江苏苏州-2023年中考数学考前最后一卷

绝密★启用前2023年中考考前最后一卷（江苏苏州卷）数学（考试时间：120分钟试卷满分：130分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．下列四个数中，最小的数是（

）A．0 B．3 C．−12023 D．2．下列计算正确的是（

）A．−a2b3C．(2−a)2=4−a3．二十大报告中，一组组亮眼的数字，吸引无数目光，折射出新时代十年的非凡成就．其中，国内生产总值从54万亿元增长到114万亿元．请你把114万亿元用科学记数法表示为（）A．1.14×1014元 B．0.114×1014元 C．1.14×104．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的面积为（A．2334 B．7213 C．5．已知当x<0时，反比例函数y=kx的函数值随自变量的增大而减小，则关于x的一元二次方程根的情况是（

A．有两个相等的实数根 B．没有实数根C．有两个不相等的实数根 D．跟k的取值有关6．下图中，图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果，图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中∠ABC的度数是（

A．30° B．45° C．60° D．75°7．如图，一次函数y=x+2的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为（

A．6+2 B．32 C．2+8．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉样．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A'B'C'D'，形成一个“方胜”图案，则点D'，A．1cm B．2cm C．22第Ⅱ卷二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）9．−2023的绝对值是___________．10．分解因式：8a−2ab=______．11．二元一次方程组x+3y=−12x+y=312．一组数据1、3、x、4、5的平均数是5，这组数据的中位数是______．13．一个扇形的圆心角为60°，弧长为8π，此扇形的面积为__________.14．如图，DA切⊙O于点A，DC过点O且交⊙O于点B、C，若DA=6，DB=4，则∠D15．“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程x+4y=23，则表示的的方程组是______．16．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在点D'、C'的位置，ED'的延长线恰好经过B点，若，CF=2三．解答题（共11小题，共82分）17．(本小题5分)计算：2sin18．(本小题5分)解不等式组：2x−5<0①19．(本小题6分)先化简，再求值x−1x2+4x+4÷x20．(本小题6分)如图，点B，F，E，C在同一条直线上，BE=CF，AB=CD，AB∥CD．求证：AF∥DE21．(本小题6分)为庆祝神舟十五号载人飞船发射取得圆满成功，某校举办了航天航空科技体验活动，内容有四项：A．聆听航天科普讲座；B．参加航天梦想营；C．参观航天科技展；D．制作航天火箭模型．每位同学从中随机选择一项参加．(1)该校小红同学选择“参观航天科技展”的概率是______；(2)用列表或画树状图的方法，求该校小明同学和小亮同学同时选择“参加航天梦想营”的概率．22．(本小题6分)某学校为了解学生某一周参加家务劳动的情况，从各年级共1200名学生中随机抽取了部分学生，对其参加家务劳动的次数进行了统计，绘制出如下的统计图①和图②．根据相关信息，解答下列问题：(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为_______，图①中m的值为______；(2)求统计的这组参加家务劳动次数数据的众数、中位数和平均数；(3)根据统计的这组参加家务劳动次数数据，估计该校学生中这周参加家务劳动次数大于3的学生人数．23．(本小题8分)“小房子”是一种常见的牛奶包装盒（如图1），图2是其一个侧面的示意图，由“盒身”矩形BCDE和“房顶”等腰三角形ABE组成．已知BC=4.5厘米，CD=8厘米，AB=AE=5厘米．(1)求“房顶”点A到盒底边CD的距离；(2)现设计了牛奶盒的一个新造型，和原来相比较，折线段ABC的长度（即线段AB与BC的和）及矩形BCDE的面积均不改变，且sin∠ABE=513，24．(本小题8分)如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接交CD于点F，过点F作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠(1)求证：PE是⊙O(2)如果PE=BE，求证：∠P=30°(3)若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长．25．(本小题10分)如图，矩形OCBD的顶点O与坐标原点重合，点C在x轴上，点A在对角线OB上，且OA=25，．反比例函数y=kx的图象经过点A，交BC，BD于点M，N，CM=43，连接OM，(1)求反比例函数y=kx的解析式及点(2)若点P在x轴上，且△OPN的面积与四边形OMBN的面积相等，求点P的坐标．26．(本小题10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx−2的图像经过点A−1,0，B3,0，与y轴交于点C(1)求二次函数的函数表达式；(2)设二次函数的图像的顶点为D，求直线BD的函数表达式以及sin∠(3)若点M在线段AB上（不与A、B重合），点N在线段BC上（不与B、C重合），是否存在△CMN与△AOC相似，若存在，请直接写出点N27．(本小题12分)如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°<α<180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接．当α+β=180°时，我们称△A'B'C是△ABC的“旋补三角形”，△AB(1)在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=______BC；②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为_______．(2)在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．(3)如图4，在四边形ABCD，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=23，DA=6，在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△

