机器人建模与控制课件：机器人运动学

机器人建模与控制

机器人运动学3.1.1

串联机构的组成使两个刚体直接接触而又能产生一定相对运动的联接称为运动副

，

机器人的运动副也称关节，连杆即指由关节所联的刚体若运动副联结的两刚体之间为面与面的接触，则称运动副为低副。

六种常用的低副：3.1

串联机构中的运动学参量本课程中的关节仅限转动副和移动副移动副(滑动关节或移动关节)转动副(转动关节)平面副球面副螺旋副圆柱副串联机构：多个连杆通过关节以串联形式连接成首尾不封闭的机械结构3.1

串联机构中的运动学参量本课程仅研究串联机械臂(串联机器人)非串联机械臂串联机械臂串联机械臂从串联机器人基座进行编号➢固定基座为连杆0➢第一个可动连杆为连杆1➢以此类推，机器人最末端的连杆为连杆N➢连杆0与连杆1通过关节1连接，

…

，连杆N-1与连杆N

通过关节N连接为了确定末端执行器在3维空间的位置和姿态，串

联机器人至少需要6个关节3.1

串联机构中的运动学参量关节i连杆i

–

1关节i

–

1轴i轴i

–

1➢用空间中的直线“轴i”表示关节i的轴线➢轴i的正方向由设计者指定➢旋转关节：旋转轴中心线➢滑动关节：滑动方向中心线➢连杆i绕(沿)轴i相对于连杆i

–

1运动3.1

串联机构中的运动学参量3.1.2

连杆长度与连杆转角连杆ii

−1ii

−1iOi−1Pi

i

−1

i

Oi−1Pi连杆i

aii

−1ii

−1与轴i

夹角的值，此夹角即为连杆转角

i

−1若轴

和轴

不平行，它们有唯一的公垂线段若轴

和轴

平行，它们的公垂线段不唯一，可按需取一条公垂线段公垂线段

的正方向为轴

指向轴

，称

为几何连杆连杆转角：过轴

作一个平面垂直于

，然后将轴

投影到该平面上，按照轴

绕旋转到轴

投影的思路以右手螺旋法则确定轴时，我们并不将零长度的

视为传统的零向量，而是在与轴

和轴

同时垂直的方向中选一个作为

的正方向PiOi-1O

Pi−1

i

=

i−O

Pi−

i3.1

串联机构中的运动学参量Oi−1Pii−

i−1

i连杆长度：公垂线段

的长度，表示为11i

−

iO

Pi−

ii1O

P连杆i-1

i-1轴i-1i-1Oi轴ia当11aai−103.1.3

连杆偏距与关节角连杆偏距：从Pi

到Oi

的有向距离，记为di关节角：过Oi−1Pi

作一个平面垂直于轴i

，

然后将Oi

Pi+1

投影到该平面上，在平面内

按照Oi−1Pi

绕轴i

旋转到Oi

Pi+1

投影的思路

以右手螺旋法则确定Oi−1Pi

与Oi

Pi+1

夹角的

值，此旋转角度即为关节角9i

连杆长度ai−1、连杆转角

i−1、

连杆偏距di

和关节角9i

都

称为关节i

的运动学参量i-1Oi-1

i

-1

轴i-1连杆i

ai

9i3.1

串联机构中的运动学参量OiiPi轴id

连杆i-1a➢

若关节1是转动关节，取d1

=0

，而O0

P1

的方向则任取与轴1垂直的某个方向，取O0

P1

的方向就是决定O1P2

的零位方向连杆0➢

若关节1是滑动关节，取91

=0，而O0

P1

的位置则任取轴1上的某个点，取O0

P1

的位置就是决定O1P2

的零位位置a91d1

O0

,P1O0

,P1轴13.1

串联机构中的运动学参量3.1.4

首末关节的运动学参量➢

设定一个虚拟的轴0与轴1重合，即取a0

=0,0

=001➢O

P

是一个固定不动的几何连杆O

1连杆1轴01➢

轴N−1和轴N

存在，aN−1

和

N−1

已知，需要选取长度任意的ON

PN+1轴N若关节N

是滑动关节，取9N

=0

，

而点ON

则任取轴N

上与连杆N

固连的某个点，ON

与PN

的相对

位移即决定了连杆偏距dN是转动关节，取

，而的方向则任取与连杆

固连的某个方向，与

的夹角即是关节角NPN+1aON-13.1

串联机构中的运动学参量dN

=0NOd连杆N-1连杆NPN+1轴N-1若关节NO

PN

N+1O

PN

