2025届山东专卷博雅闻道高三第五次模拟考试数学试卷含解析

2025届山东专卷博雅闻道高三第五次模拟考试数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用，化简，得.设勾股形中勾股比为，若向弦图内随机抛掷颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A． B． C． D．2．正方形的边长为，是正方形内部（不包括正方形的边）一点，且，则的最小值为（）A． B． C． D．3．已知函数，，若，对任意恒有，在区间上有且只有一个使，则的最大值为（）A． B． C． D．4．若复数是纯虚数，则实数的值为()A．或 B． C． D．或5．已知当，，时，，则以下判断正确的是A． B．C． D．与的大小关系不确定6．设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是（）A． B．C． D．7．已知圆关于双曲线的一条渐近线对称，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．9．已知集合，，则（）A． B．C． D．10．已知全集U=x|x2≤4,x∈Z，A．-1 B．-1,0 C．-2,-1,0 D．-2,-1,0,1,211．已知直线与圆有公共点，则的最大值为（）A．4 B． C． D．12．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P是C的右支上一点，连接与y轴交于点M，若（O为坐标原点），，则双曲线C的渐近线方程为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．正四面体的各个点在平面同侧，各点到平面的距离分别为1，2，3，4，则正四面体的棱长为__________．14．已知双曲线(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为_______．15．如图，直线平面，垂足为，三棱锥的底面边长和侧棱长都为4，在平面内，是直线上的动点，则点到平面的距离为_______，点到直线的距离的最大值为_______.16．曲线在点处的切线方程为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，平面分别是上的动点，且.（1）若平面与平面的交线为，求证：；（2）当平面平面时，求平面与平面所成的二面角的余弦值.18．（12分）如图，在正四棱锥中，，点、分别在线段、上，．（1）若，求证：⊥；（2）若二面角的大小为，求线段的长．19．（12分）已知椭圆的左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为，，为其右焦点，，且该椭圆的离心率为；（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点作斜率为的直线交椭圆于轴上方的点，交直线于点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与直线交于点．若，求取值范围．20．（12分）[选修4-4：极坐标与参数方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）若射线与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求取最大值时的值21．（12分）已知实数x，y，z满足，证明：.22．（10分）设点分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上任意一点，且的最小值为1．（1）求椭圆的方程；（2）如图，直线与轴交于点，过点且斜率的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：直线．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】分析：设三角形的直角边分别为1，，利用几何概型得出图钉落在小正方形内的概率即可得出结论.解析：设三角形的直角边分别为1，，则弦为2，故而大正方形的面积为4，小正方形的面积为.图钉落在黄色图形内的概率为.落在黄色图形内的图钉数大约为.故选：A.点睛：应用几何概型求概率的方法建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量．(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即可；(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型．2、C【解析】

分别以直线为轴，直线为轴建立平面直角坐标系，设，根据，可求，而，化简求解.【详解】解：建立以为原点，以直线为轴，直线为轴的平面直角坐标系.设，，，则，，由，即，得.所以=，所以当时，的最小值为.故选：C.【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示，属于基础题.3、C【解析】

根据的零点和最值点列方程组，求得的表达式（用表示），根据在上有且只有一个最大值，求得的取值范围，求得对应的取值范围，由为整数对的取值进行验证，由此求得的最大值.【详解】由题意知，则其中，．又在上有且只有一个最大值，所以，得，即，所以，又，因此．①当时，，此时取可使成立，当时，，所以当或时，都成立，舍去；②当时，，此时取可使成立，当时，，所以当或时，都成立，舍去；③当时，，此时取可使成立，当时，，所以当时，成立；综上所得的最大值为．故选:C【点睛】本小题主要考查三角函数的零点和最值，考查三角函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.4、C【解析】试题分析：因为复数是纯虚数，所以且，因此注意不要忽视虚部不为零这一隐含条件.考点：纯虚数5、C【解析】