2023年中考考前最后一卷（江苏苏州卷）数学·全解全析12345678CBADCCAD一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．下列四个数中，最小的数是（

）A．0 B．3 C．−12023 D．【答案】C【分析】负数的奇次幂是负数，即−12023=−1，非零的零次幂是1，即【详解】因为−12023=−1，−20220故选：C．【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，负数＜零＜正数，熟练掌握负数的奇次幂是负数、非零的零次幂为1等内容是解题的关键．2．下列计算正确的是（

）A．−a2b33=−a6b【答案】B【分析】根据积的乘方、同底数幂乘法、完全平方式、二次根式减法分别计算即可做出判断．【详解】解：A．−aB．a3C．(2−a)D．，故选项错误，不符合题意．故选：B．【点睛】此题考查了积的乘方、同底数幂乘法、完全平方公式、二次根式加减法等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．3．二十大报告中，一组组亮眼的数字，吸引无数目光，折射出新时代十年的非凡成就．其中，国内生产总值从54万亿元增长到114万亿元．请你把114万亿元用科学记数法表示为（）A．1.14×1014元 B．0.114×1014元 C．1.14×10【答案】A【分析】根据科学记数法的表示方法即可得到答案，科学记数法的表示形式为a×10n，其中【详解】解：114万亿元=114000000000000元，用科学记数法表示为：1.14×10故选：A．【点睛】本题考查了科学记数法，解题关键是掌握科学记数法的表示方法：用科学记数法表示较大的数时，注意a×10n中a的范围是1≤a<10，n是正整数，n与原数的整数部分的位数4．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的面积为（

）A．2334 B．7213 C．【答案】D【分析】连接OB、OC，根据圆的周长得到圆的半径，再利用正六边形的性质即可解答．【详解】解：连接OB、OC，作OH⊥BC于点∵⊙O的周长等于6π，∴⊙O的半径为：6π2π∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC=∴△BOC∴BC=OB=OC=3，∴OH=OB·sin∴S△∴S正六边形ABCDEF故选D．【点睛】本题考查了圆内接正六边形中心角等于60°，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数，正六边形的面积，掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．5．已知当x<0时，反比例函数y=kx的函数值随自变量的增大而减小，则关于x的一元二次方程根的情况是（

A．有两个相等的实数根 B．没有实数根C．有两个不相等的实数根 D．跟k的取值有关【答案】C【分析】先判定k>0，再证明Δ>0，判断选择即可．【详解】解：∵当x<0时，反比例函数y=k∴k>0，∵的判别式为：Δ=(−2)2∴方程有两个不相等的实数根，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，一元二次方程根的判别式，准确理解反比例函数的性质，灵活运用根的判别式是解题的关键．6．下图中，图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果，图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中∠ABC的度数是（

A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】C【分析】先确定∠BAD的度数，再利用菱形的对边平行，平行线的性质即可求出∠ABC【详解】解：如图所示：∵∠BAD=又∵∠BAD+∴∠BAD=∵BC∥∴∠ABC+，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了菱形的性质与学生读题审题的能力，理解题意，准确识图，求出∠BAD7．如图，一次函数y=x+2的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为（

