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文档简介
河南省平顶山市2025届高三3月份第一次模拟考试数学试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|–1<x<2},B={x|x>1},则A∪B=A.(–1,1) B.(1,2) C.(–1,+∞) D.(1,+∞)2.秦九韶是我国南宁时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入、的值分别为、,则输出的值为()A. B. C. D.3.造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明,此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承,普遍认为这四种发明对中国古代的政治,经济,文化的发展产生了巨大的推动作用.某小学三年级共有学生500名,随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明,能说出两种发明的有45人,能说出3种及其以上发明的有32人,据此估计该校三级的500名学生中,对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有()A.69人 B.84人 C.108人 D.115人4.已知函数的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有()①绕着轴上一点旋转;②沿轴正方向平移;③以轴为轴作轴对称;④以轴的某一条垂线为轴作轴对称.A.①③ B.③④ C.②③ D.②④5.已知定义在上的函数满足,且在上是增函数,不等式对于恒成立,则的取值范围是A. B. C. D.6.若(),,则()A.0或2 B.0 C.1或2 D.17.已知集合,,则中元素的个数为()A.3 B.2 C.1 D.08.阅读如图的程序框图,运行相应的程序,则输出的的值为()A. B. C. D.9.集合,则()A. B. C. D.10.已知函数,则下列结论中正确的是①函数的最小正周期为;②函数的图象是轴对称图形;③函数的极大值为;④函数的最小值为.A.①③ B.②④C.②③ D.②③④11.已知三棱锥的体积为2,是边长为2的等边三角形,且三棱锥的外接球的球心恰好是中点,则球的表面积为()A. B. C. D.12.已知甲盒子中有个红球,个蓝球,乙盒子中有个红球,个蓝球,同时从甲乙两个盒子中取出个球进行交换,(a)交换后,从甲盒子中取1个球是红球的概率记为.(b)交换后,乙盒子中含有红球的个数记为.则()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.点到直线的距离为________14.若将函数的图象沿轴向右平移个单位后所得的图象与的图象关于轴对称,则的最小值为________________.15.甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习,每个企业两人,则“甲、乙两人恰好在同一企业”的概率为_________.16.在数列中,,则数列的通项公式_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,为的导数,函数在处取得最小值.(1)求证:;(2)若时,恒成立,求的取值范围.18.(12分)已知函数.(Ⅰ)若是第二象限角,且,求的值;(Ⅱ)求函数的定义域和值域.19.(12分)如图,在三棱柱中,、、分别是、、的中点.(1)证明:平面;(2)若底面是正三角形,,在底面的投影为,求到平面的距离.20.(12分)已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)当时,如果方程有两个不等实根,求实数t的取值范围,并证明.21.(12分)如图,在平面直角坐标系中,以轴正半轴为始边的锐角的终边与单位圆交于点,且点的纵坐标是.(1)求的值:(2)若以轴正半轴为始边的钝角的终边与单位圆交于点,且点的横坐标为,求的值.22.(10分)函数(1)证明:;(2)若存在,且,使得成立,求取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
根据并集的求法直接求出结果.【详解】∵,∴,故选C.【点睛】考查并集的求法,属于基础题.2、B【解析】
列出循环的每一步,由此可得出输出的值.【详解】由题意可得:输入,,,;第一次循环,,,,继续循环;第二次循环,,,,继续循环;第三次循环,,,,跳出循环;输出.故选:B.【点睛】本题考查根据算法框图计算输出值,一般要列举出算法的每一步,考查计算能力,属于基础题.3、D【解析】
