机器人建模与控制课件：机器人微分运动学和静力学

机器人建模与控制

微分运动学与静力学向量B

Q

的微分表示为如下同维向量若

B

Q是描述某个点的位置向量，该点关于{B}的速度是

B

VQ

像其他向量一样，速度向量B

VQ

可在任意坐标系中描述A

(

B

VQ

)

=

R

B

VQ

=

B

Q

=

R(t)

需要注意，

A

(

B

VQ

)不同于

AVQ

=

Q

t→0

t当两个上标相同时，无需给出外层上标，即B

(

B

VQ

)

=

B

VQti

lBAti

lBA

5.1

时变位姿的符号表示

P

=

PBORG

+

R

P

AAAAAAAAAABAABAA

BORG

(t

+

t)

+

R(t

+

t)

B

Q(t

+

t)

−

APBORG

(t)

−

R(t)

BQ(t)BABA5.1.1

线速度向量⚫位置向量的微分速度大小取决于两个坐标系：(1)进行微分的局部坐标系；(2)描述该速度向量的观测坐标系。B

d

B

B

Q(t

+

t)−BQ(t)Q

dt

t→0

tV

=Q

=

lim5.1.1

线速度向量⚫世界坐标系的速度经常讨论的是一个坐标系原点相对于世界坐标系{U}的

速度，对于这种情况，定义一个缩写符号oC

=U

VCORG式中的点为坐标系

{C}的原点特别要注意下列符号的意思AoC

=RoC

=R

U

VCORG

CoC

=RoC

=R

U

VCORGUCUCUAUA5.1

时变位姿的符号表示

AVCORGX八X八BORGZ八A由理论力学知：刚体(其联体坐标系为{B}

)在参考坐标系{A}中的任何运动都可以分解为

点APBORG

的运动和刚体绕

APBORG

的定点转动刚体的定点转动刚体绕体内或其外延部分的一固定点旋转定点转动不同于定轴转动(T

=

J9)5.1

时变位姿的符号表示5.1.2

角速度向量APY八BY八AAB5.1.2

角速度向量仅考虑刚体(或{B})

的定点转动，令

APBORG

=，0{B}与{A}原点重合由理论力学知：在任一瞬间，

{B}在{A}中的定点转动X八BORGBX八Y八BAP在{A}中描述{B}的定点转动可用角速度向

量A

B

，A

B

的方向是瞬轴在{A}中的方向

A

B

的大小表示在{A}中{B}绕瞬轴的旋转速

度可以看作是绕瞬时转动轴

(简称瞬轴，

瞬轴上的每个点在该瞬时相对于{A}的速度为零)的转动5.1

时变位姿的符号表示瞬轴的位置可随时间t变化,但原点始终在瞬轴上BBAA

B{B}X八Z八Z八Y八Y八AAB5.1.2

角速度向量像其他向量一样,

角速度向量可以在任意坐标系中描述C

(A

B

)=R

A

BAC经常讨论的是动坐标系(比如{C})

相对于世界坐标系{U}的角速度，对于这种情况，定义一个缩写符号C

C特别要注意下列符号的意思AoC

=RoC

=R

U

C

丰

A

C

CoC

=RoC

=R

U

CUCUCUAUA5.1

时变位姿的符号表示o

=

U

5.2.1

刚体纯平移时的线速度变化坐标系间仅有线速度(即纯平移)时，点的速度变化坐标系{B}固连在刚体上，描述

B

Q

相对于坐标系{A}的运动。

{B}相对于{A}用位置向量

APBORG

和旋转矩阵

R

来描述。若方位

R

不随时间变化，则Q点相对于坐标系{A}的运动是由于BABA坐标系{A}中的Q点的线速度:AVQ

=AVBORG

+

R

B

VQ只适用于坐标系{B}和坐标系{A}的相对方位保持不变的情况。BA5.2

刚体的线速度与角速度或

B

Q

随时间的变化引起的。BQBORGAPRRT

+RRT

=RRT

+(RRT

)T

=

0n定义

S

=RRT

,

由此有

S

+ST

=

0nS

是一个反对称阵(skew-symmetric

matrix)

.