A．6+2 B．32 C．2+【答案】A【分析】根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可．【详解】解：∵一次函数y=x+2的图像与x轴、y轴分别交于点A、B令x=0，则y=2，令y=0，则x=−2则A（−2，0），B（0，2则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO=45°，∴AB=22过点C作CD⊥AB，垂足为D，∵∠CAD=∠OAB=45°，∴△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，∴AC=AD2+CD∵旋转，∴∠ABC=30°，∴BC=2CD=2x，∴BD=BC2−CD又BD=AB+AD=2+x，∴2+x=x，解得：x=+1，∴AC=2x=2（+1）=6+2故选A．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．8．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉样．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A'B'C'D'，形成一个“方胜”图案，则点D'，A．1cm B．2cm C．22【答案】D【分析】先求出BD，再根据平移性质得BB'=1cm，然后由DB'=BD−BB'【详解】解：由题意，BD=2由平移性质得BB'=1cm∴点D，B'之间的距离为DB'=BD−BB'=(22故选：D．【点睛】本题考查平移性质、正方形的性质，熟练掌握平移性质是解答的关键．二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）9．−2023的绝对值是___________．【答案】2023【分析】根据绝对值的定义进行求解即可．【详解】解：−2023的绝对值是2023，故答案为：2023．【点睛】本题主要考查了求一个数的绝对值，熟知正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数是解题的关键．10．分解因式：8a−2ab=______．【答案】2a(4−b)【分析】提取公因式进行分解因式即可．【详解】解：8a−2ab=2a(4−b)，故答案为：2a(4−b)．【点睛】本题主要考查了分解因式，正确找到公因式是解题的关键．11．二元一次方程组x+3y=−12x+y=3【答案】x=2y=−1/【分析】用加减消元法先消去x，把二元转化为一元，即可解得方程组．【详解】解：x+3y=−1①由①×2得：2x+6y=−2③−②得：5y=−5解得：y=−1，把y=−1代入②得：2x−1=3，解得：，∴此方程组解为：x=2y=−1故答案为：x=2【点睛】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法，把“二元“转化为“一元“．12．一组数据1、3、x、4、5的平均数是5，这组数据的中位数是______．【答案】4【分析】先根据算术平均数的概念得出关于x的方程，解之求出x的值，即可得出这组数据，继而由中位数的定义求解即可．【详解】解：∵数据1、3、x、4、5的平均数是3，∴1+3+x+4+55解得，∴这组数据为1，3，4，5，12，则这组数据的中位数为4，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了平均数，中位数等知识点，正确根据平均数的定义求出x的值是解题的关键．13．一个扇形的圆心角为60°，弧长为8π，此扇形的面积为__________.【答案】96π【分析】先根据圆心角和弧长求出扇形的半径，然后再代入到扇形的面积公式中求解即可．【详解】解：设扇形的半径为r，则l扇形解得r=24，∴S扇形故答案为：96π．【点睛】本题主要考查弧长和扇形的面积公式，掌握弧长公式和扇形的面积公式是解题的关键．14．如图，DA切⊙O于点A，DC过点O且交⊙O于点B、C，若DA=6，DB=4，则∠D【答案】5【分析】利用切线得到直角三角形，再利用勾股定理求出半径，最后求出∠D【详解】解：如图连接OA，切⊙O于点A，∴OA在Rt△OAD中OA2+AD2=OD得r2解得r=5∴tan故答案为512【点睛】本题考查切线的性质、勾股定理、三角函数值，利用各项知识点得到可计算边长关系进行正确的计算是解题的关键．15．“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程x+4y=23，则表示的的方程组是______．