先求得名学生中,只能说出一种或一种也说不出的人数,由此利用比例,求得名学生中对四大发明只能说出一种或一种也说不出的人数.【详解】在这100名学生中,只能说出一种或一种也说不出的有人,设对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有人,则,解得人.故选:D【点睛】本小题主要考查利用样本估计总体,属于基础题.4、D【解析】
计算得到,,故函数是周期函数,轴对称图形,故②④正确,根据图像知①③错误,得到答案.【详解】,,,当沿轴正方向平移个单位时,重合,故②正确;,,故,函数关于对称,故④正确;根据图像知:①③不正确;故选:.【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数性质,意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.5、A【解析】
根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在上是减函数,由此可将不等式化为;利用分离变量法可得,求得的最大值和的最小值即可得到结果.【详解】为定义在上的偶函数,图象关于轴对称又在上是增函数在上是减函数,即对于恒成立在上恒成立,即的取值范围为:本题正确选项:【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题,涉及到恒成立问题的求解;解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系,从而利用分离变量法来处理恒成立问题.6、A【解析】
利用复数的模的运算列方程,解方程求得的值.【详解】由于(),,所以,解得或.故选:A【点睛】本小题主要考查复数模的运算,属于基础题.7、C【解析】
集合表示半圆上的点,集合表示直线上的点,联立方程组求得方程组解的个数,即为交集中元素的个数.【详解】由题可知:集合表示半圆上的点,集合表示直线上的点,联立与,可得,整理得,即,当时,,不满足题意;故方程组有唯一的解.故.故选:C.【点睛】本题考查集合交集的求解,涉及圆和直线的位置关系的判断,属基础题.8、C【解析】
根据给定的程序框图,计算前几次的运算规律,得出运算的周期性,确定跳出循环时的n的值,进而求解的值,得到答案.【详解】由题意,,第1次循环,,满足判断条件;第2次循环,,满足判断条件;第3次循环,,满足判断条件;可得的值满足以3项为周期的计算规律,所以当时,跳出循环,此时和时的值对应的相同,即.故选:C.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题,其中解答中认真审题,得出程序运行时的计算规律是解答的关键,着重考查了推理与计算能力.9、D【解析】
利用交集的定义直接计算即可.【详解】,故,故选:D.【点睛】本题考查集合的交运算,注意常见集合的符号表示,本题属于基础题.10、D【解析】
因为,所以①不正确;因为,所以,,所以,所以函数的图象是轴对称图形,②正确;易知函数的最小正周期为,因为函数的图象关于直线对称,所以只需研究函数在上的极大值与最小值即可.当时,,且,令,得,可知函数在处取得极大值为,③正确;因为,所以,所以函数的最小值为,④正确.故选D.11、A【解析】
根据是中点这一条件,将棱锥的高转化为球心到平面的距离,即可用勾股定理求解.【详解】解:设点到平面的距离为,因为是中点,所以到平面的距离为,三棱锥的体积,解得,作平面,垂足为的外心,所以,且,所以在中,,此为球的半径,.故选:A.【点睛】本题考查球的表面积,考查点到平面的距离,属于中档题.12、A【解析】分析:首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数,对应的事件有哪些结果,从而得到对应的概率的大小,再者就是对随机变量的值要分清,对应的概率要算对,利用公式求得其期望.详解:根据题意有,如果交换一个球,有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球,红球的个数就会出现三种情况;如果交换的是两个球,有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝,对应的红球的个数就是五种情况,所以分析可以求得,故选A.点睛:该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题,在解题的过程中,需要对其对应的事件弄明白,对应的概率会算,以及变量的可取值会分析是多少,利用期望公式求得结果.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、2【解析】