由函数的增减性及导数的应用得：设，求得可得为增函数，又，，时，根据条件得，即可得结果．【详解】解：设，则，即为增函数，又，，，，即，所以，所以．故选：C．【点睛】本题考查了函数的增减性及导数的应用，属中档题．6、A【解析】

设坐标，根据向量坐标运算表示出，从而可利用表示出；由坐标运算表示出，代入整理可得所求的轨迹方程.【详解】设，，其中，，即关于轴对称故选：【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，涉及到平面向量的坐标运算、数量积运算；关键是利用动点坐标表示出变量，根据平面向量数量积的坐标运算可整理得轨迹方程.7、C【解析】

将圆，化为标准方程为，求得圆心为.根据圆关于双曲线的一条渐近线对称，则圆心在渐近线上，.再根据求解.【详解】已知圆，所以其标准方程为：，所以圆心为.因为双曲线，所以其渐近线方程为，又因为圆关于双曲线的一条渐近线对称，则圆心在渐近线上，所以.所以.故选：C【点睛】本题主要考查圆的方程及对称性，还有双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8、D【解析】

结合三视图可知,该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,分别求出体积即可.【详解】由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,则上半部分的半个圆锥的体积,下半部分的正三棱柱的体积,故该几何体的体积.故选:D.【点睛】本题考查三视图,考查空间几何体的体积,考查空间想象能力与运算求解能力,属于中档题.9、A【解析】

根据对数性质可知，再根据集合的交集运算即可求解.【详解】∵，集合，∴由交集运算可得.故选：A.【点睛】本题考查由对数的性质比较大小，集合交集的简单运算，属于基础题.10、C【解析】

先求出集合U，再根据补集的定义求出结果即可．【详解】由题意得U=x|∵A=1,2∴CU故选C．【点睛】本题考查集合补集的运算，求解的关键是正确求出集合U和熟悉补集的定义，属于简单题．11、C【解析】

根据表示圆和直线与圆有公共点，得到，再利用二次函数的性质求解.【详解】因为表示圆，所以，解得，因为直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离，即，解得，此时，因为，在递增，所以的最大值.故选：C【点睛】本题主要考查圆的方程，直线与圆的位置关系以及二次函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12、C【解析】

利用三角形与相似得，结合双曲线的定义求得的关系，从而求得双曲线的渐近线方程。【详解】设，，由，与相似，所以，即，又因为，所以，，所以，即，，所以双曲线C的渐近线方程为.故选：C.【点睛】本题考查双曲线几何性质、渐近线方程求解，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

不妨设点A，D，C，B到面的距离分别为1，2，3，4，平面向下平移两个单位，与正四面体相交，过点D，与AB，AC分别相交于点E，F，根据题意F为中点，E为AB的三等分点（靠近点A），设棱长为a，求得，再用余弦定理求得：，从而求得，再根据顶点A到面EDF的距离为，得到，然后利用等体积法求解，【详解】不妨设点A，D，C，B到面的距离分别为1，2，3，4，平面向下平移两个单位，与正四面体相交，过点D，与AB，AC分别相交于点E，F，如图所示：由题意得：F为中点，E为AB的三等分点（靠近点A），设棱长为a，，顶点D到面ABC的距离为所以，由余弦定理得：，所以，所以，又顶点A到面EDF的距离为，所以，因为，所以，解得，故答案为：【点睛】本题主要考查几何体的切割问题以及等体积法的应用，还考查了转化化归的思想和空间想象，运算求解的能力，属于难题，14、【解析】

根据题意，由双曲线的渐近线方程可得，即a＝2b，进而由双曲线的几何性质可得cb，由双曲线的离心率公式计算可得答案．【详解】根据题意，双曲线的渐近线方程为y＝±x，又由该双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y＝0，即yx，则有，即a＝2b，则cb，则该双曲线的离心率e；故答案为：．【点睛】本题考查双曲线的几何性质，关键是分析a、b之间的关系，属于基础题．15、【解析】