【答案】x+2y=32【分析】根据横着的算筹为10，竖放的算筹为1，依次表示x，y的系数与等式后面的数字，即可求解．【详解】解：表示的方程组是x+2y=323x+y=41，故答案为：x+2y=323x+y=41【点睛】本题考查了列二元一次方程组，理解题意是解题的关键．16．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在点D'、C'的位置，ED'的延长线恰好经过B点，若，CF=2【答案】4【分析】根据矩形及折叠的性质可知，AB=CD=3，∠BEF=∠BFE，则BF=BE，设AD=BC=x，则AE=x−3，BE=x−2，利用勾股定理可得：AB2+AE2=BE【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，，∴AB=CD=3，AD=BC，AD∥BC，∠∴∠BFE=由折叠可知，DE=D'E=3∴∠BEF=∴BF=BE，设AD=BC=x，则AE=AD−DE=x−3，BE=BF=BC−CF=x−2，则由勾股定理可得：AB2+A解得：x=7，则AE=4，故答案为：4．【点睛】本题考查矩形的性质，翻折的性质，勾股定理，由矩形与翻折的性质得到BF=BE是解决问题的关键．三．解答题（共11小题，共82分）17．计算：2sin【答案】2【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质、二次根式的性质分别化简，再合并得出答案．【详解】解：原式=2×==2．【点睛】本题考查实数的综合运算能力，属于基础题，解决本题的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．18．解不等式组：2x−5<0①【答案】不等式组的解集为：−1≤x<5【分析】解不等式组求出它的解集，再取正整数解即可．【详解】解：2x−5<0①不等式①的解集为：x<5不等式②的解集为：x≥−1．∴不等式组的解集为：−1≤x<5∴不等式组的的正整数解为：1，2．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的正整数解，利用一元一次不等式组的解法正确求得不等式组的解集是解题的关键．19．先化简，再求值x−1x2+4x+4÷x【答案】−1x+2，x=0时，原式=−12【分析】先根据分式的运算法则把所给分式化简，再从−2≤x≤1中选取一个使原分式有意义的数代入计算即可．【详解】解：x−1=====−1∵x的解集为−2≤x≤1，∴其中整数解有−2，、0和1，∵x≠1，x≠−2∴x=0时，原式=−10+2=−12【点睛】本题考查了分式的计算和化简，解决这类题目关键是把握好通分与约分，分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分．同时注意在进行运算前要尽量保证每个分式最简．20．如图，点B，F，E，C在同一条直线上，BE=CF，AB=CD，AB∥CD．求证：AF∥【答案】见解析【分析】根据BE=CF，先证出BC=EF，利用AB∥CD得到∠B=∠C，由此证明△ABF≌△DCE，得到∠AFB=∠DEC，由此推出∠AFE=∠DEF，AF∥【详解】证明：∵BE=CF，∴，即BF=CE∵AB∥∴∠B=∵AB=CD，∴△ABF∴∠AFB=∴∠AFE=∴AF∥【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．21．为庆祝神舟十五号载人飞船发射取得圆满成功，某校举办了航天航空科技体验活动，内容有四项：A．聆听航天科普讲座；B．参加航天梦想营；C．参观航天科技展；D．制作航天火箭模型．每位同学从中随机选择一项参加．(1)该校小红同学选择“参观航天科技展”的概率是______；(2)用列表或画树状图的方法，求该校小明同学和小亮同学同时选择“参加航天梦想营”的概率．【答案】(1)1(2)1【分析】（1）根据概率公式直接求解即可；（2）根据列表法求概率即可求解．【详解】（1）解：依题意，内容有四项，该校小红同学选择“参观航天科技展”的概率是14故答案为：14（2）解：列表如下，内容有四项：A．聆听航天科普讲座；B．参加航天梦想营；C．参观航天科技展；D．制作航天火箭模型．ABCDAAAABACADBBABBBCBDCCACBCCCDDDADBDCDD共有16种等可能结果，其中符合题意的有1种，∴该校小明同学和小亮同学同时选择“参加航天梦想营”的概率为1【点睛】本题考查了概率公式求概率，列表法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键．