直接根据点到直线的距离公式即可求出。【详解】依据点到直线的距离公式,点到直线的距离为。【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的应用。14、【解析】
由题意利用函数的图象变换规律,三角函数的图像的对称性,求得的最小值.【详解】解:将函数的图象沿轴向右平移个单位长度,可得的图象.根据图象与的图象关于轴对称,可得,,,即时,的最小值为.故答案为:.【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律,正弦函数图像的对称性,属于基础题.15、【解析】
求出所有可能,找出符合可能的情况,代入概率计算公式.【详解】解:甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习,每个企业两人,共有种,甲乙在同一个公司有两种可能,故概率为,故答案为.【点睛】本题考查古典概型及其概率计算公式,属于基础题16、【解析】
由题意可得,又,数列的奇数项为首项为1,公差为2的等差数列,对分奇数和偶数两种情况,分别求出,从而得到数列的通项公式.【详解】解:∵,∴①,②,①﹣②得:,又∵,∴数列的奇数项为首项为1,公差为2的等差数列,∴当为奇数时,,当为偶数时,则为奇数,∴,∴数列的通项公式,故答案为:.【点睛】本题考查求数列的通项公式,解题关键是由已知递推关系得出,从而确定数列的奇数项成等差数列,求出通项公式后再由已知求出偶数项,要注意结果是分段函数形式.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析;(2).【解析】
(1)对求导,令,求导研究单调性,分析可得存在使得,即,即得证;(2)分,两种情况讨论,当时,转化利用均值不等式即得证;当,有两个不同的零点,,分析可得的最小值为,分,讨论即得解.【详解】(1)由题意,令,则,知为的增函数,因为,,所以,存在使得,即.所以,当时,为减函数,当时,为增函数,故当时,取得最小值,也就是取得最小值.故,于是有,即,所以有,证毕.(2)由(1)知,的最小值为,①当,即时,为的增函数,所以,,由(1)中,得,即.故满足题意.②当,即时,有两个不同的零点,,且,即,若时,为减函数,(*)若时,为增函数,所以的最小值为.注意到时,,且此时,(ⅰ)当时,,所以,即,又,而,所以,即.由于在下,恒有,所以.(ⅱ)当时,,所以,所以由(*)知时,为减函数,所以,不满足时,恒成立,故舍去.故满足条件.综上所述:的取值范围是.【点睛】本题考查了函数与导数综合,考查了利用导数研究函数的最值和不等式的恒成立问题,考查了学生综合分析,转化划归,分类讨论,数学运算能力,属于较难题.18、(Ⅰ)(Ⅱ)函数的定义域为,值域为【解析】
(1)由为第二象限角及的值,利用同角三角函数间的基本关系求出及的值,再代入中即可得到结果.(2)函数解析式利用二倍角和辅助角公式将化为一个角的正弦函数,根据的范围,即可得到函数值域.【详解】解:(1)因为是第二象限角,且,所以.所以,所以.(2)函数的定义域为.化简,得,因为,且,,所以,所以.所以函数的值域为.(注:或许有人会认为“因为,所以”,其实不然,因为.)【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式,三角函数函数值求解以及定义域和值域的求解问题,涉及到利用二倍角公式和辅助角公式整理三角函数关系式的问题,意在考查学生的转化能力和计算求解能力,属于常考题型.19、(1)证明见解析;(2).【解析】
(1)连接,连接、交于点,并连接,则点为的中点,利用中位线的性质得出,,利用空间平行线的传递性可得出,然后利用线面平行的判定定理可证得结论;(2)推导出平面,并计算出,由此可得出到平面的距离为,即可得解.【详解】(1)连接,连接、交于点,并连接,则点为的中点,、分别为、的中点,则,同理可得,.平面,平面,因此,平面;(2)由于在底面的投影为,平面,平面,,为正三角形,且为的中点,,,平面,且,因此,到平面的距离为.【点睛】本题考查线面平行的证明,同时也考查了点到平面距离的计算,考查推理能力与计算能力,属于中等题.20、(1)当时,的单调递增区间是,单调递减区间是;当时,的单调递增区间是,单调递减区间是;(2),证明见解析.【解析】
(1)求出,对分类讨论,分别求出的解,即可得出结论;(2)由(1)得出有两解时的范围,以及关系,将,等价转化为证明,不妨设,令,则,即证,构造函数,只要证明对于任意恒成立即可.【详解】(1)的定义域为R,且.由,得;由,得.故当时,函数的单调递增区间是,单调递减区间是
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