正交矩阵的微分与反对称阵之间存在如下特性:S

=

RR

−1正交矩阵的导数性质对任何

n

n

的正交矩阵

R

，有:求导，得到:5.2.2

刚体一般运动时的线速度变化5.2

刚体的线速度与角速度RRT

=

InQ

t→0

t=lim

+lim

t→0

t

t→

0

tddt=AVBORG

+R

B

Q

+R

B

VQBABAA

AQ(t

+t)−AQ(t)Q

t→0

tB

B

Q(t

+t)−BQ(t)Q

t→0

tA

BORG

(t

+

t)

+

R(t

+

t)

B

Q(t

+

t)

−

APBORG

(t)

−

R(t)

BQ(t)BABA⚫Q是空间中的动点，{B}是动坐标系，求APBORG

(t

+

t)

−

APBORG

(t)

R(t

+

t)

B

Q(t

+

t)

−

R(t)

BQ(t)BABA5.2.2

刚体一般运动时的线速度变化5.2

刚体的线速度与角速度与AVQ

B

VQ

的关系AP

=APBORG

+

R

BPBA{A}=AVBORG

+R(t)B

Q(t)BA和V

=

limV

=

lim5.2.2

刚体一般运动时的线速度变化AR

=

lim

R(t

+

t)

−

R(t)AK是瞬轴的归一化向量，即BABAB

t→0

t在时间间隔Δt中，通过绕瞬轴匀速旋转φ角度，

姿态

R(t)变成姿态

R(t

+t)根据等效轴角方法，有

R(t

+t)=Rot(AK,Q)

R(t)BABABABA「kx

]「x

Q]AK

=

k

y

Q

角速度向量|Lkz

」||L

z

Q」|标量Q表示旋转速度则

R

=

lim

Rot(

K,Q)

−

I3

R(t)

t→0

tRot(KA

,Q)−I3

AQ→0

QAABABA5.2

刚体的线速度与角速度「x

]||

A|L

z

」|=lim

QB

R(t)|

y

|

=

BRot(AK,0)=I3lim

=limQ→0

Q

Q→0

Q

−

0「

kx

kx

vQ+cQRot(AK,Q)=kx

ky

vQ+kz

sQ|Lkx

kz

vQ−ky

sQvQ=1−cQ5.2.2

刚体一般运动时的线速度变化5.2

刚体的线速度与角速度「kx

kx

sQ−sQ=

|kx

ky

sQ+

kz

cQ

|Lkx

kz

sQ−ky

cQkx

kz

vQ+ky

sQ]ky

kz

vQ

−

kx

sQ

|

kz

kz

vQ+cQ

」|kx

kz

sQ+ky

cQ]ky

kz

sQ

−

kx

cQ

|

kz

kz

sQ−sQ

」|kx

ky

vQ−kz

sQky

ky

vQ+cQky

kz

vQ+kx

sQkx

ky

sQ−kz

cQky

ky

sQ−sQky

kz

sQ+kx

cQRot(

K,Q)

−

I3

Rot(

K,Q)

−

Rot(

K,

0)AAAAAAAAAAAAAAA=

Rot(

AK,Q)「0

|=

|

kz

|L−ky显然于是ky

]−kx

|0

|−kz

0k|」已知Q=0Q=0|x||

的一

变化

A〉B

=

=

1

=

2222222223332321bbbb1b3b2213aaab2b1b3a1a3a2度度时的线速与角速动度运速般线体体2

刚刚若M

=−M

T

，称M为反对称矩阵

角速度矩阵

S

是反对称矩阵AVQ

=AVBORG

+R

B

Q

+R

B

VQ

=AVBORG

+S

R

B

Q

+R

B

VQBABABABABABA「0−kz

ky

]=

Q|

kz

0

−kx

||L−ky

kx

0

」|x对应角速度向量

QB

=

AAzyQQ]