三棱锥的底面边长和侧棱长都为4，所以在平面的投影为的重心，利用解直角三角形，即可求出点到平面的距离；，可得点是以为直径的球面上的点，所以到直线的距离为以为直径的球面上的点到的距离，最大距离为分别过和的两个平行平面间距离加半径，即可求出结论.【详解】边长为，则中线长为，点到平面的距离为，点是以为直径的球面上的点，所以到直线的距离为以为直径的球面上的点到的距离，最大距离为分别过和的两个平行平面间距离加半径.又三棱锥的底面边长和侧棱长都为4，以下求过和的两个平行平面间距离，分别取中点，连，则，同理，分别过做，直线确定平面，直线确定平面，则，同理，为所求，，，所以到直线最大距离为.故答案为:；.【点睛】本题考查空间中的距离、正四面体的结构特征，考查空间想象能力，属于较难题.16、【解析】

对函数求导，得出在处的一阶导数值，即得出所求切线的斜率，再运用直线的点斜式求出切线的方程.【详解】令，，所以，又，所求切线方程为，即.故答案为：.【点睛】本题考查运用函数的导函数求函数在切点处的切线方程，关键在于求出在切点处的导函数值就是切线的斜率，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）【解析】

（1）首先由线面平行的判定定理可得平面，再由线面平行的性质定理即可得证；（2）以点为坐标原点，，所在的直线分别为轴，以过点且垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值；【详解】解：（1）由，又平面，平面，所以平面.又平面，且平面平面，故.（2）因为平面，所以，又，所以平面，所以，又，所以.若平面平面，则平面，所以，由且，又，所以.以点为坐标原点，，所在的直线分别为轴，以过点且垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，则，，设则由，可得，，即，所以可得，所以，设平面的一个法向量为，则，，，取，得所以易知平面的法向量为，设平面与平面所成的二面角为，则，结合图形可知平面与平面所成的二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面平行的判定定理及性质定理的应用，利用空间向量法求二面角，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．18、（1）证明见解析；（2）．【解析】试题分析：由于图形是正四棱锥，因此设AC、BD交点为O，则以OA为x轴正方向，以OB为y轴正方向，OP为z轴正方向建立空间直角坐标系，可用空间向量法解决问题．（1）只要证明＝0即可证明垂直；（2）设＝λ，得M(λ，0，1－λ)，然后求出平面MBD的法向量，而平面ABD的法向量为，利用法向量夹角与二面角相等或互补可求得．试题解析:(1)连结AC、BD交于点O，以OA为x轴正方向，以OB为y轴正方向，OP为z轴正方向建立空间直角坐标系．因为PA＝AB＝，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1)．由＝，得N，由＝，得M，所以，＝(－1，－1，0)．因为＝0，所以MN⊥AD(2)解：因为M在PA上，可设＝λ，得M(λ，0，1－λ)．所以＝(λ，－1，1－λ)，＝(0，－2，0)．设平面MBD的法向量＝(x，y，z)，由，得其中一组解为x＝λ－1，y＝0，z＝λ，所以可取＝(λ－1，0，λ)．因为平面ABD的法向量为＝(0，0，1)，所以cos＝，即＝，解得λ＝，从而M，N，所以MN＝＝．考点：用空间向量法证垂直、求二面角．19、（Ⅰ）；（Ⅱ），．【解析】

（Ⅰ）由题意可得，的坐标，结合椭圆离心率，及隐含条件列式求得，的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设直线，求得的坐标，再设直线，求出点的坐标，写出的方程，联立与，可求出的坐标，由，可得关于的函数式，由单调性可得取值范围．【详解】（Ⅰ），，，，，由，得，又，，解得：，，．椭圆的标准方程为；（Ⅱ）设直线，则与直线的交点，又，设直线，联立，消可得．解得，，联立，得，，直线，联立，解得，，，，，，，，函数在上单调递增，，．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力．20、(1)的极坐标方程为.曲线的直角坐标方程为.(2)【解析】

(1)先得到的一般方程，再由极坐标化直角坐标的公式得到一