N+1O

PN−1

N

NPON9➢➢N-1N-1N9NN3.2.1

运动学参量表⚫ai−1和

i−1是固定不变的参数，不会随着关节i的运动而变化⚫若关节i是转动关节，则di是固定不变的参数，

θi是会随着

关节i的运动而变化的关节变量，即：3个连杆参数ai−1

,

i−1

,di

1个关节变量θi⚫若关节i是滑动关节，则θi是固定不变的参数，

di是会随着

关节i的运动而变化的关节变量，即：⚫一个有N个关节的串联机构，有4N个运动学参量，其中3N

个是连杆参数、

N个是关节变量，它们包含了串联机构的

全部空间几何信息3.2

建立坐标系的非标准D-H(Denavit-Hartenberg)方法3个连杆参数ai−1

,

i−1

,θi1个关节变量di例2.8.1：下图所示为一个3关节串联机械臂，该臂的末端装

有吸盘作为操作工具。试在此机构上建立几何连杆、写出各

连杆参数的值并列出各关节变量3.2

建立坐标系的非标准D-H(Denavit-Hartenberg)方法0.2m关节3关节1关节20.5m0.4m1.0m关节iαi−1(rad)ai−1(m)di(m)θi(rad)10001201023-π/20.5033.2

建立坐标系的非标准D-H(Denavit-Hartenberg)方法轴轴1,轴0运动学参量表结果不唯一121运动学参量表2

轴323340.4m0.5m0.2m1.0mO

P29θθθO

P01O

POP399体(实物连杆)的联体坐标系⚫几何连杆Oi−1Pi

与连杆i-1固连，Oi−1Pi

的

联体坐标系也是连杆i-1的联体坐标系3.2.2

连杆联体坐标系的配置⚫串联机器人是一个多体系统(N+1个刚体)，描述机器人

的运动即是描述N+1个刚体的运动，因此需要建立每个刚3.2

建立坐标系的非标准D-H(Denavit-Hartenberg)方法Pi轴i连杆i-1连杆iOi-1轴i-1Oi轴i-1Matlab的Link函数的方法选项’modefied’为非标准D-H法；

’standard’或缺省为标准D-H法Oi−1为{i-1}的原点轴i-1为{i-1}的Z轴Oi−1Pi

为{i-1}的X轴3.2

建立坐标系的非标准D-H(Denavit-Hartenberg)方法⚫非标准D-H

(Denavit-Hartenberg)方法建立连杆i-1的联体坐标系{i-1}Z八

−1

Oi

i−11X八右手定则定{i-1}的Y轴

-OiiZ八Pi轴i连杆i-1连杆iiX八i

i−13.2

建立坐标系的非标准D-H(Denavit-Hartenberg)方法例2.8.2：采用改进D-H方法建立例2.8.1的连杆联体坐标系轴2轴1,轴02334O

PO

PZ八2X八O3Z八0

,Z八1101O

P0X八0轴3O0

,O11X八12OPX八Z八

3O22332关节iαi−1(rad)ai−1(m)di(m)θi(rad)1000120L10230L2033O0

,

13.2

建立坐标系的非标准D-H(Denavit-Hartenberg)方法非标准D-H方法建

立的连杆联体坐标

系不唯一例2.8.3：采用非标准D-H方法建立如图机器人的连杆联体坐标运动学参量表系O

OθθθO2{i-1}经四步变换成为{i}沿联体X轴滑动ai−1

绕联体X轴旋转

i−1沿联体Z轴滑动di

绕联体Z轴旋转θi「cos9i||L

0−sin9i

cos9i

cos

i−1

cos9i

sin

i−100−sin

i−1i−10ai−1

]−sini−1di

cos

i−1di

|「10

0i−1T

=

0

cos

i

−1

−sin

i

−1i

|0

sin

i

−1

cos

i

−1PiOi-13.3.1

相邻连杆联体坐标系的变换「cos9i

−sin9i

0

sin9i

cos9i

00013.3

机器人正运动学da=

|sin9i

cos

i−1|sin9i

sini−1|||||||

|||ai−1]0

0

1

」||L0

0

0

iii0

]