「0

，定义角速度矩阵

S

=Qz

」|

|L−Qy−Qz0QxBAAR「0

|=

|

Qz

|L−Qy−Qz0QxQ

]−Qx

R

=

S

R0

|BABABAAVQ

=AVBORG

+R

B

VQ

+A

QB

〉R

BQBABAR

=

Qlim

Rot(

K,Q)

−

I3

RQ→

0

QAABABAB

B

B

B

BAS

=

AR

AR

−1

=

AR

ARTSP

=A

QB

〉PBAQ

]|

−Qx

|

=0

|B

B

BAR

=

AS

AR||3〉3「Q」」yyB⚫理论力学证明：A

C

=A

B

+R

B

CBA⚫{A}

、{B}和{C}是动坐标系，A

、B

和A

的关系如何?5.2.3

运动坐标系之间的角速度向量关系5.2

刚体的线速度与角速度B

C

C5.2.3

运动坐标系之间的角速度向量关系{A}、

{B}和{C}是动坐标系，A

业B

、B

业C

和A

业C

的关系如何？R

=R

R

R

=R

R

+

R

RC

C

B

B

C

B

C

C=S

R

+R

B

业C

根B

XC

B

业C

根B

YC

B

业C

根B

ZC

=S

R

+R

B

业C

根R

B

XC

R

B

业C

根R

B

YC

R

B

业C

根R

B

ZC

=S

R

+R

B

业C

根AXC

R

B

业C

根AYC

R

B

业C

根AZC

=S

R

+A

rC

根AXC

A

rC

根AYC

A

rC

根AZC

=S

R

+W

R

=(S

+W)

RCACABACACACABACABABABABACABABABABABABABACABABACABACBBACBBACACBBACAyy

]W

=

|

yz|L−yyCA−yz0yx−yx

|0

|「0|」|「yx

]A

rC

=y

R

B

业C

|Lyz

」|5.2

刚体的线速度与角速度先乘除后加减，先点乘后叉乘AS

AR

=

AS

AR

BR

+

AR

B

S

BRA

业C

=A

业B

+R

B

业CBAS

=S

+

WCABACA在操作臂工作过程中基座静止，所以一般将{0}作为世界坐标系{U}对于连杆i

(其联体坐标系{i})

的速度，

有

=Ui

R

U

ViORG

=R

0

ViORGiOi

=Ui

ROi

=Ui

R

U

i

=R

0

i

=

i

1R

U

ViORG

=

i

R

0

ViORGi+1Oi

=

i

1ROi

=

i

1R

U

i

=

i

R

0

i显然i+1oi

=

i+

R

ioii+1O

=

i+1R

iOi

i

ii10+1U+U+0+1U+0i0i5.3

机器人连杆间的速度传递

业C

=

业B

+

R

业C

BAA1aiaiBA1

转动机器操作臂是一个链式结构，每个连杆的运动都与它的相邻杆有关，由于这种结构的特点，我们可以依次计算各连杆的速度(线速度和角速度)当关节i+1是旋转关节时i

业

=

9

i

R

i+1Z八i+1i+1i+1

i+1i+1Z八i+1

=[001]T

是轴i+1在{i+1}中的表示9i+1

是旋转关节i+1的关节转速iO

=

i

ROi+10i+10i

0i+1i

i+1i+1Oi+1

=Oi

+R

i

业i+1

=Oi

+9i+1

R

i+

R

i+1Z八i+11ii0i0A对应{0}

B对应{i}

C对应{i+1}i+1Oi+1

=

i+

R

iOi

+9i+1

i+1Z八i+1i1=

i

RO

+

i

R9

0R

i

R

i+1Z八=iOi

+i+

R9i+1

i+1Z八i+11iiOiioii+1oi+15.3.1

转动型关节的速度传递对于旋转关节i+1

，{0}是{A}

，{i}是{B}

，Q是{i+1}的原点B

Q

=i

Pi+1

是定常向量，因此

B

VQ

=0ioi+1

=Roi+1=

Roi

+

R

(Oi

R

i

Pi+1)