22．某学校为了解学生某一周参加家务劳动的情况，从各年级共1200名学生中随机抽取了部分学生，对其参加家务劳动的次数进行了统计，绘制出如下的统计图①和图②．根据相关信息，解答下列问题：(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为_______，图①中m的值为______；(2)求统计的这组参加家务劳动次数数据的众数、中位数和平均数；(3)根据统计的这组参加家务劳动次数数据，估计该校学生中这周参加家务劳动次数大于3的学生人数．【答案】(1)40，25(2)这组数据的众数为3，中位数为3，平均数是3(3)该校1200名学生中这周参加家务劳动次数大于3的人数约为390人【分析】（1）根据劳动1次的人数及所占百分比可得调查的学生人数，将劳动4次的人数除以总人数可得m的值；（2）根据众数、中位数、加权平均数的定义计算即可；（3）将样本中家务劳动4次和5次的学生人数所占比例的和乘以总人数1200即可．【详解】（1）由扇形图可知样本中劳动1次的占10%，由条形图可知劳动1次的学生有4人所以接受抽样调查的学生人数为4÷10%=40由条形图可知劳动4次的学生有10人，故所占比例为10÷40=25%故答案为：40,25；（2）∵在这组数据中，3出现了15次，出现的次数最多，∴这组数据的众数为3．∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是3，有，∴这组数据的中位数为3．观察条形统计图，x=∴这组数据的平均数是3（3）∵在40名学生中，这周参加家务劳动次数大于3的人数比例为25%+7.5%=32.5%，∴估计该校1200名学生中这周参加家务劳动次数大于3的人数比例的为32.5%，于是，有1200×32.5%=390．∴该校1200名学生中这周参加家务劳动次数大于3的人数约为390人．【点睛】此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．23．“小房子”是一种常见的牛奶包装盒（如图1），图2是其一个侧面的示意图，由“盒身”矩形BCDE和“房顶”等腰三角形ABE组成．已知BC=4.5厘米，CD=8厘米，AB=AE=5厘米．(1)求“房顶”点A到盒底边CD的距离；(2)现设计了牛奶盒的一个新造型，和原来相比较，折线段ABC的长度（即线段AB与BC的和）及矩形BCDE的面积均不改变，且sin∠ABE=513，【答案】(1)点A到盒底边CD的距离为7.5厘米；(2)新造型“盒身”的高度为132【分析】（1）构造直角三角形，利用勾股定理求得的长，进一步计算即可求解；（2）利用（1）的结论，结合角和的正弦、余弦，建立方程即可求解．【详解】（1）解：如图，作AF⊥∵△ABE∴BF=FE，∵四边形BCDE是矩形，∴BE=CD=8，∴，在Rt△ABF中，∴，∴点A到盒底边CD的距离为厘米；（2）解：如图，作AF⊥设BC=x，则，，∵，∴，由（1）得cos∠∴，解得或3，当x=3时，BC<CD，不合题意，舍去；∴，即新造型“盒身”的高度为132厘米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，作出合适的辅助线，构造直角三角形是解题的关键．24．如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接交CD于点F，过点F作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠(1)求证：PE是⊙O(2)如果PE=BE，求证：∠P=30°(3)若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)10【分析】（1）如图，连接OE．要证明PE是⊙O的切线，只需推出OE⊥（2）先证明AE⊥BE，进而得到CD⊥BE，由垂径定理推出EF=12PE，在Rt△PEF（3）设EF=x，则CF=2x，OF=2x−5，在Rt△OEF中，由勾股定理得52=x2+2x−52，解方程求出CF=8，则OF=3，在Rt【详解】（1）证明：如图，连接OE．