|

i

|1」|iZ八|

1

」000

i-10

|d

|i−1

Z八i−1cos

iOia9i-1i−1X八X八

Li3.3.2

正运动学问题及其求解正运动学问题：已知各关节变量的值，

以基座坐标

系为参考系，求末端工具联体坐标系的位姿−sin9icos9i

cos

i−1

cos9i

sin

i−10「

cos9i||L

0i−1T

=

|sin9i

cos

i−1i

|sin9i

sin

i−1ai−1

]−sin

i−1di

cos

i−1di

|0−sin

i−1i−1

03.3

机器人正运动学0T

=

0T

1Tn12n−1Tn|1

」解法：cos

为描述例2.8.1中的操作工具吸盘，建立了吸盘联体坐标系{4}，

其原点为吸盘中心、姿态与{3}相同「100|3T

|4

=

|00

1|

|L0

0

0

T(91,92

,93

)=T(91)T(92

)T(93

)T43322110403.3

机器人正运动学Z八2X八3O0.2]||0.4|

|1

」|Z八0

,Z八110100X八00.2m0.4mO0

,O11X八0X八X八Z八4Z八3

4

OO42233423O4O0

,

1对2.8.3的机器人，建立工具的联体坐标系{4}，其原点为夹具末

端中点、姿态与{3}相同「100|3T

|4

=

|00

1|

|L0

0

0

T(91,92

,93

)=T(91)T(92

)T(93

)T43322110403.3

机器人正运动学L3

]|00|

|

1

」|010O

OX八

3OL|442关节iαi−1ai−1diθi100012−90°002302 334−90°3 44590°0056−90°0063.3.3

PUMA560机器人的运动学方程6R机构，轴4

、5

、6相互垂直且交于一点3.3

机器人正运动学XˆZˆD-H

连杆参数表ddaaθθθθθθXˆ5Zˆ5

56

660

]

「

c92

T

=

−

1」L

0s9202100求出每对相邻坐标系的齐次变换矩阵0]

「c930

2T

s930

|

3

=

|

0|

|1」|L0「c96|T

=

−s96L

065「c94|3

T

|

94=44

=0−s3.3

机器人正运动学「c91|

T

=

L

00s9110−sin9i

cos9i

cosai

−1

cos9i

sin

ai−10「c95|T

=

95L

0s054「cos9i||

L

00−sinai

−1i−1

0−s93

c93

00−s96

0−c96

0−s92

0−c92

0−s94

0−c94

0−s91

c91

0

0ai−1

]−sinai

−1di

−s95

0

c95

0||cosai−1di

1

」0]|0

|0

||1」0]||0

||1」i−1T

=

|sin

9i

cosai

−1a3

]|d4

|

0

||

1

」|i

|sin

9i

sinai−10−1

00a2

]||d3

|01000100001000100100|1

」|cosa0000和T

相乘开始:「c5

c6|4

T

4

T

5

T

|s66

=

5

6

=

|s5

c665−s94

0−c94

0

94=44

=0−sa3

]|d4

|

0

||

1

」|3T

|「c94010|00−s95

0

c95

0T

=

95L

0s0540−1000

|

0

|

|「c950]|1」|「c4

c5

c6

−s4

s6T

=

T

T

=

s5

c6|

−s4

c5

c6

−

c4s6

|L

0644363−c4

c5s6

−s4

c6−s5s6s4

c5s6

−c4

c6

0「c96|T

=

−s96L

0653.3

机器人正运动学−c5

s6c6−s

s0−s96

0−c96

0−c4s5

c5

s4s5

0−s50c5

00]||0

||1

」|0]||0

||1」a3

]d4

|0

|

1

」|从

T540100||L056000|因为关节2和关节3是平行的，

所以

T

和

T

的乘积用和角公式得到一个简化的表达式，只要两个旋转关节轴平行就可以这样处理，

因此得到:3221「c231

1

2

|

0|

−s23|L

00]

「c930

2T

s930

|

3

=

|

0|

|1」|L0「c92|

T

=

−s92L

0213.3

机器人正运动学a2

c2

]d3

|−

a2s2

|

1

」|c23

=cos(92

+93

),s23

=sin(92

+93

)−s93

c93

00−s92

0−c92

0−s23

0−c23

03T

=

2T

3T

=|a2

]||d3

|010000100100|1

」|00|1r32

=s23

[c4

c5s6

+s4

c6

]+c23s5s6

1r13

=−c23

c4s5

−s23

c51r23

=s4s51r33

=s23

c4s5

−c23

c51px

=a2

c2

+a3

c23

−d4s231py

=d31pz

=−a3s23

−a2s2

−d4

c231r11

=c23

[c4

c5

c6

−s4s6

]−s23s5s6

1r21

=−s4

c5

c6

−c4s61r31

=−s23

[c4

c5

c6

−s4s6

]−c23s5

c6

1r12

=−c23

[c4

c5s6

+s4

c6

]+s23s5s6

1r22

=s4

c5s6

−c4

c6继续矩阵相乘：「63

6|「c4

c5

c6

−s4

s6T

=

s5

c6|

−s4

c5

c6

−

c4

s6

|L

063−c4

c5s6

−s4

c6−s5s6s4

c5s6

−c4

c6

03.3

机器人正运动学「c231

|

0|

−s23|L

0a2

c2

]

d

|−

a2s2

|1

」||

1T

=

1T

3T

=|−c4s5

c5

s4s5

0−s23

0−c23

01py

1pz

|1

」|a3

]d

|0

|1

」|1r13

1r23

1r3301r121r221r3201r111r211r31001001px

]3T

=|3

|4

||Lr11

=c1

[c23

(c4

c5

c6

−s4s5

)−s23s5

c5

]+s1

(s4

c5

c6

+c4s6

)

r21

=s1

[c23

(c4

c5

c6

−s4s6

)−s23s5

c6

]−