iOi

=ioi

+(ROi

)i

Pi+1=ioi

+iOi

i

Pi+10ii00i0i0i于是

0

Vi+1

=0

Vi

+0

i

R

i

Pi+1即

oi+1

=oi

+Oi

R

i

Pi+1i0i05.3

机器人连杆间的速度传递AVQ

=AVBORG

+R

B

VQ

+A

B

R

BQBABAi+1oi+1

=i+

R(ioi

+iOi

i

Pi+1)i1ioii+1oi+1i+1O

=

i+1R

iOi+1i

i5.3.2

平动型关节的速度传递当关节i+1是移动关节时5.3

机器人连杆间的速度传递

ioi

+iOi

i

Pi+1)+di+1

i+1Z八i+1di+1

是移动关节i+1的平移速度ioiiOi+1oi+1i向外迭代法若已知每个旋转关节的9i

和9i

以及每个移动关节的

di

和di

，从连杆0

的

0O0

=0，0o0

=0开始，依次应用这些公式，

可以计算出最后一个连杆

的角速度NON

和线速度NoN

，进一步，可得oN

=R

NoNN05.3

机器人连杆间的速度传递5.3.3

连杆速度计算的向外迭代法i+1oi+1

=i+

R(ioi

+iOi

i

Pi+1)+di+1

i+1Z八i+1i1i+1oi+1

=i+

R(ioi

+iOi

i

Pi+1)i1i+1Oi+1

=

i+

R

iOi

+9i+1

i+1Z八i+1i1i+1O

=

i+1R

iOi+1i

iN

N

N移动关节转动关节O

=

0R

NO5.3.3

连杆速度计算的向外迭代法例子:

一个具有两个转动关节的操作臂.

计算操作臂末端的速度，将它表达

成关节速度的函数。给出两种形式的解答，

一种是用坐标系{3}来表示，另一种是用坐标系{0}来表示「c1

−s1

00]|

|0T

=

|s1

c1

0

0

|1

|0

0

1

0

||||L000

1」||

|L000]|0

|1

|5.3

机器人连杆间的速度传递「c12

−

s12|R

=

R

21R

R

=

|s12

c1232103000l2

]||010||

0

0

1

」「1|2T

=

|

3

|0|

L0「c2

−s2|1T

|s2

c20l1

]||

1

0

||

01

」|2

=

|0

0|

0

010000」L05.3

机器人连杆间的速度传递5.3.3

连杆速度计算的向外迭代法「c2

s2|2o2

=R(1o1

+1O1

根1P2

)=|−s2

c2

|L0

012「0],1o1

=

01R(0o0

+0O0

根0P1)=0|L0」|s2

0]「0]「0

]c2

0

||0

|+92

2

2

=

|

0

|01」||L91」|

|L91

+92」|0]「0]「l1

]

「c2

s2|

|||

|

|0|{|0

|

根

|0

|}=

|

−s2

c2

1」|

|L91」||L0」||L0

0「c2R

1O1

+92

2

2

=−s2

|L

00]「0]

「l1s291

]|

|

|

|

|0

|

|l191

|

=

|l1c291

|1

||0

||

0

|1O1

=

01R

0O0

+911Z八1

=|0|L91」基坐标系的速度为零:Frame

{1}

—{3}:i+1Oi+1

=

i+

R

iOi

+9i+1

i+1Z八i+1i1i+1oi+1

=i+

R(ioi

+iOi

根i

Pi+1)i1||||

|」L

」

L

」0O0

=0,0o0

=0「0]

||||转动关节5.3.3

连杆速度计算的向外迭代法「0]3O3

=

R

2O2

+93

3Z八3

=

2O2

=

0

|L91

+92」|「l1s291

]「0

]「l2

]

「

l1s291

]3D3

=

R(2D2

+

2O2

根

2P3

)

=

R(|l1c291

|+

|

0

|

根

|0

|)

=

|l1c291

+

l2

(91

+92

)

|

0

|L91

+92」||L0」|

0

「c12

−s12

0]「l1s291

]