∵CD是⊙O∴∠CED=90°∵，∴∠1=又∵∠PED=∠C，即∠PED=∴∠PED=∴∠PED+∠OED=∠2+∠OED=90°，即∠OEP=90°∴，又∵点E在圆上，∴PE是⊙O（2）证明：∵AB为⊙O∴∠AEB=90°，即AE⊥∵AE∥∴CD⊥∵CD为⊙O∴EF=1∵PE=BE，∴EF=1在Rt△PEF中，∴∠P=30°（3）解：设EF=x，则CF=2x，∵⊙O∴OF=CF−OC=2x−5，在Rt△OEF中，由勾股定理OE解得x=4，∴CF=8，∴OF=3，在Rt△EOF中，在Rt△OEP中，∴PD=OP−OD=10【点睛】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，勾股定理，垂径定理，等边对等角等等，正确作出辅助线是解题的关键．25．如图，矩形OCBD的顶点O与坐标原点重合，点C在x轴上，点A在对角线OB上，且OA=25，．反比例函数y=kx的图象经过点A，交BC，BD于点M，N，CM=43，连接OM，(1)求反比例函数y=kx的解析式及点(2)若点P在x轴上，且△OPN的面积与四边形OMBN的面积相等，求点P的坐标．【答案】(1)反比例函数的解析式为y=8x，点N(2)点P的坐标为203，0【分析】（1）作AE⊥x轴于点E，由点的坐标与图形的性质求得点，代入反比例函数解析式求得该双曲线方程；由点M的坐标易得点B的坐标，再由此设点N的坐标为n,3，代入y=8x求得n（2）S四边形BMON=S矩形OCBD−S△OCM−S△OND=10．设点P【详解】（1）解：作AE⊥x轴，由OA=25，，可得AE=2，．∴点A的坐标为(4,2)．∴反比例函数的解析式为y=8由y=8x，可得点M的坐标为6,4由，OC=6，可得BC=3．∴点B的坐标为6,3．设点N的坐标为n,3，代入y=8x中，得∴点N的坐标为．（2）解：S=6×3−1设点P的坐标为(p,0)．由S△OPN=1∴点P的坐标为203，0或【点睛】本题考查了反比例函数综合题，涉及到了待定系数法求反比例函数解析式，矩形的面积公式，三角形的面积公式，锐角三角函数的定义以及反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，综合性比较强，但是难度不是很大．26．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx−2的图像经过点A−1,0，B3,0，与y轴交于点C(1)求二次函数的函数表达式；(2)设二次函数的图像的顶点为D，求直线BD的函数表达式以及sin∠(3)若点M在线段AB上（不与A、B重合），点N在线段BC上（不与B、C重合），是否存在△CMN与△AOC相似，若存在，请直接写出点N【答案】(1)y=2(2)y=43x−4(3)存在，157,−47，【分析】（1）利用待定系数法，分别将A、B两点坐标代入二次函数表达式，列方程组求解即可；（2）利用配方法将二次函数一般式化简成顶点式，即可得顶点坐标；连接BD交y轴于点E，过点C作CP⊥BE于点P，利用面积法列方程可求CP的长，在直角三角形BCP中，利用锐角三角函数求sin∠（3）利用相似三角形的性质可得：△CMN是直角三角形，且两条直角边之比为1:2，可分三种情况，即分别假设三个角为直角，进行求解即可．【详解】（1）解：将A−1,0、B3,0∴a−b−2=09a+3b−2=0∴二次函数表达式为y=2（2）由题意得，y====∴二次函数的顶点式为y=2∴二次函数的图像的顶点D的坐标为1,−8设直线BD解析式为：y=kx+d，将B3,0、D1,−83k+d=0k+d=−83∴BD的解析式为：y=4设直线BD与y轴交于E，过点C作CP⊥BE点当x=0时，y=−4，点的坐标为0,−4，即，C点是二次函数与y轴的交点，当x=0时，y=−2，∴C0,−2，即OC=2∴CE=OE−OC=4−2=2在Rt△OBE中，∵∴解得：CP=6在Rt△OBC中，∴sin（3）存在∵△CMN与△AOC△AOC是直角三角形，且OA=1，OC=2，是直角三角形，且两直角边之比为1:2；分情况讨论如下：①当∠CNM=90°a．MN:CN=1:2时，设MN=m，CN=2m，∴CM=则S即1∴解得：OM=3−在Rt△OMC中，即22解方程得：m1=2∴过点N作NF⊥y轴交y轴于点F∴△∴即4解得：CF=87，∴∴点N的坐标为127b．当CN:MN=1:2时，同理可得：CM=5m，在Rt△OMC中，即22解方程得：m1=134，m2∴过点N作NG⊥y轴交y轴于点G∴△∴即13解得：CG=12∴∴点N的坐标为34②当∠CMN=90°过点N作NH⊥x轴、NK⊥y轴于点N、K，由题意可得：△∴∴设NH=n，则OM=2n，MH=1∵△∴NHOC=∴∴∴2n+1+3n2即NH=OK=n=47∵△∴CKCO=解得：KN=∴点N的坐标为15③当∠MCN=90°由题意得：△∴BOCO得MO=43，点M此时点M在线段AB之外