抛物线y2=2px(p>0)的图像,它的离心率是什么?
抛物线上的点M与焦点F的距离和它到准线的距离d之比
,叫做抛物线的离心率,用e表示.由定义知,抛物线y2=2px(p>0)的离心率为e=1.问题6那其他的形式的抛物线的范围、对称性、顶点、离心率又该如何呢?
新知探究抛物线的简单几何性质方程图形范围对称性顶点离心率y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2pylFyxOlFyxOlFyxOlFyxOx≥0,y∈Rx≤0,y∈Rx∈R,y≥0x∈R,y≤0关于x轴对称关于y轴对称
(0,0)e=1典例解析
所以可设它的标准方程为y2=2px(p>0)
解得p=2因此,所求抛物线的标准方程为y2=4x解:
y2=4x或
分类讨论巩固练习课本P1361.求适合下列条件的抛物线的标准方程(1)关于x轴对称,并且经过点M(5,-4);(2)关于y轴对称,准线经过点E(5,-5);(3)准线在y轴的右侧,顶点到准线的距离是4;(4)焦点在y轴的负半轴上,经过横坐标为16的点P,且FP平行于准线.典例解析
lFAxyB思考
解这道题,你能想到哪些解法呢?思考
能否结合抛物线的定义,想出其它解法呢?
典例解析lFAxyBA′┑B′┑
典例小结在例4中,线段AB叫做抛物线的焦点弦,线段AF、BF都叫抛物线的焦半径.lFxy
连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径.焦半径焦半径公式:(x0,y0)M由焦半径公式可知:抛物线的顶点到焦点的距离最小,且最小值为
典例小结在例4中,线段AB叫做抛物线的焦点弦,线段AF、BF都叫抛物线的焦半径.lFAxyB(x1,y1)(x2,y2)焦点弦过抛物线的焦点的线段,叫做抛物线的焦点弦.焦点弦公式:
过焦点而垂直于对称轴的弦,称为抛物线的通径.通径2p2p越大,抛物线张口越大.利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.抛物线的通径是所有焦点弦中最短的弦.追问
椭圆、双曲线的通径分别是什么?方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦
通径y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2pylFyxOlFyxOlFyxOx≥0,y∈Rx≤0,y∈Rx∈R,y≥0x∈R,y≤0lFyxO关于x轴对称关于y轴对称
(0,0)抛物线的简单几何性质典例小结巩固练习课本P136
抛物线如图,x的系数的绝对值越大,抛物线的开口越大.巩固练习课本P136
解:巩固练习课本P136
课堂小结方程图形焦点准线范围对称性顶点
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