「−l1s191

−l2s12

(91

+92

)]|||||

|0D3

=

|s12

c12

0

||l1c291

+

l2

(91

+92

)

|

=

|l1c191

+

l2c12

(91

+92

)

||L0

0

1」|

0

0

L|L|L|L|2323235.3

机器人连杆间的速度传递|

||||

|

|

|i+1Oi+1

=

i+

R

iOi

+9i+1

i+1Z八i+1i1i+1Di+1

=i+

R(iDi

+iOi

根i

Pi+1)i133330O

=

0R

3O

=

3O5.4.1

雅可比矩阵雅可比

Jacobian是多元函数的导数假设6个函数，每个函数都有6个独立的变量：6y1

=

?f1

6x1

+

?f1

6x2

+

+

?f1

6x6

?x1

?x2

?x66y2

=

?f2

6x1

+

?f2

6x2

+

+

?f2

6x6

?x1

?x2

?x6y6

=f6

(x1

,x2

,x3

,x4

,x5

,x6

)可用偏微分表达计算

yi

的微分关于y1

=f1

(x1

,x2

,x3

,x4

,x5

,x6

)y2

=f2

(x1

,x2

,x3

,x4

,x5

,x6

)6y6

=

?f6

6x1

+

?f6

6x2

+

+

?f6

6x6

?x1

?x2

?x65.4

雅可比矩阵6Y

=6X

=J(X)6X?X

Y

=F(X)的微分的函数

:?Fxj

9.2

9.3

9.6

Jacobian矩阵「x.

]y.z.Oxy5偏导数矩阵J(X)称作雅可比矩阵,是

xi

的函数。雅可比矩阵可看成是X中的速度向Y中速度的映射。J(X)

是一个时变的线性变换。5.4.1

雅可比矩阵

?F?X

雅可比Jacobian:Jacobian矩阵：

关节空间的微

分变化(速度

变化)与目标

空间(速度变

化)之间的关

系「91

]

92

93

关节空间965|

|

|

|

||||

「x

]yz09L0」关节空间向目标空间速度的传动比。5.4

雅可比矩阵6Y

=6X

=J(X)6XY

=J(X)X|

|

|

|

||||

LOz

」1「9.

]目标空间运动学逆向正向O5.4.2

几何雅可比矩阵注意机械臂末端相对基坐标系的角速度

o=

()

并不是由基坐标系下的末端姿态最小表示(如欧拉角)的求导得到的。几何雅可比矩阵：操作臂的关节速度

与末端线速度和角速度

(v

o)T

之间的映射关系矩阵

J

()「v

]Lo」TTzoyoxo前述向外迭代法计算机械臂末端速度的算法本质上是计算操作臂几何雅可比矩阵的方法之一。5.4

雅可比矩阵|

|

=

J(

)

的向量积构造法

B

AB

C

采用向量积法直接求出末端线速度和角速度，可以构造几何雅可比矩阵。BORG

A+BORGBORGBORGBORGVA=QVAAVQ

=

AVBORG

BQRBBARCB

RABA阵阵矩矩比比可可3

雅雅速度如下：若第i个关节为移动关节，o

)

=

di

Z八iN若第i个关节为转动关节o)

=9iZ八i

(PN

−Pi

)O(i)

=

9Z八N

i

iN(iN(i假设其他关节固定不动，只有第i个关节运动，则由此运动产生的连杆N的线速度和角若机械臂末端执行器固连在连杆N上，

转轴单位向量

Z八i

已由正运动学求得。{A}={0}

，{B}={i}

，Q是{N}的原点而且每个连杆的坐标系原点

Pi

和o

)

=oi

+R

i

VN

+Oi

R

i

Qi0i0N(iZ八N−1(2)(2)N

,

NO

)

=

Oi

+

R

i

Ni0N(iZ八1Z八NO(i)

=

0{0}={U}PN

−P2o

O2Z八Z八92PPPN231

5.4.3

雅可比矩阵的向量积构造法

O

=

9

末端实际线速度和角速度就是各关节造成的线速度和角速度的总和)))))iiZ八Z八i)N(iN

NoN

=xo)，ON

=xON(i)

i=1

i=1以机械臂每个关节均为旋转关节为例构造雅可比矩阵定义笛卡尔速度向量

N

=

6和关节空间角速度向量LON

」N(i对于任意已知的操作臂位形，

关节速度和操作臂末端速度的关系是线性的，然而这种线性关系仅仅是瞬时的，因为在下一刻，雅可比矩阵

就会有微小的变化。雅可比矩阵是时变的。Z八N−1

根

(PN

−

PN

−1)

0

OZ八N−1

Z八N

」|向量积构造法是计算几何雅可比

矩阵的方法之一。则vN

=

|

1

N

1

2

N

2|L

Z八1

Z八2=J(O)O「9]|1

|O==N||L9N

」5.4

雅可比矩阵「Z八

根(P

−P)Z八

根(P

−P

)J(O)=6根N即为雅可比矩阵o)

=9iZ八i

根(PN

−Pi

)N(i「−l2s12

−l1s1

−l2s12

0]|

l2c12+

l1c1

l2c120

|「9

]「o3

]|000||

1

||Lo3」|

=

|

|L

111」「−l1s191

−l2s12

(91

+92

)]

「

0

]|

|

|

|o3

=

|l1c191

+

l2c12

(91

+92

)

|

o3=

|

0

|

所得结果与向外迭代法相同

0

|L91

+92」|L|93925.4

雅可比矩阵

J(O)

=

Z八1

根

(PN

−

P1)|L

Z八15.4.3

雅可比矩阵的向量积构造法「0]由正运动学计算得

Z八1

=Z八2

=Z八3

=0|L1」|设

O=91

92

93

，6×3的雅可比表达为TT例子:

以两连杆操作臂为例,

用雅可比求末端执行器的速度「l2c12

+l1c1

]P3

=

|l2s12

+

l1s1

||L

0

」|Z八N−1

根(PN

−PN−1)Z八N−1Z八2

根(PN

−P2

)Z八「0]||P1

=

|0

||L0」|P2=

|l1s1|

|L

0

」|||「l1c1

]

||0

]|Z八N

」||

|25.4.4

参考坐标系变换下的雅可比矩阵若关心{i}中的笛卡尔速度向量，则「ioN

]「R0]「oN

]

「R||=

||||

=

|0i0i可记变换后的雅可比为「

i

R

i

J()=|

0L

0即i

oN

=

i

J(

)

ii5.4

雅可比矩阵L

iON

」

L

0

R」LON

」L

00i0]|J()0]|J()LON

」R」0iR」0i

5.4.4

参考坐标系变换下的雅可比矩阵由

|

3

3

|

=

|

0

3

|

|

3

|

和前一例子，有L

o3

」

L

0

0

R」Lo3」「c12

s12

0

−s12

c12

0「3o3

]|0

01L

3o3

」

|

0

0

0l2

+l1c20l2000001001001平面操作臂重视2维线速度且

93

三0，则2×2的雅可比表达为0]|0

|L

93

」||1」0

TT−l2s12l2

c1200015.4

雅可比矩阵「−l2s12

−l1s1l2

c12

+l1c1「3o

]「3R0

]「o]「ux

]「l1s2||=

|0

|「9

]

0

||1

|0

|

|92

|「9]

|1

||92

|

|L

93

」|0]「91

]|||l2

」L92

」「l1s2

00]|||||||L」Luy

」

Ll2

+

l1c2设

3o3

=

uxc−s120|

||

||

||

||

||

||

|00

1」|0

|L

0||=

|0]0

0sc0|

|

|

|

|

|

|000100000000001212uL12=y5.5.1

逆微分运动在机械臂关节角处于Θ时，利用此时的雅可比矩阵J(Θ)和关节角速度，可以计算末端执行器的笛卡尔空间速度

vN

(包括线速度和角速度)，即vN

=J()

若已知末端执行器笛卡尔空间速度vN

，产生

vN

的各关节角速度如下计算

=J−1()vN由于对于冗余机械臂和欠驱动机械臂，雅可比矩阵不是方阵，需要考虑雅可比矩阵的伪逆(广义逆)

。若矩阵A的维度为m

n

(m士n)，且A为满秩，则A的伪逆(广义逆)

A+为：m>n

时，

A

+为左逆矩阵，m<n

时，

A

+为右逆矩阵，5.5

逆微分运动学及奇异性A+

=A

=(AT

A)

ATA+

=A

=AT

(AAT

)

−1−1−1−1−1−1−1−1t1lef−5.5.1

逆微分运动若A为m

n维矩阵，且A为满秩，则线性方程组Ax=b的解(1)

m>n

时，方程组是过定的，通常方程组无解。此时，使得||

Ax-b

||2最小的x为方程的最小二乘解，由左伪逆计算x*

=A+

b

=A

b

=(AT

A)

AT

b(2)

m<n

时，方程组是欠定的，通常方程组可能存在无数个解。此时，所有解中使得x范数最小的x为方程的最小范数解，由右伪逆计算x*

=A+

b

=A

b

=AT

(AAT

)

b零空间(Null

Space)：若A为m

n维矩阵，

则A的零空间为线性方程组Ax=0的所有解集合，记为N(A)

N

(A)

=x

=n

:Ax

=0}(1)

m>n

时，若A为列满秩，

A的零空间只有零向量(2)

m<n

时，若A为行满秩，

A的零空间中的向量为x

=

(I

−

A+

A)x

=

(I

−

A

A)x

=

(I

−

AT

(AAT

)A)x其中，

x

为任意n维向量−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1t1lef−5.5

逆微分运动学及奇异性5.5.1

逆微分运动在机械臂关节角处于Θ时，雅可比矩阵为J(Θ)，由末端执行器的笛卡尔空

间速度

vN

求关节角速度的公式如下：(1)

无冗余：机械臂操作空间维度等于机械臂关节数，若雅可比矩阵满秩，则

=J−1()vN(2)

冗余：机械臂操作空间维度小于机械臂关节数，对于末端执行器的某一笛

卡尔空间速度

，通常会有无穷组对应的关节速度，若雅可比矩阵是行满秩

的，其中满足关节速度范数最小的一个特解(最小范数解)，用右伪逆计

算

r

=

JT

(JJT

)

vN通解为

=

r

+

0

=

JT

(JJT

)vN

+

(I

−

JT

(JJT

)J

)0其中0遍历所有的关节速度向量(3)

欠驱动：机械臂操作空间维度大于机械臂关节数，对于末端执行器的某一

笛卡尔空间速度

，可能没有对应的关节速度，这时，若雅可比矩阵是列满

秩的，只能得到误差范数最小的关节速度(最小二乘解)，用左伪逆计算

=(JT

J

)

JT

vN−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−15.5

逆微分运动学及奇异性5.5.2

奇异性对于6×6的J和某个Θ，若J(Θ)可逆，则对任何笛卡尔速度向量

vN

，由

=J−1()vN可以计算出产生

vN

的各关节转速，这些转速是产生vN

的唯一解大多数6×6的J都有使得其不可逆的Θ值，这些Θ值所对应的位姿称为机构的奇异位形或简称奇异状态所有的操作臂在工作空间的边界都存在奇异位形，并且大多数操作臂在它们的工作空间也有奇异位形5.5

逆微分运动学及奇异性对于一般机械臂，

奇异位形为令雅可比矩阵J不满秩的Θ值所构成的位

形，此时

rank(J

(o))<min(m,n)。不同情况下的奇异点的判断条件为(1)无冗余(

m=n

)：在此

Θ时J不可逆，即

det

(J(o))=0(2)冗余(

m<n

)：在此

Θ时J不行满秩，即

rank

(J

(o))<

m(3)欠驱动(

m>n

)：在此

Θ时J不列满秩，即

rank

(J

(o))<n注意：对于平面机械臂，由于其末端姿态只有一个旋转自由度，且旋转轴一直垂直于平面，转角大小为所有转动关节的转角之和，所以判断奇异性时，平面机械臂只需关心平面二维线速度部分的雅可比矩阵，即「vx

]v

v

q因此，对于平面机械臂，上述奇异位形的判断条件需利用雅可比矩阵JvL|5.5.2

奇异性对于空间机械臂，总有

rank

(J

)共min

(6,n)5.5

逆微分运动学及奇异性rank

(J

)共min

(2,n)这里n为机械臂关节数对于平面机械臂，总有5.5.2

奇异性奇异位形大致分为两类:1)边界奇异性：工作空间边界的奇异位形。出现在操作臂完全展开或者收回使得末端执

行器处于或非常接近空间边界的情况2)内点奇异性：工作空间内部的奇异位形。出现在远离工作空间的边界，通常是由于两

个或两个以上的关节轴线共线引起的当操作臂处于奇异位形时，操作臂的末端在笛

卡尔空间中会失去一个或多个自由度，

即此时

无论选择多大的关节速度，操作臂的末端在笛

卡尔空间的某个方向上(或某个子空间中)

都

不能运动。5.5

逆微分运动学及奇异性5.5.2

奇异性例子:

对于两自由度操作臂，末端执行器沿着X八轴以1.0m/s的速度运动。当操作臂远离奇异位形时，

关节速度都在允许范围内。但是当

92

=

0

时，操作臂接近奇异位形，

此时关节速度趋向于无穷大首先计算坐标系

{0}中雅可比矩阵的逆:0J

−1

2c12

l2s12

l1l2s2

L

−

l1c1

−

l2c12

−

l1s1

−

l2s12

」当末端执行器以

1m/s

的速度沿着

X八

方向运动时，按照操作臂位形的函数计算出关节速度:91

=

12

,

92

=

−

1

−

12l1s2

l2s2

l1s2当操作臂伸展到接近

92

=

0

,两个关节的速度趋向无穷大.5.5

逆微分运动学及奇异性c

c

c

的可操作性问题若机械臂处于某位形时关节向量为

Φ

，关节速度取为单位速度向量

Φe

，满足

Φ

Φe

=1此时，机器人末端速度记为ve

，则满足(1)机器人无冗余：

v

(J

(Φ

)J

(Φ

)T

)

ve

=1(2)机器人冗余：

v

(J

(Φ

)J

(Φ

))

ve

1当机器人处于某位形时，限制关节速度为单位速度向量，机器人末端速度所构成的空

间称作该位形的可操作椭球体。TTTTTT−1−1−1TeT−1−1−1−1−1−1−1eTeT可操作度是衡量机器人位形与奇异位形距离的一种度量方式由于欠驱动机器人的逆微分运动只有最小二乘解，一般只讨论无冗余和冗余机器人Φe

=

Φr

+

Φ

=

JT

(JJT

)ve

+

(I

−

JT

(JJT

)J

)

Φf−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−15.5

逆微分运动学及奇异性5.5.3

可操作度Φe

=J

−1(Φ)ve5.5.3

可操作度假设机器人有N个关节，末端速度空间的维数为

m，要求

N

>m

，则

m

N

维雅可比矩阵

J

的奇异值分解为

J

=

UΣVT其中

Σ

是

m

N

维矩阵，

Σ

=diag(1

,2

,,m

)其主对角线外的元素均为零，主对角线上的每个元素为J

的奇异值

i

=入i

(JJT

)i

=1,,m

1

>2

>>m

>0U和V分别为m维和N维正交矩阵，且U由矩阵

JJT

的特征向量

ui

(

i

=1,,m

)张成，V由矩阵

JT

J

的特征向量

vi

(

i

=

1,,N

)张成。其中，

Σ−2

=diag

(

2

)，记

=

UT

ve

则v

(JJT

)ve

=α

ΣT

−2α

=

1上式是一个标准的椭球体方程，表明机器人此位形的可操作椭球体的轴由向量

i

ui

给出。−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1eTm−5.5

逆微分运动学及奇异性v

(J

(Φ

)J

(Φ

)T

)

ve

1−1−1−1−1−1−1−1eTv

(JJT

)ve

=(UT

ve

)Σ

−2

(UT

ve

)−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1T−1−1eT由此得到5.5.3

可操作度机器人关节速度取单位速度时：(1)可操作椭球体轴的长度越大，在该轴方向上，所得到的末端速度越大，表明在